Kapitel 3

Reihen

Es geht nun um spezielle Folgen, deren Glieder durch Summation entstehen.

Fur diese Reihen" gibt es spezielle Konvergenzkriterien.
dieresis quotedblright

3.1 Definitionen, Beispiele, Satze
dieresis

Definition 3.1: (Reihen)

Die einer komplexen Folge (z ) zugeordnete Reihe" ist die Folge (S )
n n

quotedblright

der Partialsummen"

quotedblright nsummationdisplay

S = z .
n k

k=1

Existiert ein Grenzwert der Partialsummen, so nennt man ihn den Wert

n infinity
summationdisplay summationdisplay

der unendlichen Reihe" und schreibt auch lim z = z . Eine
k k

quotedblright narrowright infinity k=1 k=1infinity summationdisplay

Reihe heißt absolut konvergent", wenn der Grenzwert |z | exi-
k

quotedblright k=1

stiert.

44 KAPITEL 3. REIHEN Beispiel 3.2: Die sogenannte arithmetische Reihe" besitzt eine explizite Darstel-

quotedblright

lung:

nsummationdisplay

S = k = 1 + 2 + periodcentered periodcentered periodcentered + (n minus 1) + n
n k=1 parenleftBig

= periodcentered 1 + 2 + periodcentered periodcentered periodcentered + (n minus 1) + n
2 parenrightBig

n + (n minus 1) + periodcentered periodcentered periodcentered + 2 + 1

parenleftBig parenrightBig

= periodcentered (n + 1) + (n + 1) + periodcentered periodcentered periodcentered + (n + 1) + (n + 1)
2 bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright

n Summanden

= periodcentered n periodcentered (n + 1).
2

Halten wir fest:

nsummationdisplay n periodcentered (n + 1)

k = .

k=1

Die arithmetische Reihe konvergiert damit uneigentlich gegen infinity .

Beispiel 3.3: Sei z element C. Eine geometrische Reihe" ist von der Form

quotedblright nsummationdisplay

2 n k

S = 1 + z + z + periodcentered periodcentered periodcentered + z = z .
n k=0

Auch in diesem Fall kann man eine explizite Formel fur S angeben:
dieresis n

n n+1 n+1
summationdisplay 1 minus z z minus 1

S = z = = .
n 1 minus z z minus 1

k=0

Dies ist leicht nachzuvollziehen: 2 n

(1 minus z) periodcentered S = (1 minus z) periodcentered (1 + z + z + periodcentered periodcentered periodcentered + z )
n 2 n

= 1 periodcentered (1 + z + z + periodcentered periodcentered periodcentered + z )

2 n
minus z periodcentered (1 + z + z + periodcentered periodcentered periodcentered + z )

2 n
= 1 + z + z + periodcentered periodcentered periodcentered + z

2 n n+1
minus z minus z minus periodcentered periodcentered periodcentered minus z minus zn+1

= 1 minus z .

Mit der expliziten Summenformel ist die Konvergenz geometrischer Reihen leicht zu

n+1

uberprufen. Fur |z| < 1 konvergiert z gegen 0 (Beispiel 2.10):
dieresis dieresis dieresis

infinity summationdisplay 1

kz = fur |z| < 1 .
dieresis

1 minus z

k=0

dieresis

3.1. DEFINITIONEN, BEISPIELE, SATZE 45

Diese Reihe konvergiert absolut, denn mit denselben Argumenten konvergiert

infinity summationdisplay 1

k| z | = fur |z| < 1 .
dieresis

1 minus |z|

k=0

Beispiel 3.4: Einige Berechnungen mit MuPAD. Fur die symbolische Berechnung von
dieresis

Summen ist die Funktion sum zustandig:
dieresis

>> sum(k, k = 1..n) 2

n n

- + --

2 2

Durch Faktorisierung mittels factor ergibt sich oft eine einfachere Form:

>> factor(\%) 1/2 n (n + 1)

Die geometrische Reihe:

>> sum(z^k, k = 0..n) n

z z - 1 --------

z - 1

>> assume(0 < z < 1):

>> sum(z^k, k = 0..infinity) 1

- -----

z - 1

Beispiel 3.5: Die periodische Dezimaldarstellung 0 . d d d mit Dezimalziff ern d element
1 2 3 k

{0, 1, . . . , 9} steht fur 0 . d d d d d d d d d . . .. Solche zyklischen Dezimalentwick-
dieresis 1 2 3 1 2 3 1 2 3

lungen sind rationale Zahlen. Sei n = d d d " = d periodcentered 100 + d periodcentered 10 + d element {0, . . . , 999}:
1 2 3 1 2 3

quotedblright d d d d d d

1 2 3 1 2 3

0 . d d d d d d d d d . . . = + + + + + + periodcentered periodcentered periodcentered
1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 4 5 6

bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright 10 10 10 10 10 10

n n n

d periodcentered 100 + d periodcentered 10 + d d periodcentered 100 + d periodcentered 10 + d
1 2 3 1 2 3

= + + periodcentered periodcentered periodcentered

3 6
10 10 infinity summationdisplay

n n n 1

= + + + periodcentered periodcentered periodcentered = n periodcentered

2 3 k
1000 1000 1000 1000

k=1

46 KAPITEL 3. REIHEN

infinity
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig

summationdisplay 1 1 1000 n

= n periodcentered minus 1 = n periodcentered minus 1 = n periodcentered minus 1 = .

