Kapitel 4
Funktionen und Stetigkeit
4.1 Funktionen
Definition 4.1:
Eine Funktion f : D mapsto arrowright C ist eine Zuordnung f : z mapsto arrowright f(z) einer Zahl z element D propersubset C zu einem Bildwert" f(z) element C. Der Punkt z heißt auch
quotedblright
Urbild" von f(z). Die Menge D propersubset C heißt Definitionsbereich", die
quotedblright quotedblright
Menge braceleftBig bracerightBig
f(D) := f(z); z element D
heißt Bildbereich" oder auch Wertebereich" der Funktion.
quotedblright quotedblright
Eine reelle Funktion f : D propersubset R mapsto arrowright R heißt
* monoton steigend, wenn f(x) lessequal f(y) gilt
* streng monoton steigend, wenn f(x) < f(y)gilt
* monoton fallend, wenn f(x) greaterequal f(y) gilt
* streng monoton fallend, wenn f(x) > f(y) gilt
fur alle x, y element D mit x < y.
dieresis
Beispiel 4.2: a) Die (stuckweise definierte) Funktion f : R mapsto arrowright R
dieresis
f(x)
bracelefttp a54
x fur x lessequal 0,
dieresis
braceex a0
braceex a0
braceleftmid 1 a0
fur 0 < x < 1,
dieresis
f(x) = 2 1
braceex braceex 2
braceleftbt a45
x fur 1 lessequal x
dieresis x
a0 1
a0
a0
xx0 1 2 3 400.5 11.5 x^(1/2)yy 2
62 KAPITEL 4. FUNKTIONEN UND STETIGKEIT ist monoton steigend (aber nicht streng monoton steigend). Der Definitionsbereich ist
braceleftBig bracerightBig
1
R, der Bildbereich ist f(R) = (minus infinity , 0] union union [1, infinity ).
2
Die MuPAD-Graphik dazu (piecewise erzeugt stuckweise definierte Funktionen):
dieresis
>> f:= piecewise([x <= 0, x],
[0 < x and x < 1, 1/2],
[1 <= x, x])
>> plotfunc2d(f(x), x = -2..2)
radical
b) Die Funktion f : [0, infinity ) mapsto arrowright [0, infinity ), f(x) = x ist streng monoton steigend. Die
MuPAD-Graphik dazu (sqrt ist die Wurzelfunktion):
>> plotfunc2d(sqrt(x), x = 0..4)
4.2 Stetigkeit
Definition 4.3: (Stetigkeit)
asteriskmath
Eine Funktion f : D propersubset C mapsto arrowright C heißt stetig am Punkt z element D, wenn furdieresis
asteriskmath
jede gegen z konvergierende Folge (z ) mit z element D gilt:
n n
asteriskmath
lim f(z ) = f(z ). (#)
n
narrowright infinity
Fur reelle Funktionen f : D propersubset R mapsto arrowright R wird zusatzlich definiert:
dieresis dieresis
asteriskmath
Die Funktion f heißt rechtsseitig stetig am Punkt x element D, wenn (#)
asteriskmath asteriskmath
gilt fur alle gegen x konvergierenden Folgen (x ) mit x greaterequal x .
dieresis n n
asteriskmath
Die Funktion f heißt linksseitig stetig am Punkt x element D, wenn (#)
asteriskmath asteriskmath
gilt fur alle gegen x konvergierenden Folgen (x ) mit x lessequal x .
dieresis n n
Die Funktion f heißt stetig auf dem Bereich D, wenn sie an allen
asteriskmath
Punkten x element D stetig ist.
Die formale Definition 4.3 der Stetigkeit sollte man sich so merken:
Merkregel 4.4:
Fur beliebige konvergente Folgen z gilt
dieresis n
parenleftBig parenrightBig
lim f(z ) = f lim z ,
n n
narrowright infinity narrowright infinity
wenn die Funktion f an der Stelle lim z stetig ist.
n
narrowright infinity
dieresis Ahnlich wie die epsilon1 endash N(epsilon1 )endash Definition eines Grenzwertes fur Folgen ist diese Defi-
dieresis
nition von Stetigkeit technisch und nur in sehr einfachen Fallen praktisch hand-
dieresis
habbar. Man verlaßt sich in der Praxis wiederum auf Rechenregeln, mit denen
dieresis
Stetigkeit vererbt werden, siehe Satz 4.7. Zunachst einige einfache Beispiele mit
dieresis
der formalen Definition:
Beispiel 4.5: a) Betrachte die konstante Funktion f : z element C mapsto arrowright c (mit einer konstanten arrowdown 31.5.02
asteriskmath
Zahl c element C). Sei (z ) eine beliebige gegen z konvergierende Folge. Es gilt
n
asteriskmath
lim f(z ) = lim c = c = f(z ).
n
narrowright infinity narrowright infinity
asteriskmath
Damit ist f an jedem Punkt z element C stetig.
asteriskmath
b) Betrachte die Funktion f(z) = z. Sei (z ) eine beliebige gegen z konvergierende
n
Folge. Es gilt asteriskmath asteriskmath
lim f(z ) = lim z = z = f(z ).
n n
narrowright infinity narrowright infinity
asteriskmath
Damit ist f an jedem Punkt z element C stetig.
