Kapitel 1

Komplexe Zahlen

arrowdown 18.4.01

2

Motivation: die Gleichung x = minus 1 hat off ensichtlich keine reellen Losungen, da
dieresis

2

x greaterequal 0 fur jedes reelle x gilt. Um auch diese Gleichung losen zu konnen, muß
dieresis dieresis dieresis

man neue Zahlen einfuhren: die komplexen Zahlen. Die grundsatzliche Idee
dieresis dieresis

radical

ist ganz einfach: man fuhrt ein neues Symbol i ein, das minus 1 reprasentieren soll.
dieresis dieresis

2
Es wird einzig und allein durch die Rechenregel i = minus 1 festgelegt. Ansonsten

behalt man alle aus dem Reellen bekannten Rechenregeln einfach bei.
dieresis

1.1 Definitionen

Definition 1.1: (Die komplexen Zahlen)

Die Menge der komplexen Zahlen C ist die Menge aller formalen

Summen der Form

C = {x + i periodcentered y; x, y element R}.

Fur z = x + i periodcentered y element C nennt man x den Realteil und y den Imaginarteil
dieresis dieresis

von z.

Zahlen z = x + i periodcentered 0 mit y = 0 nennt man reell, schreibt auch kurz z = x

und identifiziert z mit x element R.

Zahlen z = 0 + i periodcentered y mit x = 0 nennt man imaginar und schreibt auch
dieresis

kurz z = i periodcentered y.

Der Nullpunkt z = 0 + i periodcentered 0 wird auch kurz als z = 0 geschrieben.

Auf C definieren wir die Addition

z + z = (x + i periodcentered y ) + (x + i periodcentered y ) = (x + x ) + i periodcentered (y + y )
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2

bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright

element R element R

sowie die Multiplikation

z periodcentered z = (x + i periodcentered y ) periodcentered (x + i periodcentered y ) = (x periodcentered x minus y periodcentered y ) + i periodcentered (x periodcentered y + x periodcentered y ) .
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1

bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright

element R element R

1


2 KAPITEL 1. KOMPLEXE ZAHLEN

Interpretation 1.2:

2
Hinter dieser Definition der Multiplikation steckt i = minus 1:

i periodcentered i = (0 + i periodcentered 1) periodcentered (0 + i periodcentered 1) = (0 periodcentered 0 minus 1 periodcentered 1) + i periodcentered (0 periodcentered 1 + 1 periodcentered 0) = minus 1.

Man braucht sich die formale Definition der Multiplikation nicht zu merken: man benutze einfach die ublichen aus R bekannten Rechenregeln dieresis (Kommutativitat a periodcentered b = b periodcentered a, Assoziativitat (a periodcentered b) periodcentered c = a periodcentered (b periodcentered c), das dieresis dieresis

Distributivgesetz a periodcentered (b + c) = a periodcentered b + a periodcentered c etc.), und setze beim Rechnen

2 3 2 4 3 2
i = minus 1, i = (i ) periodcentered i = minus i, i = (i ) periodcentered i = (minus i) periodcentered i = minus (i ) = 1

usw. ein:

2

(x + i periodcentered y ) periodcentered (x + i periodcentered y ) = x periodcentered x + i periodcentered x periodcentered y + i periodcentered x periodcentered y + i periodcentered y periodcentered y
1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright

minus 1

= x periodcentered x +i periodcentered x periodcentered y +i periodcentered x periodcentered y minus y periodcentered y = (x periodcentered x minus y periodcentered y )+i periodcentered (x periodcentered y +x periodcentered y ).

1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1

Folgerung 1.3:

Wir konstruieren eine Division fur z = x + i periodcentered y =negationslash 0 + i periodcentered 0 equivalence 0:
dieresis

1 1 1 x minus i periodcentered y

= = periodcentered

z x + i periodcentered y x + i periodcentered y x minus i periodcentered y

x minus i periodcentered y x minus i periodcentered y x y

= = = minus i periodcentered .

2 2 2 2 2 2
(x + i periodcentered y) periodcentered (x minus i periodcentered y) x minus (i periodcentered y) x + y x + y

Allgemein:

z x + i periodcentered y (x + i periodcentered y ) periodcentered (x minus i periodcentered y )
1 1 1 1 1 2 2

= =

z x + i periodcentered y (x + i periodcentered y ) periodcentered (x minus i periodcentered y )
2 2 2 2 2 2 2

(x periodcentered x + y periodcentered y ) + i periodcentered (minus x periodcentered y + x periodcentered y )
1 2 1 2 1 2 2 1

= 2 2

x + y + i periodcentered (x periodcentered y minus x periodcentered y )

2 2 2 2
2 2

x periodcentered x + y periodcentered y x periodcentered y minus x periodcentered y
1 2 1 2 2 1 1 2

= + i periodcentered .