1
k

1000 999 999
1 minus 1000

k=0

Bemerkung: statt der formalen Rechnung kann man die Beweisidee fur die Summen-
dieresis

formel der geometrischen Reihe explizit nachvollziehen, was in diesem Fall als "Re-

chentrickquotedblright sogar ganz einfach zu merken ist:

1000 periodcentered x = d d d . d d d d d d . . .
1 2 3 1 2 3 1 2 3

minus x = 0 . d d d d d d . . .
1 2 3 1 2 3 n

999 periodcentered x = d d d . 000 000 . . . arrowdblright x = .
1 2 3

bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright 999

Das Cauchy-Kriterium (Definition 2.31 und Satz 2.32 ) liefert folgendes Kon-

vergenzkriterium fur Reihen:
dieresis

Satz 3.6: (Das Cauchy-Kriterium fur Reihen)
dieresis

summationtext

Die Reihe z konvergiert genau dann, wenn es zu jedem epsilon1 > 0 ein N(epsilon1 )

k
k m

vextendsingle vextendsingle
summationdisplay

vextendsingle vextendsingle

gibt, so dass z lessequal epsilon1 gilt fur alle m greaterequal n greaterequal N(epsilon1 ).
vextendsingle vextendsingle dieresis

k=n summationtext n

Beweis: Nach dem Cauchy-Kriterium konvergiert die Folge S = z ,

n k
k=1

wenn es zu jedem epsilon1 > 0 ein N(epsilon1 ) gibt, so dass

|S minus S | lessequal epsilon1 fur alle m, n greaterequal N(epsilon1 ).
dieresis

m n

summationtext m

Hierbei ist S minus S = z fur m > n. Ersetzt man n durch n minus 1 ergibt
dieresis m n k

k=n+1

sich das angegebene Kriterium. Q.E.D.

Als Folgerung ergibt sich, dass absolut konvergente Reihen konvergieren:

Satz 3.7: (Absolute Konvergenz impliziert Konvergenz)

infinity infinity
summationdisplay summationdisplay

Wenn |z | konvergiert, dann auch z .
k k

k=1 k=1

m m
vextendsingle vextendsingle
summationdisplay summationdisplay summationtext

vextendsingle vextendsingle

Beweis: Die Dreiecksungleichung liefert z lessequal |z |. Erfullt |z |
vextendsingle vextendsingle dieresis
k k k

k=n k=n summationtext

das Cauchy-Kriterium 3.6, so ist dieses Kriterium automatisch auch fur z
dieresis k

erfullt.
dieresis Q.E.D.

Nur Reihen uber Nullfolgen konnen konvergieren:
dieresis dieresis

dieresis

3.1. DEFINITIONEN, BEISPIELE, SATZE 47

Satz 3.8: infinity summationdisplay

Wenn die Reihe z konvergiert, dann ist (z ) eine Nullfolge.
k k

k=1

Beweis: Das Cauchy-Kriterium 3.6 mit m = n besagt, dass es zu jedem epsilon1 > 0

ein N(epsilon1 ) gibt, so dass n

vextendsingle vextendsingle
summationdisplay

vextendsingle vextendsingle z = |z | lessequal epsilon1

vextendsingle vextendsingle n
k

k=n

fur alle n greaterequal N(epsilon1 ) gilt. Dies ist die Konvergenz (z ) arrowright 0.
dieresis n Q.E.D. Dies ist kein Konvergenz- sondern ein Divergenzkriterium: bilden die Summan-

den keine Nullfolge, muß die Reihe divergieren!

summationtext k k

Beispiel 3.9: Die Reihe konvergiert nicht, da die Summanden nicht gegen

k k+1 k+1

0 konvergieren (sie konvergieren gegen 1).

Die Umkehrung gilt nicht: bilden die Summanden eine Nullfolge, so kann man

nicht darauf schließen, dass die Reihe konvergiert. Ein Gegenbeispiel:

nsummationdisplay 1

Beispiel 3.10: Die sogenannte harmonische Reihe" S = ist unbeschrankt, dieresis
n

quotedblright k

k=1

d.h., sie divergiert.

m
Beweis: Betrachte die Teilfolge (S ):

1 1 1 1 1 1 1

m
S = 1 + + + + + periodcentered periodcentered periodcentered + + periodcentered periodcentered periodcentered + + periodcentered periodcentered periodcentered +

2 mminus 1 m

2 3 4 5 8 2 + 1 2
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright

2 1 2 mminus 1

2 1 2 1
> = > =

2 2 > =

m
2 3 2 2 2

1 1 m

greaterequal 1 + + periodcentered periodcentered periodcentered + = 1 + .

2 2 2
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright

m Terme

Da (S ) monoton wachst, konvergiert (S ) uneigentlich gegen infinity .
dieresis

n n Q.E.D.

Auf dieses Argument kommen wir spater beim Kondensationskriterium" 3.20 zuruck.
dieresis dieresis

quotedblright

Der Satz 2.28 liefert fur reelle Reihen folgendes Konvergenzkriterium:
dieresis

Satz 3.11: (Reihenkonvergenz bei positiven Summanden)summationtext

Sei (x ) eine reelle Nullfolge mit x greaterequal 0. Die Reihe x konvergiert
n n k
k

summationtext n

dann und genau dann, wenn die Partialsummen x nach oben be-

k
k=1

schrankt sind.
dieresis

48 KAPITEL 3. REIHEN

summationtext n

Beweis: Wegen x greaterequal 0 ist die Partialsummenfolge S = x monoton

n
k k

k=1

steigend. Ist sie beschrankt, konvergiert sie nach Satz 2.28. Konvergiert sie, ist dieresis

sie selbstverstandlich beschrankt.
dieresis dieresis Q.E.D.

Wir erinnern an Beispiel 2.29:

kminus 1
Beispiel 3.12: Mit k! = 1 periodcentered 2 periodcentered 3 periodcentered . . . periodcentered k greaterequal 2 sind die folgenden Partialsummen nach

oben beschrankt:
dieresis nsummationdisplay 1 1 1 1 1

S = = 1 + + + + periodcentered periodcentered periodcentered +
n k! 1! 2! 3! n!