2 asteriskmath
c) Betrachte die Funktion f(z) = z +1. Sei (z ) eine beliebige gegen z konvergierende
n
Folge. Mit den Rechenregeln fur Grenzwerte gilt
dieresis
2 2 asteriskmath 2 asteriskmath
lim f(z ) = lim (z + 1) = ( lim z ) + 1 = (z ) + 1 = f(z ).
n n
n
narrowright infinity narrowright infinity narrowright infinity
asteriskmath
Damit ist f an jedem Punkt z element C stetig.
Man sieht an diesen Beispielen bereits, dass die Rechenregeln fur Grenzwerte
dieresis
sofort zu analogen Rechenregeln fur die Vererbung von Stetigkeit fuhren. Vorher
dieresis dieresis
aber noch ein Beispiel zur Unstetigkeit und einseitigen Stetigkeit":
quotedblright
Beispiel 4.6: Betrachte die reelle Funktion
f(x)
a54
braceleftBigg 1
0 fur x < 0,
dieresis
f(x) = 1 fur 0 lessequal x.
dieresis
a45 x
Diese Funktion ist uberall stetig, außer am Punkt x = 0. Dort ist sie aber immer
dieresis
noch rechtsseitig stetig: nahert man sich dem Punkt x = 0 von rechts, so sind die
dieresis
64 KAPITEL 4. FUNKTIONEN UND STETIGKEIT Funktionswerte konstant 1. Der Grenzwert der Funktionswerte ist wiederum 1 und
stimmt mit dem Funktionswert f(0) = 1 uberein.
dieresis
Die Funktion ist aber nicht linksseitig stetig: nahert man sich dem Punkt x = 0 von
dieresis
links, so sind die Funktionswerte konstant 0. Der Grenzwert der Funktionswerte ist
wiederum 0 und stimmt nicht mit dem Funktionswert f(0) = 1 uberein.
dieresis
Eine stetige Funktion muß aber off ensichtlich sowohl links- als auch rechtsseitig stetig
sein, damit ist f am Punkt x = 0 unstetig.
Nun die Rechenregeln:
Satz 4.7: (Rechenregeln zur Stetigkeit)
asteriskmath
Seien f und g Funktionen. Sei z ein Punkt aus dem Schnitt der Definiti-
asteriskmath asteriskmath
onsbereiche von f und g (d.h., sowohl f(z ) als auch g(z ) ist definiert).
asteriskmath
Seien f und g am Punkt z stetig. Sei c eine Konstante. Dann gilt:
asteriskmath
* Die Funktion z mapsto arrowright c periodcentered f(z) ist am Punkt z stetig.
asteriskmath
* Die Funktion z mapsto arrowright f(z) + g(z) ist am Punkt z stetig.
asteriskmath
* Die Funktion z mapsto arrowright f(z) minus g(z) ist am Punkt z stetig.
asteriskmath
* Die Funktion z mapsto arrowright f(z) periodcentered g(z) ist am Punkt z stetig.
f(z) asteriskmath asteriskmath
* Die Funktion z mapsto arrowright ist am Punkt z stetig, falls g(z ) negationslash = 0.
g(z)
radicalbig asteriskmath
* Die Funktion z mapsto arrowright f(z) ist am Punkt z stetig.
asteriskmath asteriskmath
Weiterhin gilt: ist g am Punkt z stetig und f am Punkt g(z ), so ist
asteriskmath
z mapsto arrowright f(g(z)) am Punkt z stetig.
asteriskmath
Beweis: Betrachte eine beliebige Folge (z ) arrowright z und wende die Rechenren
geln 2.13 an.
Q.E.D.
x+1
Beispiel 4.8: Die Funktion f(x) = ist uberall auf R stetig: Da konstante Funkdieresis
2x +1 2
tionen sowie g(x) = x stetig sind, ist auch h(x) = x + 1 stetig. Analog ist k(x) = x
2
und damit auch j(x) = x + 1 stetig. Außerdem gilt j(x) > 0 fur alle x element R, womit der dieresis
h(x)
Quotient f(x) = ebenfalls uberall stetig ist.
dieresis
j(x)
Betrachtet man die Funktion in der komplexen Ebene, so ist sie uberall stetig bis auf
dieresis
die beiden Punkte plusminus i, wo der Nenner verschwindet.
An diesem Beispiel merkt man, dass folgende Pi mal Daumen-Regel" gilt:
quotedblright
Merkregel 4.9:
Aus stetigen Funktionen zusammengesetzte" Funktionen sind wieder
quotedblright
stetig. Lediglich an den Stellen, wo man durch 0 teilt, kann die Funktion
unstetig sein.
