Kapitel 1
Komplexe Zahlen
arrowdown 18.4.01
2
Motivation: die Gleichung x = minus 1 hat off ensichtlich keine reellen Losungen, da
dieresis
2
x greaterequal 0 fur jedes reelle x gilt. Um auch diese Gleichung losen zu konnen, muß
dieresis dieresis dieresis
man neue Zahlen einfuhren: die komplexen Zahlen. Die grundsatzliche Idee
dieresis dieresis
radical
ist ganz einfach: man fuhrt ein neues Symbol i ein, das minus 1 reprasentieren soll.
dieresis dieresis
2
Es wird einzig und allein durch die Rechenregel i = minus 1 festgelegt. Ansonsten
behalt man alle aus dem Reellen bekannten Rechenregeln einfach bei.
dieresis
1.1 Definitionen
Definition 1.1: (Die komplexen Zahlen)
Die Menge der komplexen Zahlen C ist die Menge aller formalen
Summen der Form
C = {x + i periodcentered y; x, y element R}.
Fur z = x + i periodcentered y element C nennt man x den Realteil und y den Imaginarteil
dieresis dieresis
von z.
Zahlen z = x + i periodcentered 0 mit y = 0 nennt man reell, schreibt auch kurz z = x
und identifiziert z mit x element R.
Zahlen z = 0 + i periodcentered y mit x = 0 nennt man imaginar und schreibt auch
dieresis
kurz z = i periodcentered y.
Der Nullpunkt z = 0 + i periodcentered 0 wird auch kurz als z = 0 geschrieben.
Auf C definieren wir die Addition
z + z = (x + i periodcentered y ) + (x + i periodcentered y ) = (x + x ) + i periodcentered (y + y )
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
element R element R
sowie die Multiplikation
z periodcentered z = (x + i periodcentered y ) periodcentered (x + i periodcentered y ) = (x periodcentered x minus y periodcentered y ) + i periodcentered (x periodcentered y + x periodcentered y ) .
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
element R element R
2 KAPITEL 1. KOMPLEXE ZAHLEN
Interpretation 1.2:
2
Hinter dieser Definition der Multiplikation steckt i = minus 1:
i periodcentered i = (0 + i periodcentered 1) periodcentered (0 + i periodcentered 1) = (0 periodcentered 0 minus 1 periodcentered 1) + i periodcentered (0 periodcentered 1 + 1 periodcentered 0) = minus 1.
Man braucht sich die formale Definition der Multiplikation nicht zu merken: man benutze einfach die ublichen aus R bekannten Rechenregeln dieresis (Kommutativitat a periodcentered b = b periodcentered a, Assoziativitat (a periodcentered b) periodcentered c = a periodcentered (b periodcentered c), das dieresis dieresis
Distributivgesetz a periodcentered (b + c) = a periodcentered b + a periodcentered c etc.), und setze beim Rechnen
2 3 2 4 3 2
i = minus 1, i = (i ) periodcentered i = minus i, i = (i ) periodcentered i = (minus i) periodcentered i = minus (i ) = 1
usw. ein:
2
(x + i periodcentered y ) periodcentered (x + i periodcentered y ) = x periodcentered x + i periodcentered x periodcentered y + i periodcentered x periodcentered y + i periodcentered y periodcentered y
1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
minus 1
= x periodcentered x +i periodcentered x periodcentered y +i periodcentered x periodcentered y minus y periodcentered y = (x periodcentered x minus y periodcentered y )+i periodcentered (x periodcentered y +x periodcentered y ).
1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
Folgerung 1.3:
Wir konstruieren eine Division fur z = x + i periodcentered y =negationslash 0 + i periodcentered 0 equivalence 0:
dieresis
1 1 1 x minus i periodcentered y
= = periodcentered
z x + i periodcentered y x + i periodcentered y x minus i periodcentered y
x minus i periodcentered y x minus i periodcentered y x y
= = = minus i periodcentered .
2 2 2 2 2 2
(x + i periodcentered y) periodcentered (x minus i periodcentered y) x minus (i periodcentered y) x + y x + y
Allgemein:
z x + i periodcentered y (x + i periodcentered y ) periodcentered (x minus i periodcentered y )
1 1 1 1 1 2 2
= =
z x + i periodcentered y (x + i periodcentered y ) periodcentered (x minus i periodcentered y )
2 2 2 2 2 2 2
(x periodcentered x + y periodcentered y ) + i periodcentered (minus x periodcentered y + x periodcentered y )
1 2 1 2 1 2 2 1
= 2 2
x + y + i periodcentered (x periodcentered y minus x periodcentered y )
2 2 2 2
2 2
x periodcentered x + y periodcentered y x periodcentered y minus x periodcentered y
1 2 1 2 2 1 1 2
= + i periodcentered .
2 2 2 2
x + y x + y
2 2 2 2
Definition 1.4: (komplexe Konjugation etc.)
Es werden folgende speziellen Operationen auf den komplexen Zahlen ein-
gefuhrt:
dieresis
Rfractur (z) = Rfractur (x + i periodcentered y) = x (der Realteil von z),
Ifractur (z) = Ifractur (x + i periodcentered y) = y (der Imaginarteil von z),
dieresis
radicalbig
2 2
|z| = |x + i periodcentered y| = x + y (der Betrag von z),
z = x + i periodcentered y = x minus i periodcentered y (das komplex Konjugierte
von z).