= = < <

0 1 2 nminus 1
2 2 2 2

nminus 1 1

summationdisplay 1 minus
1 n2

lessequal 1 + = 1 + lessequal 3.

1
k2 1minus 2

k=0

infinity summationdisplay 1

Damit konvergiert gegen einen Wert lessequal 3 (es ist die Eulersche Zahl 2.718...).

k=0

3.2 Rechenregeln und das Cauchy-Produkt

17.5.02arrowdown Die Rechenregeln 2.13 liefern sofort:

Satz 3.13: (Rechenregeln)

summationtext summationtext

a) Wenn z konvergiert, dann auch c periodcentered z fur jedes c element C:
dieresis k k

k k

infinity infinity
summationdisplay summationdisplay

c periodcentered z = c periodcentered z .
k k

k=1 k=1

summationtext summationtext summationtext

b) Wenn z und ztilde konvergieren, dann auch (z plusminus ztilde ):

k k k k
k k k

infinity infinity infinity
summationdisplay summationdisplay summationdisplay

(z plusminus ztilde ) = z plusminus ztilde .
k k k k

k=1 k=1 k=1

Beweis: Satz 2.13 a) + b) angewendet auf die Partialsummen. Q.E.D. Es macht Sinn, Reihen miteinander zu multiplizieren. Da das Distributivgesetz

aus dem Produkt zweier Partialsummen eine endliche Doppelsumme

n n
summationdisplay summationdisplay

(a + periodcentered periodcentered periodcentered + a ) periodcentered (b + periodcentered periodcentered periodcentered + b ) = a periodcentered b
1 n 1 n i j

i=1 j=1

3.2. RECHENREGELN UND DAS CAUCHY-PRODUKT 49 ergibt, muss man die Summanden zunachst gezielt zusammenfassen, um zu dieresis einer Folge von Partialsummen fur das Produkt zu kommen. Wir fuhren eine dieresis dieresis

Anordnung" ein, indem wir einen formalen Ordnungsparameter zeta einfuhren:
dieresis

quotedblright n n

summationdisplay summationdisplay k

a = a periodcentered zeta .
k k | zeta = 1

k=1 k=1

Das Produkt ordnen wir dann nach Potenzen von zeta :

2 2

(a periodcentered zeta + a periodcentered zeta + periodcentered periodcentered periodcentered ) periodcentered (b periodcentered zeta + b periodcentered zeta + periodcentered periodcentered periodcentered )
1 2 1 2

2 3 4

= a periodcentered b periodcentered zeta + (a periodcentered b + a periodcentered b ) periodcentered zeta + (a periodcentered b + a periodcentered b + a periodcentered b ) periodcentered zeta + periodcentered periodcentered periodcentered .
1 1 1 2 2 1 1 3 2 2 3 1

Die einzelnen zeta -Potenzen liefern die Summanden der Partialsummen. Dies mo-

tiviert die folgende Definition:

Definition 3.14: (Das Cauchy-Produkt von Reihen) summationtext summationtext

Das Cauchy-Produkt" (die Faltung") zweier Reihen a , b

k k

summationtext
quotedblright quotedblright

ist die Reihe c mit

k
k summationdisplay

c = a periodcentered b .

i j
k i,ji+j=k

Satz 3.15: (Konvergenz des Cauchy-Produkts)

infinity infinity
summationdisplay summationdisplay

Sind die Reihen a und b absolut konvergent, so auch das Cauchy-
k k

k=1 k=1

infinity infinity infinity infinity
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig

summationdisplay summationdisplay summationdisplay summationdisplay

Produkt c . Es gilt c = a periodcentered b .
k k k k

k=2 k=2 k=1 k=1

Beweis: (Fur technisch Interessierte) Fur die Partialsummen des Cauchydieresis dieresis

Produkts gilt

n n n
vextendsingle vextendsingle
summationdisplay summationdisplay summationdisplay summationdisplay summationdisplay

vextendsingle vextendsingle

|c | = a periodcentered b lessequal |a | periodcentered |b |
vextendsingle vextendsingle

i j i j
k i,j i,j

k=2 k=2 k=2

i+j=k i+j=k

n n
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig

summationdisplay summationdisplay summationdisplay

lessequal |a | periodcentered |b | = |a | periodcentered |b | .
i j i j

i,j i=1 j=1

ilessequal n,jlessequal n

Da die rechte Seite fur n arrowright infinity konvergiert, ist die rechte Seite beschrankt. Nach dieresis dieresis

summationtext

Satz 3.11 liefert dies die Konvergenz von |c |, also die absolute Konvergenz

k
k

50 KAPITEL 3. REIHEN

des Cauchy-Produkts.

Das Cauchy-Produkt konvergiert gegen das Produkt der einzelnen Summen:

2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n
vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
summationdisplay summationdisplay summationdisplay summationdisplay summationdisplay summationdisplay summationdisplay

vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle

a periodcentered b minus c = a periodcentered b minus a periodcentered b
vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle

i j i j i j
k i,j

i=1 j=1 i=1 j=1
k=2 k=2

bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright i+j=k
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright

bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright

(a) (c)
(b)

S S

S
2n 2n

2nvextendsingle vextendsingle

summationdisplay summationdisplay
vextendsingle vextendsingle

= a periodcentered b lessequal |a | periodcentered |b |
vextendsingle vextendsingle

i j i j

i,j i,j

ilessequal 2n,jlessequal 2n ilessequal 2n,jlessequal 2n

i+j>2n i+j>2n

2 n 2n
summationdisplay summationdisplay

lessequal max(|a |, . . . , |a |) periodcentered |b | + max(|b |, . . . , |b |) periodcentered |a |.
n 2 n j n 2n i

j=n+1 i=n+1

Da (a ), (b ) Nullfolgen sind, ist der letzte Ausdruck eine Nullfolge. Fur die
dieresis

n n

Partialsummen folgt

S = S periodcentered S + Nullfolge ,n
2 n 2 n 2 n

summationtext summationtext

(c)

was zur Behauptung S arrowright ( a ) periodcentered ( b ) fuhrt.
dieresis n i j

i j Q.E.D.