Manchmal helfen die Rechenregeln nicht, und man muss technisch abschatzen: dieresis Beispiel 4.10: Die in Definition 2.20/Beispiel 3.24 eingefuhrte Exponentialfunktion
dieresis
z mapsto arrowright exp(z) ist stetig am Nullpunkt. Betrachte dazu eine beliebige Nullfolge h , fur die dieresis
n
o.B.d.A. |h | lessequal 1 gelte. Wegen
n
vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle
2 3 2
h h h h
vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle
n
n n n
hn
|e minus 1| = 1 + h + + + periodcentered periodcentered periodcentered minus 1 = |h | periodcentered 1 + + + periodcentered periodcentered periodcentered
vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle
n n
2! 3! 2! 3!
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
2
|h | |h | 1 1
n n 1
lessequal |h | periodcentered 1 + + + periodcentered periodcentered periodcentered lessequal |h | periodcentered 1 + + + periodcentered periodcentered periodcentered = |h | periodcentered (e minus 1) lessequal 2 periodcentered |h |
n n n n
2! 3! 2! 3!
h 0
h n
n
ist e minus 1 eine Nullfolge, also lim e = 1 = e . Dies ist die Stetigkeit am Nullpunkt.
narrowright infinity
Satz 4.11: (Stetigkeit der Exponentialfunktion)
Die in Definition 2.20/Beispiel 3.24 eingefuhrte Exponentialfunktion z mapsto arrowright
dieresis
exp(z) mit dem Definitionsbereich C ist an allen Punkten z element C stetig.
Beweis: Sei (h ) eine beliebige Nullfolge. Wegen der Funktionalgleichung 2.22
n
a+b a b
e = e periodcentered e und der gerade gezeigten Stetigkeit im Nullpunkt folgt
lim hn
z+h z h z h z z 0 z
n n n narrowright infinity
lim e = lim e periodcentered e = e periodcentered lim e = e periodcentered e = e periodcentered e = e .
narrowright infinity narrowright infinity narrowright infinity
Q.E.D. Die Merkregel 4.9 besagt, dass es potentielle Unstetigkeiten gibt, wenn man durch 0 teilt. Aber: es kann auch passieren, dass an diesen Stellen Stetigkeit
0
vorliegt (namlich bei speziellen endash Situation):
dieresis 0
Beispiel 4.12: Die Funktion
bracelefttp 2z minus 1
braceex braceleftmid fur z negationslash = 1,
dieresis
z minus 1
f(z) = braceex braceleftbt 2 fur z = 1
dieresis
ist uberall (auch an der Stelle z = 1) stetig. Dies ist leicht gezeigt: Wegen
dieresis
2z minus 1 = (z + 1) periodcentered (z minus 1) ist f nichts anderes als eine komplizierte Schreibweise furdieresis
f(z) = z + 1.
Etwas komplizierter ist bracelefttp ze minus 1
braceex braceleftmid fur z =negationslash 0,
dieresis
z
f(z) = braceex braceleftbt 1 fur z = 0.
dieresis
Auch diese Funktion ist uberall (auch an der Stelle z = 0) stetig, was durch folgende
dieresis
Betrachtung plausibel wird:
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
z 2 2
e minus 1 1 z 1 z z
= periodcentered 1 + z + + periodcentered periodcentered periodcentered minus 1 = periodcentered z + + periodcentered periodcentered periodcentered = 1 + + periodcentered periodcentered periodcentered .
z z 2! z 2! 2!
66 KAPITEL 4. FUNKTIONEN UND STETIGKEIT
0
Eine endash Situation laßt sich mit Hilfe der l'Hospitalschen Regel" systematisch untersudieresis
0 quotedblright
chen, siehe Beispiel 6.37.
4.3 Grenzwerte
z
Betrachtet man f(z) = (e minus 1)/z, so ist diese Funktion zunachst mal fur z = 0 dieresis dieresis
nicht definiert, sie hat dort eine Definitionslucke". In Beispiel 4.12 haben wir
dieresis
quotedblright
einen geeigneten Wert definiert, der die Funktion insgesamt stetig macht. Dieser Wert ergibt sich als Grenzwert" der Funktion, wenn das Argument gegen den
quotedblright
kritischen Wert strebt.