Merkregel 1.5:
Die Division komplexer Zahlen lauft auf den Standardtrick Erweitern
dieresis quotedblright
mit dem komplex konjugierten Nenner hinaus":
z x + i periodcentered y (x + i periodcentered y ) periodcentered (x minus i periodcentered y ) z periodcentered z
1 1 1 1 1 2 2 1 2
= = = .
z x + i periodcentered y (x + i periodcentered y ) periodcentered (x minus i periodcentered y ) z periodcentered z
2 2 2 2 2 2 2 2 2
Satz 1.6: (Rechenregeln)
Fur alle z, z , z element C gilt: Kommutativitat" und Assoziativitat" von
dieresis dieresis dieresis
1 2 quotedblright quotedblright
Multiplikation und Division
z periodcentered z = z periodcentered z , (z periodcentered z ) periodcentered z = z periodcentered (z periodcentered z ),
1 2 2 1 1 2 3 1 2 3
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= periodcentered , periodcentered periodcentered = periodcentered periodcentered ,
z periodcentered z z z z z z z z z
1 2 2 1 1 2 3 1 2 3
Linearitat" von Rfractur , Ifractur und Konjugation
dieresis
quotedblright
Rfractur (z +z ) = Rfractur (z )+Rfractur (z ), Ifractur (z +z ) = Ifractur (z )+Ifractur (z ), z + z = z +z ,
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
Multiplikativitat" des Betrags und der Konjugation
dieresis
quotedblright
vextendsingle vextendsingle parenleftBig parenrightBig
vextendsingle vextendsingle
z |z | z z
1 1 1 1
vextendsingle vextendsingle
|z periodcentered z | = |z | periodcentered |z |, = , z periodcentered z = z periodcentered z , =
1 2 1 2 1 2 1 2
vextendsingle vextendsingle
z |z | z z
2 2 2 2
sowie die Beziehungen
z z periodcentered z
1 1 2
2 2 2 2
|z| = |z| = z periodcentered z = Rfractur (z) + Ifractur (z) , = 2
z |z |
2 2
und die Dreiecksungleichung":
quotedblright
|z + z | lessequal |z | + |z |.
1 2 1 2
Beweis: Alles ist direkt nachzurechnen, z.B.
2 2 2 2
z periodcentered z = (x + i periodcentered y) periodcentered (x minus i periodcentered y) = x + y = |z| = |z|
oder (wie schon oben durchgefuhrt):
dieresis
z z periodcentered z z periodcentered z
1 1 2 1 2
= = .
2
z z periodcentered z |z |
2 2 2 2
Q.E.D.
4 KAPITEL 1. KOMPLEXE ZAHLEN
radical
Beispiel 1.7: In MuPAD wird i = minus 1 durch I dargestellt: arrowdown 19.4.02
>> sqrt(-1)
I
>> I^2
-1
Die MuPAD-Funktionen Re, Im, conjugate und abs berechnen Real- und Imaginarteil,
dieresis
komplexe Konjugation und den Absolutbetrag:
>> z:= 2 + 3*I:
>> Re(z), Im(z), conjugate(z), abs(z)
1/2
2, 3, 2 - 3 I, 13
Geometrische Interpretation 1.8:
Man stellt sich ublicherweise die Menge der komplexen Zahlen als 2- dieresis
dimensionale Ebene ( die komplexe Ebene") vor:
quotedblright
i periodcentered y
C
a54 a115 z = x+ i periodcentered y
a8
a8
a8
a8
a8
|z| a8
a8 Ifractur (z) = |z| periodcentered sin(phi1 )
a8
a8
a8
a8
a8 phi1
a8 a45
a72 x
a72 Rfractur (z) = |z| periodcentered cos(phi1 )
a72 a72 a72 a72 a72 a72 a72 a72 a72 a72
a72 a115 z = x minus i periodcentered y
Der Betrag von z ist der Abstand zum Ursprung, komplexe Konjugation entspricht der Spiegelung an der x-Achse ( die reelle Achse"). Die y-
quotedblright
Achse wird auch als imaginare Achse" bezeichnet.
dieresis
quotedblright
2 2
Geometrisch ist C nichts anderes als R : x + i periodcentered y element C =hatwide (x, y) element R .
Die komplexe Addition entspricht genau der Addition von Vektoren im
2 2
R . Algebraisch besteht der Unterschied zwischen C und R darin, dass
man auf C neben der Addition noch eine Multiplikation C multiply C mapsto arrowright C hat,
2
wohingegen es auf R keine interessante Multiplikation zweier Vektoren
2
gibt, die wieder einen Vektor liefert (außer derjenigen, die R zu C macht).
1.2. POLYNOMWURZELN, FUNDAMENTALSATZ DER ALGEBRA 5 Bemerkung 1.9: Fuhrt man den eingezeichneten Winkel phi1 zwischen dem Vekdieresis quotedblright
tor" z und der reellen Achse ein, so gilt mit den aus der Schule bekannten
Winkelfunktionen sin und cos:
z = x + i periodcentered y = |z| periodcentered cos(phi1 ) + i periodcentered |z| periodcentered sin(phi1 ).