3.3 Spezielle Konvergenzkriterien

Es gibt eine Anzahl spezieller Kriterien fur die Konvergenz/Divergenz von Rei-
dieresis

hen:

Satz 3.16: (Majorantenkriterium)

summationtext infinity

Sei x eine konvergente Reihe mit reellen Summanden x greaterequal 0. Sei

k k
k=1

(z ) eine komplexe Folge. Gilt fur alle bis auf endlich viele Indizes |z | lessequal
dieresis n k

summationtext infinity

x , so konvergiert die Reihe z absolut.
k k
k=1

summationtext summationtext

Bezeichung: x heißt konvergente Majorante" fur z .
dieresis k k
k k

quotedblright summationtext

Beweis: Die Partialsummen von |z | sind beschrankt (o.B.d.A. nehmen wir
dieresis k

an, |z | lessequal x gilt fur alle Indizes):
dieresis

k k

n n infinity
summationdisplay summationdisplay summationdisplay

|z | lessequal x lessequal x .
k k k

k=1 k=1 k=1

summationtext summationtext

Nach Satz 3.11 konvergiert |z |, d.h., die Reihe z konvergiert absolut.

k k
k k Q.E.D.

3.3. SPEZIELLE KONVERGENZKRITERIEN 51

Satz 3.17: (Minorantenkriterium)

summationtext infinity

Sei x eine divergente Reihe mit reellen Summanden x greaterequal 0 Sei

k k
k=1

(y ) eine reelle Folge. Gilt fur alle bis auf endlich viele Indizes x lessequal y , so
dieresis n k k

summationtext infinity

divergiert die Reihe y (genauer: sie konvergiert uneigentlich gegen

k
k=1

infinity ). summationtext summationtext

Bezeichung: x heißt divergente Minorante" fur y .
dieresis k k
k k

quotedblright summationtext

Beweis: Wurde die Reihe y konvergieren, ware sie eine konvergente Madieresis dieresis
k
k

summationtext summationtext

jorante fur x , und nach Satz 3.16 mußte x konvergieren.
dieresis dieresis
k k

k k Q.E.D.

Satz 3.18: (Quotientenkriterium)

Sei (z ) eine komplexe Folge. Gilt fur alle bis auf endlich viele Indizes
dieresis

n summationtext

|z | infinity
k+1 lessequal c mit einem Wert c element (0, 1), so konvergiert die Reihe zk

k=1
|z |k

absolut.

Beweis: Aus der Abschatzung folgt
dieresis

2 kminus 1

|z | lessequal c periodcentered |z | lessequal c periodcentered |z | lessequal . . . lessequal c periodcentered |z |.1
k kminus 1 kminus 2

summationtext kminus 1

Die geometrische Reihe |z | periodcentered c konvergiert nach Beispiel 3.3 fur c element (0, 1) dieresis 1

k summationtext

und ist damit eine konvergente Majorante fur z .
dieresis k

k Q.E.D.

Satz 3.19: (Wurzelkriterium)

Sei (z ) eine komplexe Folge. Gilt fur alle bis auf endlich viele Indizes
dieresis n

radicalbig k |z | lessequal c mit einem Wert c element (0, 1), so konvergiert die komplexe Reihe

k
summationtext infinity z absolut.

k
k=1

Beweis: Aus der Abschatzung folgt |z | lessequal c . Damit ist die geometrische Reihe dieresis k

summationtext summationtext

kc fur c element (0, 1) eine konvergente Majorante fur z .

dieresis dieresis k
k k Q.E.D.

Satz 3.20: (Kondensationskriterium)

Ist (x ) eine monoton fallende Folge positiver reeller Zahlen, so konvergiert
n

summationtext x dann und genau dann, wenn die Reihe

k
k

infinity summationdisplay m m

2 periodcentered x2

konvergiert.

52 KAPITEL 3. REIHEN

summationtext n

Beweis: Nach Satz 3.11 ist zu entscheiden, ob die Partialsummen S = x

n k
k=1

beschrankt sind. Betrachte
dieresis

n
S = x +x + x +x + periodcentered periodcentered periodcentered + x + periodcentered periodcentered periodcentered + x + periodcentered periodcentered periodcentered + x
n+1 n+1
1 2 3 4 7 2
2 minus 1 2 minus 1

n
=1periodcentered x lessequal 2periodcentered x lessequal 4periodcentered x

1 2 4 n
lessequal 2 periodcentered x2

nsummationdisplay m m

lessequal 2 periodcentered x .2

m=0

summationtext summationtext

m m

Konvergiert 2 periodcentered x , so sind alle Partialsummen S beschrankt und x
dieresis 2 n k

m k

konvergiert. Umgekehrt gilt:

n n S = x + x +x + x +x + periodcentered periodcentered periodcentered + x + periodcentered periodcentered periodcentered + x + periodcentered periodcentered periodcentered + x
nminus 1
2 1 2 3 4 5 8 2
2 +1

=1periodcentered x greaterequal 2periodcentered x greaterequal 4periodcentered x nminus 1
2 4 8 n

greaterequal 2 periodcentered x2

n n

summationdisplay summationdisplay

mminus 1 m

m m
greaterequal x + 2 periodcentered x greaterequal periodcentered 2 periodcentered x .
1 2 2

m=1 m=1

summationtext summationtext

m m

Divergiert 2 periodcentered x , so sind alle Partialsummen unbeschrankt und x
dieresis 2 k

m k

divergiert. Q.E.D.