Definition 4.13: (Grenzwerte bei Funktionen)
asteriskmath
Betrachte eine Funktion f auf dem Defintionsbereich D = C \ {z }. Der
asteriskmath asteriskmath
Wert f heißt Grenzwert (Limes)" von f fur z arrowright z , wenn fur jede
dieresis dieresis
quotedblright
asteriskmath
gegen z konvergierende Folge (z ) mit z element D gilt:
n n
asteriskmath
lim f(z ) = f .
n
narrowright infinity
asteriskmath
Die Schreibweise ist dann: f = lim f(z).
asteriskmath
zarrowright z
Die Funktion braceleftBigg f(z) fur z element D,
dieresis asteriskmath
z element D union {z } mapsto arrowright asteriskmath asteriskmath
f fur z = z
dieresis
nennt man die stetige Fortsetzung" von f auf den erweiterten Defi-
quotedblright asteriskmath
nitionsbereich D union {z }. Nach Konstruktion ist die Fortsetzung stetig am
asteriskmath
Punkt z .
Definition 4.14: (Einseitige Grenzwerte bei Funktionen)
asteriskmath
Fur reelle Funktionen f : D \ {x } propersubset R mapsto arrowright R wird weiterhin definiert::
dieresis
asteriskmath asteriskmath
Der Wert f heißt rechtsseitiger Grenzwert" von f fur x arrowright x , wenn
dieresis
quotedblright asteriskmath asteriskmath
lim f(x ) = f gilt fur alle gegen x konvergierende Folgen (x ) mit
dieresis
narrowright infinity n n
asteriskmath
x > x . Schreibweise:
n asteriskmath f = lim f(x).
asteriskmath
xarrowright x +0
asteriskmath asteriskmath
Der Wert f heißt linksseitiger Grenzwert" von f fur x arrowright x , wenn
dieresis
quotedblright asteriskmath asteriskmath
lim f(x ) = f gilt fur alle gegen x konvergierende Folgen (x ) mit
dieresis
narrowright infinity n n
asteriskmath
x < x . Schreibweise:
n asteriskmath f = lim f(x).
asteriskmath
xarrowright x minus 0
asteriskmath
Beispiel 4.15: Fur eine am Punkt x definierte und dort stetige reelle Funktion gilt dieresis
immer asteriskmath
lim f(x) = lim f(x) = lim f(x) = f(x ).
asteriskmath
asteriskmath asteriskmath xarrowright x
xarrowright x minus 0 xarrowright x +0
Beispiel 4.16: Betrachte
f(x)
a54
braceleftBigg 1
0 fur x < 0,
dieresis
f(x) = 1 fur 0 lessequal x.
dieresis
a45 x
asteriskmath
Hier gilt fur die Sprungstelle x = 0:
dieresis
lim f(x) = 0, lim f(x) = 1, lim f(x) existiert nicht.
xarrowright 0minus 0 xarrowright 0+0 xarrowright 0
1
Beispiel 4.17: Fur die reelle Funktion f(x) = gilt
dieresis x
lim f(x) = 0.
xarrowright infinity
Formale Begrundung: Sei (x ) eine beliebige gegen infinity konvergierende Folge:
dieresis n
1 1
lim f(x ) = lim = = 0.
n
narrowright infinity narrowright infinity x infinity
n
Am Punkt x = 0 ist f unstetig ( singular"): die Funktion hat eine sogenannte Pol-
dieresis
quotedblright
stelle. Wir lassen die Werte plusminus infinity wieder als Grenzwerte zu. Dann existieren einseitige
Grenzwerte:
lim f(x) = infinity , lim f(x) = minus infinity .
xarrowright 0+0 xarrowright 0minus 0
Das Argument ViewingBox = [-10..10, -10..10] im folgenden Befehl weist MuPAD an, alles außerhalb der angegebenen Bereiche zu ignorieren, wodurch sich eine gut
skalierte Graphik ergibt:
-10-5 xx-10 -5 0 5 1005yy 10 1/x
68 KAPITEL 4. FUNKTIONEN UND STETIGKEIT
>> plotfunc2d(1/x, x = -10..10,
ViewingBox = [-10..10, -10..10])
Mit dem Grenzwertbegriff fur Funktionen konnen wir die Stetigkeit an einem dieresis dieresis
Punkt auch folgendermaßen charakterisieren:
Satz 4.18: (Stetigkeit)
asteriskmath
Eine reelle Funktion f ist am Punkt x genau dann linksseitig stetig, wenn
asteriskmath
lim f(x) = f(x )
asteriskmath
xarrowright x minus 0
gilt. Sie ist genau dann rechtsseitig stetig, wenn
asteriskmath
lim f(x) = f(x )
asteriskmath
xarrowright x +0
gilt. Sie ist genau dann stetig, wenn der links- und rechtsseitige Grenzwert
existiert und beide Grenzwerte mit dem Funktionswert ubereinstimmen:
dieresis
asteriskmath
lim f(x) = lim f(x) = f(x ).
asteriskmath asteriskmath
xarrowright x minus 0 xarrowright x minus 0
Beweis: Das folgt unmittelbar aus den Definitionen. Fur die letzte Aussage dieresis
asteriskmath
beachte, dass eine beliebige gegen x konvergierende Folge aufgespalten werden
asteriskmath
kann in die Teilfolge aller Elemente, die kleiner sind als x und die Teilfolge aller
asteriskmath asteriskmath
Elemente, die großer als x sind. Die Konvergenz der Teilfolgen gegen f(x ) ist dieresis die links- bzw. rechtsseitige Stetigkeit, die Konvergenz der Gesamtfolge gegen
asteriskmath
f(x ) ist die Stetigkeit.