Die Darstellung z = x + i periodcentered y nennt man die Kartesische Darstellung der
komplexen Zahl z durch Real- und Imaginarteil. Die Darstellung
dieresis
parenleftBig parenrightBig
z = |z| periodcentered cos(phi1 ) + i periodcentered sin(phi1 )
durch den Betrag |z| und den Polarwinkel" phi1 element [0, 2 pi ) heißt Polardarstel-
quotedblright
lung von z (phi1 heißt auch das Argument von z"). Wir werden spater in dieresis
quotedblright
Abschnitt 5.3 auf die Polardarstellung komplexer Zahlen zuruckkommen, nachdieresis
dem wir die komplexe Exponentialfunktion eingefuhrt haben.
dieresis
1.2 Nullstellen von Polynomen, der Fundamental-
satz der Algebra
Die Motivation zur Einfuhrung der komplexen Zahlen war, Polynomgleichungen dieresis
2
wie z.B. x + 1 = 0 losen zu konnen. In der Tat stellt sich nun heraus, dass dieresis dieresis
Polynome vom Grad n immer genau n (evtl. entartete") komplexe Nullstellen
quotedblright haben. Wir definieren zunachst Entartung" von Nullstellen, wobei wir auf die dieresis quotedblright
aus der Schule bekannte Diff erentiation zuruckgreifen:
dieresis
Definition 1.10: (Vielfachheit von Nullstellen)
Sei f : R mapsto arrowright R eine mehrfach diff erenzierbare Funktion (siehe Kapitel 6).
asteriskmath
Man nennt x eine Nullstelle der Vielfachheit" k (oder auch k-fache
quotedblright quotedblright
Nullstelle"), wenn
asteriskmath prime asteriskmath (kminus 1) asteriskmath (k) asteriskmath
f(x ) = f (x ) = . . . = f (x ) = 0, f (x ) negationslash = 0.
Beispiel 1.11: (Mehrfache Polynomwurzeln)
asteriskmath n asteriskmath
Fur das Polynom p(x) = (x minus x ) mit n > 0 ist x eine n-fache Nullstelle:
dieresis
asteriskmath n prime asteriskmath nminus 1 prime prime asteriskmath nminus 2
p(x) = (x minus x ) , p (x) = n periodcentered (x minus x ) , p (x) = n periodcentered (n minus 1) periodcentered (x minus x ) ,
(nminus 1) asteriskmath (n)
. . . , p (x) = n periodcentered (n minus 1) periodcentered . . . periodcentered 2 periodcentered (x minus x ), p (x) = n!,
also
asteriskmath asteriskmath asteriskmath n
p(x ) = (x minus x ) = 0,
prime asteriskmath asteriskmath asteriskmath nminus 1
p (x ) = n periodcentered (x minus x ) = 0,
6 KAPITEL 1. KOMPLEXE ZAHLEN
prime prime asteriskmath asteriskmath asteriskmath nminus 2
p (x ) = n periodcentered (n minus 1) periodcentered (x minus x ) = 0,
periodcentered periodcentered periodcentered
(nminus 1) asteriskmath asteriskmath asteriskmath 1
p (x ) = n periodcentered (n minus 1) periodcentered . . . periodcentered 2 periodcentered (x minus x ) = 0,
(n) asteriskmath asteriskmath asteriskmath 0
p (x ) = n periodcentered (n minus 1) periodcentered . . . periodcentered 2 periodcentered 1 periodcentered (x minus x ) = n! negationslash = 0.
Beispiel 1.12: (Mehrfache Polynomwurzeln)
Seien x , . . . , x verschieden. Fur das Polynom
dieresis
1 k
n n
1 k
p(x) = (x minus x ) periodcentered . . . periodcentered (x minus x )
1 k
vom Grad n = n + periodcentered periodcentered periodcentered + n sind x , . . . , x Nullstellen der Vielfachheit n , . . . n .
1 k 1 k 1 k
Der Nachweis geht analog zum letzten Beispiel: Betrachte eine der Nullstellen x und
i
schreibe
a72 a8
a8
n n n n
a72
i 1 i k
a8
p(x) = (x minus x ) periodcentered f(x), f(x) = (x minus x ) periodcentered . . . periodcentered (x minus x ) periodcentered . . . periodcentered (x minus x ) .