23.5.02arrowdown Hier eine Reihe von Beispielen zu den diversen Kriterien:

Beispiel 3.21: Wir setzen das Majorantenkriterium 3.16 ein, um zu zeigen, dass die
summationtext infinity 1

Reihe konvergiert. Dazu machen wir eine Anleihe beim kommenden Bei-
2

k=1 k

spiel 3.31, wo die Konvergenz infinity summationdisplay 1 = 1

k periodcentered (k + 1)

k=1 summationtext

1 1

gezeigt wird. Dazu schatzen wir x = gegen ytilde = ab ( ytilde soll als kon-
dieresis k 2 k k

k
k kperiodcentered (k+1)

summationtext

vergente Majorante fur x dienen). Es gilt zwar nicht unmittelbar |x | = x lessequal ytilde ,
dieresis k k k k

aber mit k periodcentered (k + 1)

2k greaterequal 2

2 2 2

(arrowdblboth 2 periodcentered k greaterequal k + k arrowdblboth k greaterequal k; dies ist fur alle k greaterequal 1 erfullt) folgt
dieresis dieresis

1 2

x = lessequal = 2 periodcentered ytilde =: y .
k k k

2k k periodcentered (k + 1)

Mit Beispiel 3.31 folgt infinity infinity infinity

summationdisplay summationdisplay summationdisplay 2

x lessequal y = = 2.
k k k periodcentered (k + 1)

k=1 k=1 k=1 summationtext 1

Das Majorantenkriterium garantiert hiermit die Konvergenz von . Welchen Wert
2

k k

diese Reihe hat, haben wir damit allerdings nicht herausbekommen.

3.3. SPEZIELLE KONVERGENZKRITERIEN 53

Beispiel 3.22: Die in Beispiel 3.21 betrachtete Summe wird mit MuPAD berechnet:

>> sum(1/k^2, k = 1..infinity) 2

PI---6

Hierbei ist PI = pi = 3.1415.... Zur Kontrolle vergleichen wir diesen Wert mit einer

langen, aber endlichen Summe:

>> float(\%) 1.644934067

>> sum(1.0/k^2, k = 1..1000)

1.643934567 infinity summationdisplay k + 1

(Das passt einigermaßen.) Einige weitere Summen, z.B. :

k periodcentered (k + 2) periodcentered (k + 5)

k=1

>> sum((k + 1)/k/(k + 2)/(k + 5), k = 1..infinity)

323/900

infinity summationdisplay 1

Oder auch :3k

k=1

>> sum(1/k^3, k = 1..infinity)

zeta(3)

Dieser Reihenwert hat keine elementare Darstellung. Stattdessen stellt MuPAD ihn mittels der (unter Mathematikern) beruhmten speziellen Funktion zeta (die sogenannte

dieresis

Riemannsche Zeta-Funktion) dar. Das nutzt uns hier relativ wenig, da wir mit die-

dieresis

ser Funktion nicht naher vertraut sind. Zumindestens kann man hiermit aber bequem

dieresis

Gleitpunktnaherungen berechnen:
dieresis

>> float(\%) 1.202056903

Die Web-Seite mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html liefert weitere

Informationen zur Zeta-Funktion.

54 KAPITEL 3. REIHEN

summationtext n 1radical

Beispiel 3.23: Die Reihe konvergiert nicht fur n arrowright infinity : zwar konvergieren
dieresis

k=1 k

1radical

die Summanden x = gegen 0, aber nicht schnell genug":
k k quotedblright

100 1000 10000

summationdisplay summationdisplay summationdisplay
1 1 1 radical radical radical

= 18.5896... , = 61.8010... , = 198.5446... .

k k k
k=1 k=1 k=1

Genauer gesagt: die Reihe konvergiert uneigentlich gegen infinity ". Beweis: die nach Bei-

quotedblright

spiel 3.10 divergierende harmonische Reihe ist eine divergente Minorante:

1 1radical

lessequal .

k k

n k
summationdisplay z

Beispiel 3.24: Betrachte die Reihe , wo z eine beliebige feste komplexe Zahl ist

k=0 kz

(beachte: 0! = 1). Diese Reihe konvergiert nach dem Quotientenkriterium. Mit z =k k!

ist der Quotient zweier aufeinander folgender Summanden

k+1
|z| k+1 k

|z | |z| periodcentered k! |z| periodcentered |z| periodcentered k! |z|

(k+1)!
k+1 = = = = .

k k k

|z|

|z | |z| periodcentered (k + 1)! |z| periodcentered (k + 1) periodcentered k! k + 1
k k!