Q.E.D.
4.4. DER ZWISCHENWERTSATZ, DAS MIN/MAX-PRINZIP 69
4.4 Der Zwischenwertsatz, das Min/Max-Prinzip
Es folgen zwei sehr wichtige und fundamentale Satze fur reelle stetige Funktio-
dieresis dieresis
nen.
Satz 4.19: (Der Zwischenwertsatz fur stetige Funktionen)
dieresis
Sei f : [a, b] mapsto arrowright R auf dem Intervall [a, b] propersubset R stetig. Dann nimmt f auf
dem Intervall alle Werte zwischen f(a) und f(b) an: zu jedem y zwischen
den Werten f(a) und f(b) existiert mindestens ein x element [a, b] mit f(x) = y.
Beweis: (nicht nur fur technisch Interessierte)
dieresis
Wir benutzen einen expliziten Algorithmus ( Intervallhalbierung"), um die
quotedblright
Losung von f(x) = y zu finden.
dieresis
Sei f(a) negationslash = f(b) (sonst gibt es nichts zu zeigen). O.B.d.A. gelte f(a) < f(b)
(sonst betrachte statt minus f statt f ). Gegeben sei y mit f(a) lessequal y lessequal f(b). Furdieresis
y = f(a) bzw. y = f(b) ist die Behauptung sicher mit x = a bzw.x = b erfullt.
dieresis
Es gelte also nun f(a) < y < f(b).
Betrachte den Mittelpunkt m = (a+b)/2 des Intervalls. Gilt f(m) = y, sind wir
fertig. Fur f(m) > y betrachten wir die linke Intervallhalfte [a , b ] := [a, m],
dieresis dieresis 1 1
fur f(m) < y betrachten wir die rechte Intervallhalfte [a , b ] := [m, a]. Nach
dieresis dieresis 1 1
Konstruktion ist die Ausgangssituation
f(a ) lessequal y lessequal f(b )
1 1
fur das neue Intervall [a1, b ] wieder hergestellt. Das betrachtete Intervall [a , b ]
dieresis 1 1 1
wird nun erneut zu einem Intervall [a , b ] halbiert usw.
2 2
Es ergibt sich eine Folge von immer kleineren Intervallen [a , b ], deren linke
n n
Enden a eine monoton steigende und deren rechten Enden b eine monoton
n n
fallende Folge bildet. Nach Konstruktion gilt fur alle Intervallenden
dieresis
f(a ) lessequal y lessequal f(b ).
n n
Nach Satz 2.28 konvergieren die monotonen beschrankten Folgen (a ) und (b )
dieresis n n
asteriskmath asteriskmath
gegen Grenzwerte a bzw b , die ubereinstimmen mussen, da die Intervalllangen
dieresis dieresis dieresis
n asteriskmath asteriskmath
b minus a = (b minus a)/2 gegen Null konvergieren. Da f am Punkt x := a = b
n n
stetig ist, folgt
f(x) = lim f(a ) = f( lim a ) lessequal y lessequal lim f(b ) = f( lim b ) = f(x),
n n n n
narrowright infinity narrowright infinity narrowright infinity narrowright infinity
also f(x) = y.
Q.E.D.
70 KAPITEL 4. FUNKTIONEN UND STETIGKEIT Bemerkung 4.20: Der im Beweis des Zwischenwertsatzes verwendete Algorithmus ( Intervallhalbierung", Bi-Sektion") ist ein auch in der Pra-
quotedblright quotedblright
xis anwendbarer Suchalgorithmus zum approximativen Losen einer Gleichung dieresis f(x) = y. Er liefert eine Folge von Intervallschachtelungen [a , b ] fur die dieresis
n n
Losung. Die Genauigkeit ist die Lange des Intervalls, auf das die Losung eingedieresis dieresis dieresis
10 3
schrankt werden konnte. Mit 2 = 1024 approxequal 10 gilt die Faustregel:
dieresis
Durch je 10 Halbierungsschritte gewinnt man jeweils etwa
3 Dezimalstellen Genauigkeit hinzu.
Bemerkung 4.21: Der Beweis verwendet uber Satz 2.28 das Supremumsaxiom dieresis 2
fur R. In der Tat hat beispielsweise die stetige Funktion f(x) = x minus 2 auf dem dieresis Intervall [0, 2] intersection Q keine Nullstelle, obwohl f(0) = minus 2 < 0 < f(2) = 2 gilt, da
radical
die Nullstelle x = 2 nicht rational ist.