i 1 i k
a72
a8 a72
a72 a8
prime prime prime
dieresis
Uber die aus der Schule bekannte Produktregel (g periodcentered f) = g periodcentered f +g periodcentered f der Diff erentiation
folgt
ni
p(x) = (x minus x ) periodcentered f(x),
i
prime n minus 1 n prime
i i
p (x) = n periodcentered (x minus x ) periodcentered f(x) + (x minus x ) periodcentered f (x),
i i i
prime prime n minus 2 n minus 1 prime n prime prime
i i i
p (x) = n periodcentered (n minus 1) periodcentered (x minus x ) periodcentered f(x) + 2 periodcentered n periodcentered (x minus x ) periodcentered f (x) + (x minus x ) periodcentered f (x)
i i i i i i
prime prime prime
usw., wobei f , f , f etc. Polynome sind. Die ersten n minus 1 Ableitungen verschwinden
i
an der Stelle x = x :
i
ni
p(x ) = 0 periodcentered f(x ) = 0 ,
i i
prime n minus 1 n prime
i i
p (x ) = 0 periodcentered f(x ) + 0 periodcentered f (x ) = 0
i i i
prime prime n minus 2 n minus 1 prime n prime prime
i i i
p (x ) = (..) periodcentered 0 periodcentered f(x ) + (..) periodcentered 0 periodcentered f (x ) + 0 periodcentered f (x ) = 0
i i i i
usw. Die n -te Ableitung verschwindet nicht:
i
(n ) prime n (n )
i i i
p (x) = n ! periodcentered f(x) + (..) periodcentered (x minus x ) periodcentered f (x) + periodcentered periodcentered periodcentered + (x minus x ) periodcentered f (x),
i i i
(n )
i
also p (x ) = n ! periodcentered f(x ), wobei
i i i
a72 a8
a8
n n n
a72
1 i k
a8
f(x ) = (x minus x ) periodcentered . . . periodcentered (x minus x ) periodcentered . . . periodcentered (x minus x ) =negationslash 0
i i 1 i i i k
a72
a8 a72
a72
a8
gilt, da x =negationslash x , . . . , x =negationslash x vorausgesetzt ist. Damit ist x eine Nullstelle der Vielfach-
i 1 i k i
heit n .
i
1.2. POLYNOMWURZELN, FUNDAMENTALSATZ DER ALGEBRA 7
Ein Polynom und seine Ableitungen
n nminus 1
p(x) = a periodcentered x + a periodcentered x + . . . + a periodcentered x + a ,
n nminus 1 1 0
prime nminus 1 nminus 2
p (x) = a periodcentered n periodcentered x + a periodcentered (n minus 1) periodcentered x + . . . + a
n nminus 1 1
etc. ist naturlich auch fur komplexe Zahlen x wohldefiniert und man kann dieresis dieresis
daher nach (mehrfachen) komplexen Nullstellen fragen. Die Definition 1.10 der
Vielfachheit wird dabei auch fur komplexe Nullstellen beibehalten.
dieresis
Wir rekapitulieren zunachst das in der Mathematik I des letzten Semesters schon
dieresis
vorgestellte Horner-Schema zur Polynomauswertung und Polynomdivision:
Satz 1.13: (Polynomauswertung und -division per Horner-Schema)
n nminus 1
Fur das Polynom p(x) = a periodcentered x + a periodcentered x + periodcentered periodcentered periodcentered + a mit Koeffi zienten
dieresis n nminus 1 0
asteriskmath
a element C gilt fur jedes x element C:
dieresis
k
asteriskmath
p(x) minus p(x ) nminus 1 nminus 2
= b periodcentered x + b periodcentered x + periodcentered periodcentered periodcentered + b periodcentered x + b ,
0 1 nminus 2 nminus 1
asteriskmath
x minus x
wobei b , b etc. durch die Rekursion ( Horner-Schema")
0 1 quotedblright
b := a ;
0 n
asteriskmath
for k := 1 to n do b := b periodcentered x + a ;
k kminus 1 nminus k
asteriskmath
gegeben sind. Es gilt b = p(x ).
n
asteriskmath asteriskmath
Beweis: Mit b = a , b minus b periodcentered x = a und minus b periodcentered x = a minus b folgt
0 n nminus 1 0 n
k kminus 1 nminus k
parenleftBig parenrightBig
asteriskmath nminus 1 nminus 2
(x minus x ) periodcentered b periodcentered x + b periodcentered x + periodcentered periodcentered periodcentered + b periodcentered x + b
0 1 nminus 2 nminus 1
n nminus 1 nminus 2
= b periodcentered x + b periodcentered x + b periodcentered x + periodcentered periodcentered periodcentered + b periodcentered x
0 1 2 nminus 1
asteriskmath nminus 1 asteriskmath nminus 2 asteriskmath asteriskmath
minus b periodcentered x periodcentered x minus b periodcentered x periodcentered x minus periodcentered periodcentered periodcentered minus b periodcentered x periodcentered x minus b periodcentered x
0 1 nminus 2 nminus 1
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
n nminus 1 nminus 2
= a periodcentered x + a periodcentered x + a periodcentered x + periodcentered periodcentered periodcentered + a periodcentered x + a minus b
n nminus 1 nminus 2 1 0 n
= p(x) minus b .
n
asteriskmath asteriskmath
Fur x = x folgt 0 = p(x ) minus b und damit
dieresis n
parenleftBig parenrightBig
asteriskmath nminus 1 nminus 2 asteriskmath
(x minus x ) periodcentered b periodcentered x + b periodcentered x + periodcentered periodcentered periodcentered + b periodcentered x + b = p(x) minus p(x ).
0 1 nminus 2 nminus 1
Q.E.D.
8 KAPITEL 1. KOMPLEXE ZAHLEN
asteriskmath
Das Horner-Schema liefert mittels b = p(x ) die Auswertung des Poly- arrowdown 25.4.02
n
asteriskmath
noms an einer Stelle x mit n Multiplikationen und n minus 1 Additionen. In der
Tat ist es (fur dicht besetzte" Polynome) das Standardschema, mit dem auf
dieresis quotedblright
dem Rechner Polynomauswertungen implementiert werden. Bei der Auswertung werden gleichzeitig die Koeffi zienten b , . . . , b des Faktorpolynoms"
0 nminus 1 quotedblright
asteriskmath asteriskmath
(p(x) minus p(x ))/(x minus x ) mitgeliefert. Das Horner-Schema lauft auf die folgende dieresis
Darstellung des Polynoms hinaus:
asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath
p(x ) = ((. . . ((a periodcentered x + a ) periodcentered x + a ) periodcentered x + periodcentered periodcentered periodcentered ) . . .) periodcentered x + a ) periodcentered x + a .
n nminus 1 nminus 2 1 0
arrowup
b = a
0 n
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
asteriskmath
b = a periodcentered x + a
1 n nminus 1
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
asteriskmath 2 asteriskmath
b = a periodcentered x + a periodcentered x + a
2 n nminus 1 nminus 2
. . .