Fur hinreichend große k (namlich k greaterequal 2 periodcentered |z|) gilt
dieresis dieresis

|z | |z| |z| 1
k+1 lessequal < = =: c < 1,

|z | 2 periodcentered |z| + 1 2 periodcentered |z| 2
k

womit das Quotientenkriterium erfullt ist.
dieresis

z
Der Grenzwert heißt Exponentialfunktion" e bzw. exp(z). In der Tat stimmt die

quotedblright

Reihe mit der in Satz 2.20 benutzten Definition uberein (was noch zu zeigen ware):
dieresis dieresis

infinity

parenleftBig parenrightBig k 2 3

summationdisplay
n
z z z z

ze = exp(z) = lim 1 + = = 1 + z + + + periodcentered periodcentered periodcentered .

narrowright infinity n k! 2 6

k=0

Die Reihendarstellung der exp-Funktion bietet einige Vorteile. Fur kleine Argumente z
dieresis

gilt z.B. die Naherung
dieresis 2 3 2

z z z

exp(z) = 1 + z + + + periodcentered periodcentered periodcentered approxequal 1 + z + .
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright 2! 3! 2

bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
klein noch kleiner noch viel

kleiner

Wir ersparen uns hier den Beweis furdieresis infinity

parenleftBig parenrightBig k

summationdisplay
n

z z

lim 1 + = ,

narrowright infinity n k!

k=0

der einigen technischen Abschatzungsaufwand erfordert.
dieresis

3.4. BEDINGTE KONVERGENZ, UMORDNUNGEN 55

infinity summationdisplay 1

Beispiel 3.25: Die Reihe konvergiert genau dann, wenn p > 1 gilt.
pk

k=1 p

Beweis: fur festes p > 0 ist die Folge x = 1/k monoton falled. Das Kondensationskri-

dieresis k

terium liefert die Konvergenz, wenn

infinity infinity infinity infinity

summationdisplay summationdisplay summationdisplay summationdisplay

1 1 1

m m

m
2 periodcentered x = 2 periodcentered = =
2 m p m pminus 1 pminus 1 m

(2 ) (2 ) (2 )

m=1 m=1 m=1 m=1

konvergiert. Diese geometrische Reihe konvergiert, wenn < 1 gilt, d.h., fur p > 1. dieresis

pminus 1

2
summationtext 1

Fur p lessequal 1 ist die harmonische Reihe eine divergierende Minorante.
dieresis k k

3.4 Bedingte Konvergenz, Umordnungen

Es gibt einen Spezialfall, wo die Tatsache, dass die Summanden eine Nullfolge

bilden, fur die Konvergenz der Reihe ausreicht: alternierende Reihen:
dieresis

Satz 3.26: (Das Leibnizendash Kriterium fur alternierende Reihen)
dieresis

Eine reelle Folge (x ) heißt "alternierend", wenn fur jeden Index x und
dieresis

n n

x unterschiedliche Vorzeichen haben. Ist zusatzlich |x | monoton fal-
dieresis

n+1 n

lend und (x ) eine Nullfolge, so konvergiert die zugeordnete alternierende
n

summationtext quotedblright

Reihe" x .k
k

Beweis: Fixiere ein beliebiges n. Durch Induktion nach m ist leicht zu zeigen,

dass m

vextendsingle vextendsingle
summationdisplay

vextendsingle vextendsingle x lessequal |x |

vextendsingle vextendsingle n
k

k=n

fur alle m greaterequal n gilt. Da |x | eine Nullfolge bildet, ist das Cauchy-Kriterium 3.6 dieresis n

erfullt.
dieresis Q.E.D.

Beispiel 3.27: Die alternierende harmonische Reihe"

quotedblright infinity k+1

summationdisplay
1 1 1 (minus 1)

1 minus + minus plusminus periodcentered periodcentered periodcentered =

2 3 4 k

k=1

erfullt das Leibniz-Kriterium und konvergiert (der Grenzwert ist ln(2)).
dieresis

Die alternierende harmonische Reihe konvergiert, aber sie konvergiert nicht absolut (die harmonische Reihe ist bekanntlich divergent). Fur solche bedingt" (= dieresis quotedblright

nicht absolut) konvergente Reihen ist hochste Vorsicht geboten: die Reihenfolge dieresis

der Summation ist wichtig!

56 KAPITEL 3. REIHEN

Beobachtung 3.28:

Fur die alternierende harmonische Reihe des letzten Beispiels gilt:
dieresis

1 1 1 1 1 1 1

S = 1 minus + minus + minus + minus + . . .

2 3 4 5 6 7 8

S 1 1 1 1

= minus + minus + . . .

2 2 4 6 8

3 periodcentered S 1 1 1 1 1

= 1 + minus + + minus + . . .

2 3 2 5 7 4

Man kann sich leicht uberlegen, dass in der letzten Reihe der Kehrwert
dieresis

jeder naturlichen Zahl genau einmal auftaucht. In der Tat erhalt sie alle
dieresis dieresis

Summanden der alterniernenden Reihe S, nur dass die Summanden anders

angeordnet sind:

Nehme 2 positive Summanden von S, dann einen negativen, dann quotedblright die beiden nachsten positiven, dann den nachsten negativen usw."

dieresis dieresis

Diese Umordnung hat den Grenzwert verandert!
dieresis

Erstaunlicherweise kann man durch eine geeignete Umsummation jeden beliebi-

gen Grenzwert erreichen:

Satz 3.29: (Riemannscher Umordnungssatz fur bedingt konvergente Reihen)
dieresis

summationtext

Sei x eine konvergierende reelle Reihe, die nicht absolut konvergiert:
k
k

summationtext |x | = infinity . Dann gibt es zu jedem S element R eine bijektive Abbildung

k
k

P : N arrowright N (eine "Permutation" von N), so dass

infinity n
summationdisplay summationdisplay

x = lim x = S
P (k) P (k)

narrowright infinity

k=1 k=1

gilt.