6.6.02arrowdown
Ein weiteres wichtiges Ergebnis fur stetige reelle Funktionen ist, dass der Bilddieresis bereich eines beschrankten abgeschlossenen Intervalls wieder ein beschranktes dieresis dieresis
abgeschlossenes Intervall ist. Mit anderen Worten: die Funktion nimmt auf einem abgeschlossenen Intervall immer (mindestens) ein globales Minimum und
ein globales Maximum an:
Satz 4.22: (Das Min/Maxendash Prinzip fur stetige Funktionen)
dieresis
Sei f : [a, b] mapsto arrowright R stetig auf dem Intervall [a, b] propersubset R. Dann existiert ein
x element [a, b] und ein x element [a, b] mit
min max
f(x ) lessequal f(x) lessequal f(x )
min max
fur alle x element [a, b].
dieresis
Beweis: (fur technisch Interessierte) Wir konstruieren x . Die Bildmenge
dieresis max
f ([a, b]) := {f(x); x element [a, b]} ist nach oben beschrankt. Sonst gabe es namlich dieresis dieresis dieresis
eine uneigentlich nach infinity konvergierende Folge (y ) in f ([a, b]) mit (nicht un-
n
bedingt eindeutig bestimmten) Urbildern x element [a, b]. Nach Bolzano-Weier-
n asteriskmath
strass 2.49/Bemerkung 2.50 gibt es eine gegen einen Grenzwert x element [a, b] kon-
vergierende Teilfolge (x ) in [a, b], fur die
dieresis
nk
asteriskmath
infinity = lim y = lim f(x ) = f( lim x ) = f(x )
n n n
k k k
karrowright infinity karrowright infinity karrowright infinity
gelten mußte. Widerspruch!
dieresis
Da f ([a, b]) nach oben beschrankt ist, existiert gemaß des Supredieresis
dieresis
mumsaxioms 2.25 das Supremum Y = sup f ([a, b]) aller Bildpunkte. Es gilt zu zeigen, dass dieses Suprememum in der Menge f ([a, b]) liegt, also ein Maximum
ist:
1
Da Y minus keine obere Schranke von f ([a, b]) sein kann (Y ist als Supremum die
n
kleinste obere Schranke), gibt es zu jedem n element N ein x element [a, b] mit
n
1
Y minus < f(x ) lessequal Y.
n
n
Wiederum existiert nach Bolzano-Weierstrass 2.49/Bemerkung 2.50 eine gegen
asteriskmath
einen Grenzwert x element [a, b] konvergente Teilfolge (x ), fur die
dieresis
nk
parenleftBig parenrightBig
1
Y = lim Y minus lessequal lim f(x ) lessequal Y
nk
karrowright infinity karrowright infinity
nk
gilt. Mit der Stetigkeit von f folgt
Y = lim f(x ) = f( lim x ) = f(xasteriskmath ).
n n
k k
karrowright infinity karrowright infinity
asteriskmath asteriskmath
Also ist f(x ) = max f ([a, b]), d.h., x = x ist die gesuchte Maximumsstelle.
max
Die Minimumstelle x mit f(x ) = min f ([a, b]) ergibt sich sofort als die
min min
Maximumsstelle von minus f .
Q.E.D.
Bemerkung 4.23: Die Abgeschlossenheit des Intervalls [a, b] ist wesentlich furdieresis
die Existenz von Minimum und Maximum. Beispielsweise hat fur das off ene
dieresis
Intervall (0, 1) die auf (0, 1) stetige Funktion f(x) = 1/x off ensichtlich weder
ein Maximum noch ein Minimum!
4.5 Umkehrfunktionen
Definition 4.24: (Invertierbarkeit von Funktionen)
Eine Funktion f : D mapsto arrowright W von einem Definitionsbereich D in den Wertebereich W = f(D) = {f(x); x element D} heißt invertierbar, wenn zu jedem
Wert y element W genau ein Urbild x element D mit f(x) = y existiert.
2
Beispiel 4.25: Die Funktion f(x) = x auf dem Definitionsbereich D = [0, infinity ) mit
2
dem Wertebereich f(D) = [0, infinity ) ist invertierbar: zu y = f(x) = x gehort genau ein
dieresis
radical
Urbild x = y im Definitionsbereich D.
2
Die Funktion f(x) = x auf dem Definitionsbereich D = (minus infinity , 0] mit dem Wertebereich
radical
2
f(D) = [0, infinity ) ist invertierbar: zu y = f(x) = x gehort genau ein Urbild x = minus y im
dieresis
Definitionsbereich D.
2
Die Funktion f(x) = x ist nicht invertierbar, wenn man sie auf dem Definitionsbereich
2
D = R betrachtet: Jetzt gibt es zu jedem y = f(x) = x aus dem Wertebereich
radical radical
f(D) = [0, infinity ) zwei Urbilder x = y und x = minus y.