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
asteriskmath n asteriskmath nminus 1 asteriskmath asteriskmath
b = a periodcentered x + a periodcentered x + periodcentered periodcentered periodcentered + a periodcentered x + a = p(x )
n n nminus 1 1 0
asteriskmath asteriskmath
Ist x eine Nullstelle ( Wurzel") des Polynoms, so folgt p(x)/(x minus x ) =
quotedblright Polynom(x). Es ergibt sich das schon in der Mathematik I vorgestellte Grund-
asteriskmath
prinzip, dass man bei einer gegebenen Nullstelle einen Linearfaktor" x minus x
quotedblright
vom Polynom abspalten kann:
Folgerung 1.14:
asteriskmath
Ist x eine Wurzel des Polynoms p vom Grad n > 0, so gilt
asteriskmath
p(x) = (x minus x ) periodcentered q(x)
nminus 1 nminus 2
mit einem Faktorpolynom" q(x) = b periodcentered x + b periodcentered x + periodcentered periodcentered periodcentered + b vom
0 1 nminus 1
quotedblright
Grad nminus 1, dessen Koeffi zienten z.B. durch das Horner-Schema berechen-
bar sind.
asteriskmath
Merke: x ist dann und genau dann eine Wurzel, wenn sich der Linear-
asteriskmath
faktor x minus x vom Polynom abspalten laßt.
dieresis
Zwar hat nicht jedes Polynom reelle Nullstellen, aber es gilt das (zu beweisende)
wichtige Prinzip:
Jedes Polynom vom Grad > 0 hat (mindestens) eine komplexe Null-
stelle.
Setzen wir zur Motivation des kommenden Fundamentalsatzes 1.15 mal dieses
asteriskmath
Prinzip voraus. Es gilt p(x) = (xminus x ) periodcentered q(x) mit einer (garantiert existierenden)
asteriskmath
Nullstelle x von p. Die Nullstellen des Faktorpolynoms q sind off ensichtlich
1.2. POLYNOMWURZELN, FUNDAMENTALSATZ DER ALGEBRA 9
asteriskmath asteriskmath
wieder Nullstellen des Ausgangspolyms p. Hat man nun eine Nullstelle x von q,
so kann man nach Folgerung 1.14 angewendet auf q einen weiteren Linearfaktor
abspalten:
asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath
q(x) = (x minus x ) periodcentered qtilde (x), also p(x) = (x minus x ) periodcentered (x minus x ) periodcentered qtilde (x)
mit einem Restpolynom qtilde vom Grad n minus 2. Dies setzt man fort, bis man nach n Schritten auf ein konstantes Polynom stoßt, das keine Nullstellen mehr besitzt. dieresis
Es folgt eine Faktordarstellung
asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath periodcentered periodcentered periodcentered asteriskmath
p(x) = (x minus x ) periodcentered (x minus x ) periodcentered (x minus x ) periodcentered . . . periodcentered (x minus x ) periodcentered a ,
n
wobei a das zuletzt verbleibende konstante Restpolynom (vom Grad 0) ist.
n
Vergleicht man die fuhrenden Koeffi zienten auf der linken und rechten Seite dieresis dieser Gleichung, so sieht man sofort, dass das verbleibende konstante Restpo-
n
lynom nichts anderes als der fuhrende Koeffi zient von p(x) = a periodcentered x + periodcentered periodcentered periodcentered + a
dieresis n 0
ist. Es folgt das Grundprinzip:
Jedes Polynom vom Grad n > 0 hat genau n komplexe Nullstellen.
Hierbei mussen wir aber etwas vorsichtig zahlen, da in der Konstruktion die dieresis dieresis
asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath
Nullstellen x , x , x etc. eventuell ubereinstimmen konnen. Eine saubere dieresis dieresis
Formulierung liefert der folgende fundamentale Satz:
Satz 1.15: (Fundamentalsatz der Algebra, Gauß 1799)
n nminus 1
Zu jedem Polynom p(x) = a periodcentered x + a periodcentered x + periodcentered periodcentered periodcentered + a vom Grad n > 0
n nminus 1 0
mit a , . . . , a element C und a negationslash = 0 gibt es komplexe Zahlen z , . . . , z (die
0 n n 1 k
Wurzeln) und n , . . . , n element N (die Vielfachheiten) mit n + periodcentered periodcentered periodcentered + n = n,
1 1
k k
so dass
n n
1 k
p(x) = a periodcentered (x minus z ) periodcentered . . . periodcentered (x minus z ) .
n 1 k
Fur die Anzahl k der unterschiedlichen Wurzeln gilt hierbei k lessequal n wegen dieresis
n + periodcentered periodcentered periodcentered + n = n.