Die Beweisidee ist sehr einfach, der Beweis ist konstruktiv. Sei

+ minus

N = {n element N,x greaterequal 0}, N = {n element N,x < 0}.
n n

summationtext

Man uberlegt sich, dass die Divergenz von |x | zusammen mit der Kon-
dieresis k

summationtext summationtext summationtext

vergenz von x bedeutet, dass x gegen infinity und x gegen
+ minus
k k k

k kelement N kelement N

minus infinity konvergiert. Zu gegebenem S wahle solange Indizes in N , bis die Summe
dieresis

uber die entsprechenden positiven x zum ersten Mal S uberschreitet (wegen
dieresis dieresis
k

summationtext x = infinity wird dies sicherlich irgendwann geschehen). Dann wahle solange

dieresis + k

kelement N minus

Indizes in N , bis durch Hinzuaddieren der entsprechenden negativen x zum
k

summationtext

ersten Mal S unterschritten wird (wegen x = minus infinity wird dies sicherlich
minus k

kelement N

3.5. SUMMATION PER PARTIALBRUCHZERLEGUNG 57

irgendwann geschehen). Dann wahle wieder Indizes auf N , bis S uberschritdieresis dieresis

ten wird usw. Die Diff erenz zwischen S und der uberschreitenden bzw. unterdieresis schreitenden Zwischensumme ist jeweils kleiner als das letzte Folgenelement, das addiert bzw. subtrahiert wurde. Die Folgenglieder sind aber eine Nullfolge,

summationtext

da x konvergiert. Damit konvergieren die konstruierten Zwischensummen

k
k

gegen S. Details: siehe z.B. Chr. Blatter, Analysis 1, Springer. Q.E.D. Glucklicherweise ergibt sich dieses Umordnungsproblem bei absolut konvergiedieresis renden Reihen nicht. Jede Umordnung der Reihenglieder liefert die selbe Sum-

me:

Satz 3.30: (Umordnungssatz fur absolut konvergente Reihen)
dieresis

summationtext

Sei z eine (komplexe) absolut konvergierende Reihe. Dann konver-

k
ksummationtext

giert z fur jede Permutation P absolut gegen den selben Grenz-
dieresis

P (k)
k

wert.

Beweis: siehe z.B. Chr. Blatter, Analysis 1, Springer.

3.5 Summation per Partialbruchzerlegung arrowdown 24.5.02

Es gibt einige Situationen, wo man (endliche) Reihen explizit berechnen kann.

Der Reihenwert ergibt sich als Grenzwert des expliziten Ausdrucks:

nsummationdisplay 1

Beispiel 3.31: Betrachte . Die entscheidende Beobachtung ist:

k periodcentered (k + 1)

k=1

1 1 1

= minus

k periodcentered (k + 1) k k + 1

1 1

(man bringe minus auf den Hauptnenner). Hiermit ergibt sich
k k+1

n n n n
parenleftBig parenrightBig
summationdisplay summationdisplay summationdisplay summationdisplay

1 1 1 1 1

= minus = minus

k periodcentered (k + 1) k k + 1 k k + 1

k=1 k=1 k=1 k=1

1 1 1

= 1 + + + periodcentered periodcentered periodcentered +
2 3 n

1 1 1 1

minus minus minus periodcentered periodcentered periodcentered minus minus
2 3 n n+1

= 1 minus .
n+1

Man nennt so eine Summe auch Teleskopsumme": sie laßt sich zu einigen wenigen

dieresis

quotedblright

Termen zusammenschieben", da sich fast alle Summanden aufheben. Es folgt:

quotedblright infinity n parenleftBig parenrightBig

summationdisplay summationdisplay
1 1 1

= lim = lim 1 minus = 1.

narrowright infinity narrowright infinity
k periodcentered (k + 1) k periodcentered (k + 1) n + 1

k=1 k=1

58 KAPITEL 3. REIHEN

Der im obigen Beispiel angewendete Trick laßt sich systematisch anwenden: dieresis

Rezept (Summation durch Partialbruchzerlegung") 3.32:

quotedblright
summationtext

Betrachte die Summe a uber einen rationalen" Ausdruck in k:
dieresis k

k quotedblright p

c + c periodcentered k + periodcentered periodcentered periodcentered + c periodcentered k
0 1 p

a =
k q

d + d periodcentered k + periodcentered periodcentered periodcentered + d periodcentered k
0 1 q summationtext

mit p + 2 lessequal q (fur p + 2 > q divergiert die Reihe a ).
dieresis k

* Schritt 1: Bestimme die Nullstellen k , k , . . . , k des Nennerpoly-

1 2 q

noms P (k) = d + d periodcentered k + periodcentered periodcentered periodcentered + d periodcentered k = d periodcentered (k minus k ) periodcentered . . . periodcentered (k minus k ). 0 1 q q 1 q

* Schritt 2: Sind alle Nullstellen einfach, so kann man den Ausdruck stets folgendermaßen additiv zerlegen: es gibt Werte e , e , . . . , e , so

1 2 q

dass

c + c periodcentered k + periodcentered periodcentered periodcentered + c periodcentered k e e e
0 1 p 1 2 q

a = = + + periodcentered periodcentered periodcentered + .
k q

d + d periodcentered k + periodcentered periodcentered periodcentered + d periodcentered k k minus k k minus k k minus k
0 1 q 1 2 q

Finde diese Werte e , . . . , e ! Man bringt dazu die rechte Seite dieses

1 q

Ansatzes auf den Hauptnenner (das ergibt nach Konstruktion das Nennerpolynom P (k)). Das Zahlerpolynom muss mit dem Zahler dieresis dieresis

der linken Seite ubereinstimmen. Vergleiche in den Zahlern die Kodieresis dieresis

effi zienten der k-Potenzen, die einzeln ubereinstimmen mussen. Dies dieresis dieresis

fuhrt zu einem (stets losbaren) linearen Gleichungssystem fur dieresis dieresis dieresis

e , . . . , e .
1 q

* Schritt 3: Es gilt

n n parenleftBig parenrightBig
summationdisplay summationdisplay e e e

1 2 q

a = + + periodcentered periodcentered periodcentered +
k k minus k k minus k k minus k

1 2 q
k=1 k=1

n n n

summationdisplay summationdisplay summationdisplay

e e e
1 2 2

= + + periodcentered periodcentered periodcentered + .

k minus k k minus k k minus k
1 2 q

k=1 k=1 k=1

Unterscheiden sich die Nullstellen um ganze Zahlen, so laßt sich diedieresis se Summe von Summen als Teleskopsumme" zu einem expliziten

quotedblright

Ausdruck in n vereinfachen.

nsummationdisplay k

Beispiel 3.33: Betrachte .