72 KAPITEL 4. FUNKTIONEN UND STETIGKEIT
Definition 4.26: (Inverse einer Funktion)
Die Funktion f : D mapsto arrowright W von einem Definitionsbereich D in den Wertebereich W = f(D) = {f(x); x element D} sei invertierbar. Die Umkehrab-
quotedblright
minus 1
bildung" ( Inverse") von f ist die Funktion f : W mapsto arrowright D, die dem
quotedblright
Punkt y = f(x) element W den (eindeutig bestimmten) Wert x zuordnet.
2
Beispiel 4.27: Die Funktion f(x) = x auf dem Definitionsbereich D = [0, infinity ) mit
radical
minus 1
dem Wertebereich W = f(D) = [0, infinity ) hat die durch f (y) = y gegebene Inverse
minus 1
f : W mapsto arrowright D.
2
Die Funktion f(x) = x auf dem Definitionsbereich D = (minus infinity , 0] mit dem Wertebereich
radical
minus 1 minus 1
f(D) = [0, infinity ) hat die durch f (y) = minus y gegebene Inverse f : W mapsto arrowright D.
2
Die Funktion f(x) = x auf dem Definitionsbereich D = R hat keine Inverse.
2minus y
minus 1
Die Funktion f(x) = 2minus 3periodcentered x auf dem Wertebereich D = R hat die Inverse f (y) = .
3
Um die Inverse zu bestimmen, muß man y = f(x) nach x auflosen:
dieresis
2 minus y
y = 2 minus 3 periodcentered x =arrowdblright 3 periodcentered x = 2 minus y =arrowdblright x = .
3
Graphische Darstellung der Inversen 4.28:
Hat man eine invertierbare Funktion f graphisch dargestellt, so hat man
minus 1
auch sofort den Graphen von f . Der Graph von f ist eine Punktmenge
minus 1
(x, y) mit y = f(x) in der x-y-Ebene. Der Graph von f ist die Punktmenge
(y, x) mit y = f(x). Diese ergibt sich einfach durch Spiegelung
an der ersten Winkelhalbierenden" (dies ist die durch y = x gegebene
quotedblright
Gerade).
minus 1
Der Graph der Umkehrfunktion f ist die Spiegelung des
Graphen der Funktion f an der ersten Winkelhalbierenden.
Beispiel 4.29: Zur Demonstration hierzu einige MuPAD Graphiken. Betrachte f(x) =
radical
radical radical
2 minus 1 minus 1 minus 1
x auf D = [0, infinity ), f (y) = y. Statt f (y) = y wird f (x) = x eingegeben
(Goethe sagt dazu treff end: Name ist Schall und Rauch"). Die Winkelhalbierende
quotedblright
y = x wird zusatzlich eingezeichnet:
dieresis
-2-1-0.5 xx-2 -1 0 1 xx 2-0.5 0 0.5 0 1 1.5 200.51 11.5yy 2 yy 2x, x^2, x^(1/2)
4.5. UMKEHRFUNKTIONEN 73
>> plotfunc2d(x, x^2, sqrt(x), x = 0..2,
ViewingBox = [-0.5..2, -0.5..2])
2
Das selbe noch einmal, diesmal wird f(x) = x aber auf dem Definitionsbereich D =
radical
minus 1
(minus infinity , 0] betrachtet. Da die Inverse f (y) = minus y auf einem anderen Definitionsbereich lebt (y greaterequal 0, x lessequal 0), plotfunc2d aber alle Funktionen uber einem gemeinsamen Bereich
dieresis
zeichnet, wird nun das folgende flexiblere plot-Konstrukt benutzt:
>> plot(// die Winkelhalbierende:
plot::Function2d(x, x = -2..2, Color = RGB::Black),
// f(x):
plot::Function2d(x^2, x = -2..0, Color = RGB::Red),
// die Inverse von f:
plot::Function2d(-sqrt(y), y = 0..2, Color = RGB::Blue),
ViewingBox = [-2..2, -2..2])
74 KAPITEL 4. FUNKTIONEN UND STETIGKEIT
Bei streng monotonen Funktionen ist die Invertierbarkeit garantiert:
Satz 4.30: (Invertierbarkeit bei Monotonie)
Streng monotone reelle Funktionen f : [a, b] mapsto arrowright f ([a, b]) sind immer in-
minus 1
vertierbar. Ist f streng monoton steigend, dann auch f . Ist f streng
minus 1 minus 1
monoton fallend, dann auch f . Ist f stetig, dann auch f .