1 k
zum Beweis: Wie in der Motivation gezeigt, braucht man nur zu beweisen, dass jedes Polynom vom Grad > 0 mindestens eine komplexe Nullstelle bezitzt. Dies ist je nach den zur Verfugung stehenden Hilfsmitteln aber gar nicht so einfach dieresis und sprengt unseren Rahmen hier. Typischerweise wird der Satz in Lehrbuchern dieresis uber komplexe Funktionentheorie bewiesen. Ein elementarer" Beweis findet dieresis quotedblright
sich z.B. unter:
http://helios.mathematik.uni-kl.de/similar luene/kleinodien/laplace.html
10 KAPITEL 1. KOMPLEXE ZAHLEN
Interpretation 1.16:
Nach Beispiel 1.12 sind z , . . . , z die Nullstellen von p mit den Vielfach-
1 k
heiten n , . . . , n . Zahlt man z als n Wurzeln, z als n Wurzeln etc., so
dieresis
1 1 1 2 2
k
ergeben sich insgesamt n + periodcentered periodcentered periodcentered +n = n komplexe Wurzeln des Polynoms,
1 k
und in der Tat erhalten wir in dieser Zahlweise:
dieresis
Jedes Polynom vom Grad n > 0 hat genau n komplexe Nullstellen!
dieresis
Uber die Anzahl der reellen Nullstellen hingegen kann man i.A. wenig
2
aussagen (z.B. hat p(x) = x + 1 uberhaupt keine reelle Nullstellen).
dieresis
Merkregel 1.17:
asteriskmath
Der Punkt x ist dann und genau dann eine Nullstelle eines Polynoms
asteriskmath
p(x), wenn sich gemaß Folgerung 1.14 der Linearfaktor x minus x vom Po-
dieresis
asteriskmath
lynom abfaktorisieren laßt. Die Vielfachheit von x gibt an, wie oft sich
dieresis
dieser Linearfaktor abspalten laßt. Man sollte eine Polynomwurzel besser
dieresis
als einen Linearfaktor ansehen. Der Fundamentalsatz besagt, dass sich ein
Polynom vom Grad n immer in genau n Linearfaktoren aufspalten laßt.
dieresis
Die Existenz der komplexen Wurzeln sagt nichts daruber aus, ob man diese
dieresis
Wurzeln in irgendeiner Weise explizit darstellen kann. In der Tat gibt es z.B.
fur Polynome vom Grad greaterequal 4 keine allgemeingultige Losungsformel mit Hilfe
dieresis dieresis dieresis
von (verschachtelten) Wurzeln. Numerisch kann man jedoch stets Gleitpunkt-
approximationen der Wurzeln finden.
Beispiel 1.18: In MuPAD ist solve fur exakte Losungen und numeric::solve fur
dieresis dieresis dieresis
numerische Losungen zustandig. Das folgende Polynom hat 9 Wurzeln, die sich (zufalli-
dieresis dieresis dieresis
gerweise) alle explizit darstellen lassen:
>> p:= x^9 + 2*x^7 - x^3 - 2*x:
>> solve(p = 0, x)
1/2 1/2 1/2
{0, -1, 1, - I 2 , I 2 , - 1/2 I 3 - 1/2,
1/2 1/2 1/2
1/2 - 1/2 I 3 , 1/2 I 3 - 1/2, 1/2 I 3 + 1/2}
Der numerische Gleichungsloser liefert Gleitpunktnaherungen der Wurzeln:
dieresis dieresis
>> numeric::solve(p = 0, x)
{0.0, - 0.5 - 0.8660254038 I, - 0.5 + 0.8660254038 I,
0.5 - 0.8660254038 I, 1.0, -1.414213562 I, 1.414213562 I,
0.5 + 0.8660254038 I, -1.0}
Die zuruckgegebenen Objekte {...} sind jeweils Mengen, deren Elementanordnung
dieresis
willkurlich vom System nach internen Kriterien bestimmt wird. Diese sehen fur ex-
dieresis dieresis
akte Werte anders aus als fur Gleitpunktnaherungen, so dass sich die Reihenfolge der
dieresis dieresis
Elemente beim exakten und beim numerischen Losen unterscheiden kann (was im obi-
dieresis
gen Beispiel auch in der Tat der Fall ist).
Es fallt hierbei auf, dass die komplexen Wurzeln als komplex konjugierte Paadieresis re x plusminus i periodcentered y auftauchen. Das ist kein Zufall und liegt daran, dass das eben
k k
betrachtete Polynom reell" ist (damit ist gemeint, dass die Koeffi zienten reell
quotedblright
sind).
Satz 1.19: (konjugierte Wurzelpaare reeller Polyome)
n
Ist z eine k-fache Nullstelle des Polynoms p(x) = a periodcentered x + . . . + a mit
n 0
reellen Koeffi zienten a , . . . , a , so ist auch z eine k-fache Nullstelle des
0 n
Polynoms. Bei reellen Polynomen tauchen nicht-reelle Wurzeln also immer
in komplex-konjugierten Paaren auf.
Beweis: Fur ein reelles Polynom gilt wegen z periodcentered z = z periodcentered z off ensichtlich
dieresis 1 2 1 2
p(z) = p(z).