3 2
k minus 2 periodcentered k minus k + 2

k=3

Schritt 1: Die Nullstellen des Nennerpolynoms sind k = 1, k = minus 1, k = 2:
1 2 3

3 2
k minus 2 periodcentered k minus k + 2 = (k minus 1) periodcentered (k + 1) periodcentered (k minus 2).

3.5. SUMMATION PER PARTIALBRUCHZERLEGUNG 59

Schritt 2: Mache den Ansatz:k e e e

1 2 3

= + + .

3 2
k minus 2 periodcentered k minus k + 2 k minus 1 k + 1 k minus 2

Bringe die rechte Seite auf den Hauptnenner und ordne den Zahler nach k-Potenzen:
dieresis

e e e
1 2 3

+ +

k minus 1 k + 1 k minus 2

e periodcentered (k + 1) periodcentered (k minus 2) + e periodcentered (k minus 1) periodcentered (k minus 2) + e periodcentered (k minus 1) periodcentered (k + 1)
1 2 3

= (k minus 1) periodcentered (k + 1) periodcentered (k minus 2)

e periodcentered (k + 1) periodcentered (k minus 2) + e periodcentered (k minus 1) periodcentered (k minus 2) + e periodcentered (k minus 1) periodcentered (k + 1)
1 2 3

= (k minus 1) periodcentered (k + 1) periodcentered (k minus 2)

2 2 2

e periodcentered k minus e periodcentered k minus 2 periodcentered e + e periodcentered k minus 3 periodcentered e periodcentered k + 2 periodcentered e + e periodcentered k minus e
1 1 1 2 2 2 3 3

= (k minus 1) periodcentered (k + 1) periodcentered (k minus 2)

(e + e + e ) periodcentered k + (minus e minus 3 periodcentered e ) periodcentered k + (minus 2 periodcentered e + 2 periodcentered e minus e )
1 2 3 1 2 1 2 3

= .

(k minus 1) periodcentered (k + 1) periodcentered (k minus 2)

Dies muß als Polynom in k mit dem Zahler der Summanden der Reihe ubereinstimmen,

dieresis dieresis

also 2 2

k = 0 periodcentered k + 1 periodcentered k + 0 = (e + e + e ) periodcentered k + (minus e minus 3 periodcentered e ) periodcentered k + (minus 2 periodcentered e + 2 periodcentered e minus e ) .
1 2 3 1 2 1 2 3

=0 =1 =0

Durch Vergleich der k-Potenzen ergibt sich:

e + e + e = 0, minus e minus 3 periodcentered e = 1, minus 2 periodcentered e + 2 periodcentered e minus e = 0.
1 2 3 1 2 1 2 3

Die Losung dieses linearen Gleichungssystems ist
dieresis 1 1 2

e = minus , e = minus , e = ,
1 2 3

2 6 3

also k 1 1 1 1 2 1

= minus periodcentered minus periodcentered + periodcentered .

3 2
k minus 2 periodcentered k minus k + 2 2 k minus 1 6 k + 1 3 k minus 2

Schritt 3: Reduktion der Teleskopsumme. Beachte, dass eine der Gleichungen e +e +

1 2

e = 0 war. Deshalb ist es kein Zufall, dass sich in der Tat eine Teleskopsumme ergibt:

3 n n n n

summationdisplay summationdisplay summationdisplay summationdisplay
k (minus 1/2) (minus 1/6) (2/3)

= + +

3 2
k minus 2 periodcentered k minus k + 2 k minus 1 k + 1 k minus 2

k=3 k=3 k=3 k=3

(minus 1/2) (minus 1/2) (minus 1/2) (minus 1/2) (minus 1/2)

= + + + periodcentered periodcentered periodcentered + +
2 3 4 nminus 2 nminus 1

(minus 1/6) (minus 1/6) (minus 1/6) (minus 1/6) (minus 1/6)

+ periodcentered periodcentered periodcentered + + + +
4 nminus 2 nminus 1 n n+1

(2/3) (2/3) (2/3) (2/3) (2/3)

+ + + + + periodcentered periodcentered periodcentered +
1 2 3 4 nminus 2

0 0 0

(minus 1/2) (minus 1/2) (minus 1/2)

= + +
2 3 nminus 1

(minus 1/6) (minus 1/6) (minus 1/6)

+ + +
nminus 1 n n+1

(2/3) (2/3) (2/3)

+ + +
1 2 3

bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright

(minus 2/3) (minus 1/6) (minus 1/6)
29

= + + + .

36 nminus 1 n n+1

60 KAPITEL 3. REIHEN

Der Grenzwert fur n arrowright infinity liefert
dieresis infinity summationdisplay k 29

= .

3 2
k minus 2 periodcentered k minus k + 2 36

k=3

Beispiel 3.34: In MuPAD ist die Funktion partfrac ( partial fraction") fur die Par-
dieresis

quotedblright

tialbruchzerlegung zustandig:
dieresis

>> partfrac(k/(k^3 - 2*k^2 - k + 2))

2 1 1

--------- - --------- - --------- 3 (k - 2) 6 (k + 1) 2 (k - 1)