Beweis: (fur technisch Interessierte) Die Eindeutigkeit der Urbilder folgt undieresis mittelbar aus der Monotonie, denn aus x negationslash = x (also entweder x < x oder
1 2 1 2 minus 1
x > x ) folgt per strenger Monotonie f(x ) =negationslash f(x ). Die Monotonie von f
1 2 1 2
ist off ensichtlich. minus 1
Zur Stetigkeit von f . Sei o.B.d.A. f streng monoton wachsend (sonst betrachte minus f ). Wahle einen beliebigen Punkt y aus dem Wertebereich f ([a, b]) = dieresis minus 1
[f(a), f(b)]. Sei (y ) eine beliebige gegen y konvergierende Folge, sei x = f (y).
n
Wegen (y ) arrowright y gibt es zu jedem delta > 0 ein N(delta ), so dass
n
y element [y minus delta , y + delta ]
n
gilt fur alle n greaterequal N(delta ). Zu epsilon1 > 0 setze
dieresis
delta (epsilon1 ) = min(y minus f(x minus epsilon1 ), f(x + epsilon1 ) minus y) > 0.
Fur alle n greaterequal N(delta (epsilon1 )) folgt dann
dieresis
y element [y minus delta (epsilon1 ), y + delta (epsilon1 )] propersubset [f(x minus epsilon1 ), f(x + epsilon1 )],
n
also
minus 1 minus 1 minus 1 minus 1
f (y ) element f ([f(x minus epsilon1 ), f(x + epsilon1 )]) = [f (f(x minus epsilon1 )), f (f(x + epsilon1 ))]
n
= [x minus epsilon1 , x + epsilon1 ].
Also: zu epsilon1 > 0 haben wir ein N(delta (epsilon1 )) konstruiert, so dass
minus 1 minus 1 minus 1
|f (y ) minus x| = |f (y ) minus f (y)| lessequal epsilon1
n n
minus 1 minus 1
minus 1
gilt fur alle n greaterequal N(delta (epsilon1 )). Also ist f stetig: lim f (y ) = f ( lim y ).
dieresis n n
narrowright infinity narrowright infinity Q.E.D.
4.6 Wachstum von Funktionen, Landau-Symbole
Es gibt eine zur Symbolik fur Folgen in Abschnitt 2.4 analoge Schreibweise, um dieresis das Wachstum von Funktionen an interessanten Stellen zu beschreiben (typi-
scherweise sind dies Nullstellen oder Singularitaten).
dieresis
4.6. WACHSTUM VON FUNKTIONEN, LANDAU-SYMBOLE 75
Notation 4.31:
Seien f und g Funktionen, die in der Umgebung eines Punktes z definiert
0
seien (bei reellen Funktionen betrachtet man oft auch die Punkte z =
0
plusminus infinity ).
* f(z) = O(g(z)) im Limes z arrowright z bedeutet, dass die Funktion
0
|f(z)|/|g(z)| auf einer Umgebung von z nach oben beschrankt ist.
dieresis
0
* f(z) = o(g(z)) im Limes z arrowright z bedeutet lim f(z)/g(z) = 0.
0 zarrowright z0
* f(z) = Omega (g(z)) im Limes z arrowright z bedeutet, dass die Funktion
0
|g(z)|/|f(z)| auf einer Umgebung von z nach oben beschrankt ist.
dieresis
0
* f(z) = omega (g(z)) im Limes z arrowright z bedeutet lim g(z)/f(z) = 0.
0 zarrowright z0
* f(z) = Theta (g(z)) im Limes z arrowright z bedeutet, dass die Funktionen
0
|f(z)|/|g(z)| und |g(z)|/|f(z)| auf einer Umgebung von z nach oben
0
beschrankt sind: es existieren positive Konstanten c und C, so dass
dieresis
c periodcentered |g(z)| lessequal |f(z)| lessequal C periodcentered |g(z)| gilt auf einer Umgebung von z .0
Beispiel 4.32:
z z
e = O(1) im Limes z arrowright 0, e = 1 + O(z) im Limes z arrowright 0,
z 2 z
e = 1 + z + O(z ) im Limes z arrowright 0, e = 1 + z + o(z) im Limes z arrowright 0,
x x
= O(x) im Limes x arrowright 0, = O(1) im Limes x arrowright infinity ,
x + 1 x+ 1 parenleftBig parenrightBig
x 1 1
= Theta (1) im Limes x arrowright infinity , = o im Limes z arrowright 0.
2
x + 1 z z
Beispiel 4.33: Fur alle positiven k gilt
dieresis
x k
e = omega (x ) im Limes x arrowright infinity ,
sowie parenleftBig parenrightBig
1
minus x
e = o im Limes x arrowright infinity ,
kx
denn
vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle
minus x k k
e x x (k + 1)!
vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle
= = lessequal arrowright 0 fur x arrowright infinity .
vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle dieresis
k+1
k x x
1/x e x
1 + x + periodcentered periodcentered periodcentered + + periodcentered periodcentered periodcentered
(k+1)!
x
Anschaulich: die Funktion e wachst fur gegen infinity wachsendes x schneller als jede podieresis dieresis
minus x
sitive Potenz von x. Die Funktion e fallt fur gegen infinity wachsendes x schneller ab als dieresis dieresis
jede negative Potenz von x.