Also gilt p(z) = 0 dann und genau dann, wenn p(z) = 0 gilt. Da mit p auch alle Ableitungen von p wieder reelle Polynome sind, stimmen auch die Vielfachheiten
der Nullstellen z und zmacron uberein.
dieresis
Q.E.D. 1.3 Ein Anwendungsbeispiel: Diagonalisierung von
Matrizen
Selbst wenn man sich als Lebensprinzip zu eigen gemacht hat, sich nur fur reale dieresis (reelle) Dinge zu interessieren, kommt man oft doch nicht um komplexe Zahlen
herum. Wir betrachten als Beispiel die (rein reelle) Aufgabenstellung:
parenleftBigg parenrightBigg
1
1 minus 2
1 000 000
Berechne A fur die Matrix A = .
dieresis
2 1
Allgemein ist die Frage, ob es fur Matrixpotenzen explizite Darstellungen gibt, dieresis mit denen sich die Berechnung uber viele Matrixmultiplikationen vermeiden dieresis laßt. Ware A eine Diagonalmatrix, so konnten wir das Ergebniss sofort explizit dieresis dieresis dieresis
hinschreiben, denn es gilt
parenleftbigg parenrightbigg parenleftbigg parenrightbigg
n n
lambda 0 lambda 0
1 1
= .
n
0 lambda 0 lambda
2 2
12 KAPITEL 1. KOMPLEXE ZAHLEN Eine Standardmethode der Linearen Algebra besteht darin, allgemeine Matrizen durch Transformation auf Diagonalgestalt zu bringen ( Diagonalisierung").
quotedblright
Hierbei geht es um Eigenwerte und -vektoren. Als Nullstellen des charakteristischen Polynoms sollten als Eigenwerte auch komplexe Zahlen in Betracht
gezogen werden:
Satz 1.20: (Diagonalisierung von Matrizen)
Sei A eine reelle oder komplexe n multiply n-Matrix mit den (eventuell kom-
plexen) Eigenwerten lambda , . . . , lambda und den entsprechenden Eigenvektoren
1 n
vector x , . . . , vector x , also A vector x = lambda vector x . Sei T = [vector x , . . . , vector x ] die Matrix, deren Spal-
1 n 1 n
k k k
ten aus diesen Eigenvektoren besteht. Es gilt
parenlefttp parenrighttp
lambda 0
1
parenleftex parenrightex
. .
AT = T D mit D = diag(lambda , . . . , lambda ) := .
parenleftbt parenrightbt
1 n .
0 lambda n
Sind die Eigenvektoren linear unabhangig, so ist T invertierbar, und es
dieresis
folgt
minus 1
A = T D T .
Beweis: Nach Definition der Matrixmultiplikation gilt
AT = A [vector x , . . . , vector x ] = [A vector x , . . . , A vector x ]
1 n 1 n
(die Spalten eines Matrixproduktes bestehen aus der ersten Matrix wirkend auf
die Spalten der zweiten Matrix). Mit
parenlefttp parenrighttp
lambda 0
1
parenleftex parenrightex
. .
T D = [vector x , . . . , vector x ] = [lambda vector x , . . . , lambda vector x ]
parenleftbt parenrightbt
1 n 1 1 n n
.
0 lambda n
und A vector x = lambda vector x folgt A T = T D.
k k k
Q.E.D.
Folgerung 1.21:
minus 1
Mit einer Diagonalisierung A = T D T gilt
n minus 1 minus 1 minus 1 minus 1 n minus 1
A = T D T T D T periodcentered periodcentered periodcentered T D T = T D D periodcentered periodcentered periodcentered D T = T D T .
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
A A A
Die Potenzen von A sind damit auf Potenzen der Diagonalform D von
n
A zuruckgefuhrt, wobei D sich ohne große Rechnung durch Potenzieren
dieresis dieresis
der Diagonalelemente ergibt.
Bemerkung 1.22: Hat man einen Eigenwert lambda der zu diagonalisierenden Ma-
k
trix gefunden, so kann man nach 1.20 irgendeinen dazugehorigen Eigenvektor dieresis vector x benutzen, die entsprechende Spalte von T zu besetzen. Nun sind Eigen-
k
vektoren aber nicht eindeutig: ist vector x ein Eigenvektor, so ist jedes Vielfaches
k
vector y = c vector x wieder ein Eigenvektor zum selben Eigenwert lambda . Es gibt damit vie-
k k k k
le unterschiedliche Transformationsmatrizen T , wahrend die Diagonalmatrix bis dieresis auf Umnummerierung der Eigenwerte eindeutig ist. Wie kann das sein? Antwort:
die Transformationsmatrizen unterscheiden sich nur um eine Diagonalmatrix:
parenlefttp parenrighttp
c 0
1
parenleftex parenrightex
.
tilde .
T = [vector y , . . . , vector y ] = [c vector x , . . . , c vector x ] = [vector x , . . . , vector x ] = T C.
parenleftbt parenrightbt
1 n 1 1 n n 1 n .
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
0 c
T n
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
C
In der Diagonalisierung fallt die diagonale Skalierungsmatrix" C heraus, da die dieresis quotedblright
Multiplikation von Diagonalmatrizen kommutativ ist:
minus 1 minus 1 minus 1 minus 1
tilde tilde
A = T D T = T C D (T C) = T C D C T
minus 1 minus 1 minus 1
= T D C C T = T D T .
Bemerkung 1.23: Da bei der Diagonalisierung die Invertierbarkeit von T arrowdown 26.4.02
wichtig ist, nutzt es uberhaupt nichts, triviale Eigenvektoren vector x = 0 zu bedieresis dieresis k
trachten (die ja auch strenggenommen per Definition von Eigenvektoren gar
nicht als Eigenvektoren zulassig sind).
dieresis
Die Aufgabenstellung der Diagonalisierung lauft darauf hinaus, die Eigenvekdieresis
toren zu allen Eigenwerten zu finden. Sobald man eine Basis von linear unabhangigen
Eigenvektoren gefunden hat, hat man die invertierbare Transformadieresis
tionsmatrix T gefunden, welche die betrachtete Matrix auf Diagonalform bringt.
Sind alle Eigenwerte verschieden, so existiert immer eine Basis von linear unabhangigen
Eigenvektoren. Bei entarteten Eigenwerten (mehrfachen Nullstellen
dieresis
des charakteristischen Polynoms) ist dies jedoch nicht garantiert, und in der
Tat gibt es nicht-diagonalisierbare Matrizen. Symmetrische reelle Matrizen sind
immer diagonalisierbar, selbst wenn die (bei Symmetrie der Matrix automatisch
reellen) Eigenwerte entartet sind.
Beispiel 1.24: Mittels Diagonalisierung konnen wir fur
dieresis dieresis
parenleftBigg parenrightBigg
1
1 minus 2
A =
2 1
n
eine explizite Darstellung von A fur jedes n element Z ermitteln. Nach Satz 1.20 sind aldieresis
le Eigenwerte und endash vektoren zu bestimmen. Die Eigenwerte sind die Nullstellen des
14 KAPITEL 1. KOMPLEXE ZAHLEN
charakteristischen Polynoms
parenleftBigg parenrightBigg
1
lambda minus 1 2 2
det(lambda E minus A) = det = lambda minus 2lambda + 2
2
minus 2 lambda minus 1
(hier ist E die 2 multiply 2-Einheitsmatrix). Nach der Standardformel fur die Nullstellen dieresis
2
quadratischer Polynome ergeben sich die komplex konjugierten Eigenwerte
radical
lambda = 1 plusminus minus 1 = 1 plusminus i.
1,2
Die Eigenvektoren zu lambda bzw. lambda findet man, indem man die Kernvektoren von Aminus lambda E
1 2 k 2
vector
ermittelt, d.h., die Gleichungen (A minus lambda E ) vector x = A vector x minus lambda vector x = 0 lost. Mit den
dieresis
k 2 k k k k
Techniken der Mathematik I des letzten Semesters findet man die Losungen
dieresis
parenleftbigg parenrightbigg parenleftbigg parenrightbigg
i 1
vector x = bzw. vector x = .
1 2
2 2 periodcentered i
Die Transformationsmatrix T wird spaltenweise aus diesen Eigenvektoren aufgebaut,
die Inverse wird berechnet:
parenleftBigg parenrightBigg
parenleftbigg parenrightbigg i 1
minus
i 1 2 4
minus 1
T = , T = .
1 i
2 2 periodcentered i minus
2 4
Damit folgt die Diagonalisierung
parenleftBigg parenrightBigg parenleftBigg parenrightBigg
parenleftbigg parenrightbigg parenleftbigg parenrightbigg
1 i 1
1 minus minus
i 1 1 + i 0
2 2 4
A = = .
1 i
2 2 periodcentered i 0 1 minus i
2 1 minus
2 4
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
T D minus 1
T
Dies liefert
parenleftBigg parenrightBigg
parenleftbigg parenrightbigg parenleftbigg parenrightbigg i 1
n minus
i 1 (1 + i) 0 2 4
n
A = n 1 i
2 2 periodcentered i 0 (1 minus i) minus
2 4
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
n
T D minus 1
T
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
parenlefttp parenrighttp
i 1
n n
parenleftbigg parenrightbigg minus periodcentered (1 + i) periodcentered (1 + i)
2 4
i 1 parenleftbt parenrightbt
= 1 i
n n
2 2 periodcentered i periodcentered (1 minus i) minus periodcentered (1 minus i)
2 4
parenlefttp parenrighttp
1 1 i i
n n n n
periodcentered (1 + i) + periodcentered (1 minus i) periodcentered (1 + i) minus periodcentered (1 minus i)
2 2 4 4
parenleftbt parenrightbt
= .
1 1
n n n n
minus i periodcentered (1 + i) + i periodcentered (1 minus i) periodcentered (1 + i) + periodcentered (1 minus i)
2 2
Das Ergebnis muß als Potenz der reellen Matrix A reell sein. Dies ist in dieser Darstellung leider alles andere als off ensichtlich. In der Tat brauchen wir noch einige grundsatz-
dieresis
dieresis
liche Uberlegungen zu Potenzen komplexer Zahlen, die in Polarkoordinaten wesentlich
einfacher zu handhaben sind als in Kartesischen Koordinaten. Wir werden spater nach
dieresis
der Einfuhrung der exp-Funktion fur komplexe Zahlen hierauf genauer eingehen und in
dieresis dieresis
n
Beispiel 5.23 diese Darstellung von A noch weiter vereinfachen.