2 2 2 2

x + y x + y
2 2 2 2

Definition 1.4: (komplexe Konjugation etc.)

Es werden folgende speziellen Operationen auf den komplexen Zahlen ein-

gefuhrt:
dieresis

Rfractur (z) = Rfractur (x + i periodcentered y) = x (der Realteil von z),

Ifractur (z) = Ifractur (x + i periodcentered y) = y (der Imaginarteil von z),
dieresis

radicalbig

2 2
|z| = |x + i periodcentered y| = x + y (der Betrag von z),

z = x + i periodcentered y = x minus i periodcentered y (das komplex Konjugierte

von z).


1.1. DEFINITIONEN 3

Merkregel 1.5:

Die Division komplexer Zahlen lauft auf den Standardtrick Erweitern
dieresis quotedblright

mit dem komplex konjugierten Nenner hinaus":

z x + i periodcentered y (x + i periodcentered y ) periodcentered (x minus i periodcentered y ) z periodcentered z
1 1 1 1 1 2 2 1 2

= = = .

z x + i periodcentered y (x + i periodcentered y ) periodcentered (x minus i periodcentered y ) z periodcentered z
2 2 2 2 2 2 2 2 2

Satz 1.6: (Rechenregeln)

Fur alle z, z , z element C gilt: Kommutativitat" und Assoziativitat" von
dieresis dieresis dieresis

1 2 quotedblright quotedblright

Multiplikation und Division

z periodcentered z = z periodcentered z , (z periodcentered z ) periodcentered z = z periodcentered (z periodcentered z ),
1 2 2 1 1 2 3 1 2 3

parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
1 1 1 1 1 1 1 1 1

= periodcentered , periodcentered periodcentered = periodcentered periodcentered ,

z periodcentered z z z z z z z z z
1 2 2 1 1 2 3 1 2 3

Linearitat" von Rfractur , Ifractur und Konjugation
dieresis

quotedblright

Rfractur (z +z ) = Rfractur (z )+Rfractur (z ), Ifractur (z +z ) = Ifractur (z )+Ifractur (z ), z + z = z +z ,
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

Multiplikativitat" des Betrags und der Konjugation
dieresis

quotedblright

vextendsingle vextendsingle parenleftBig parenrightBig

vextendsingle vextendsingle
z |z | z z
1 1 1 1

vextendsingle vextendsingle

|z periodcentered z | = |z | periodcentered |z |, = , z periodcentered z = z periodcentered z , =
1 2 1 2 1 2 1 2
vextendsingle vextendsingle

z |z | z z
2 2 2 2

sowie die Beziehungen

z z periodcentered z
1 1 2
2 2 2 2

|z| = |z| = z periodcentered z = Rfractur (z) + Ifractur (z) , = 2

z |z |
2 2

und die Dreiecksungleichung":

quotedblright

|z + z | lessequal |z | + |z |.
1 2 1 2

Beweis: Alles ist direkt nachzurechnen, z.B.

2 2 2 2
z periodcentered z = (x + i periodcentered y) periodcentered (x minus i periodcentered y) = x + y = |z| = |z|

oder (wie schon oben durchgefuhrt):
dieresis

z z periodcentered z z periodcentered z
1 1 2 1 2

= = .

2

z z periodcentered z |z |
2 2 2 2

Q.E.D.


4 KAPITEL 1. KOMPLEXE ZAHLEN

radical

Beispiel 1.7: In MuPAD wird i = minus 1 durch I dargestellt: arrowdown 19.4.02

>> sqrt(-1)

I

>> I^2

-1

Die MuPAD-Funktionen Re, Im, conjugate und abs berechnen Real- und Imaginarteil,
dieresis

komplexe Konjugation und den Absolutbetrag:

>> z:= 2 + 3*I:

>> Re(z), Im(z), conjugate(z), abs(z)

1/2

2, 3, 2 - 3 I, 13

Geometrische Interpretation 1.8:

Man stellt sich ublicherweise die Menge der komplexen Zahlen als 2- dieresis

dimensionale Ebene ( die komplexe Ebene") vor:

quotedblright

i periodcentered y

C

a54 a115 z = x+ i periodcentered y

a8
a8

a8

a8

a8
|z| a8

a8 Ifractur (z) = |z| periodcentered sin(phi1 )

a8

a8

a8

a8

a8 phi1

a8 a45

a72 x

a72 Rfractur (z) = |z| periodcentered cos(phi1 )

a72 a72 a72 a72 a72 a72 a72 a72 a72 a72

a72 a115 z = x minus i periodcentered y

Der Betrag von z ist der Abstand zum Ursprung, komplexe Konjugation entspricht der Spiegelung an der x-Achse ( die reelle Achse"). Die y-

quotedblright

Achse wird auch als imaginare Achse" bezeichnet.
dieresis

quotedblright

2 2
Geometrisch ist C nichts anderes als R : x + i periodcentered y element C =hatwide (x, y) element R . Die komplexe Addition entspricht genau der Addition von Vektoren im

2 2
R . Algebraisch besteht der Unterschied zwischen C und R darin, dass man auf C neben der Addition noch eine Multiplikation C multiply C mapsto arrowright C hat,

2
wohingegen es auf R keine interessante Multiplikation zweier Vektoren

2
gibt, die wieder einen Vektor liefert (außer derjenigen, die R zu C macht).


1.2. POLYNOMWURZELN, FUNDAMENTALSATZ DER ALGEBRA 5 Bemerkung 1.9: Fuhrt man den eingezeichneten Winkel phi1 zwischen dem Vekdieresis quotedblright

tor" z und der reellen Achse ein, so gilt mit den aus der Schule bekannten

Winkelfunktionen sin und cos:

z = x + i periodcentered y = |z| periodcentered cos(phi1 ) + i periodcentered |z| periodcentered sin(phi1 ).

Die Darstellung z = x + i periodcentered y nennt man die Kartesische Darstellung der

komplexen Zahl z durch Real- und Imaginarteil. Die Darstellung
dieresis

parenleftBig parenrightBig

z = |z| periodcentered cos(phi1 ) + i periodcentered sin(phi1 )

durch den Betrag |z| und den Polarwinkel" phi1 element [0, 2 pi ) heißt Polardarstel-

quotedblright

lung von z (phi1 heißt auch das Argument von z"). Wir werden spater in dieresis

quotedblright

Abschnitt 5.3 auf die Polardarstellung komplexer Zahlen zuruckkommen, nachdieresis

dem wir die komplexe Exponentialfunktion eingefuhrt haben.
dieresis 1.2 Nullstellen von Polynomen, der Fundamental-

satz der Algebra

Die Motivation zur Einfuhrung der komplexen Zahlen war, Polynomgleichungen dieresis

2

wie z.B. x + 1 = 0 losen zu konnen. In der Tat stellt sich nun heraus, dass dieresis dieresis

Polynome vom Grad n immer genau n (evtl. entartete") komplexe Nullstellen

quotedblright haben. Wir definieren zunachst Entartung" von Nullstellen, wobei wir auf die dieresis quotedblright

aus der Schule bekannte Diff erentiation zuruckgreifen:
dieresis

Definition 1.10: (Vielfachheit von Nullstellen)

Sei f : R mapsto arrowright R eine mehrfach diff erenzierbare Funktion (siehe Kapitel 6).

asteriskmath
Man nennt x eine Nullstelle der Vielfachheit" k (oder auch k-fache

quotedblright quotedblright

Nullstelle"), wenn

asteriskmath prime asteriskmath (kminus 1) asteriskmath (k) asteriskmath
f(x ) = f (x ) = . . . = f (x ) = 0, f (x ) negationslash = 0.

Beispiel 1.11: (Mehrfache Polynomwurzeln)

asteriskmath n asteriskmath

Fur das Polynom p(x) = (x minus x ) mit n > 0 ist x eine n-fache Nullstelle:
dieresis

asteriskmath n prime asteriskmath nminus 1 prime prime asteriskmath nminus 2
p(x) = (x minus x ) , p (x) = n periodcentered (x minus x ) , p (x) = n periodcentered (n minus 1) periodcentered (x minus x ) ,

(nminus 1) asteriskmath (n)
. . . , p (x) = n periodcentered (n minus 1) periodcentered . . . periodcentered 2 periodcentered (x minus x ), p (x) = n!,

also

asteriskmath asteriskmath asteriskmath n
p(x ) = (x minus x ) = 0,

prime asteriskmath asteriskmath asteriskmath nminus 1
p (x ) = n periodcentered (x minus x ) = 0,


6 KAPITEL 1. KOMPLEXE ZAHLEN

prime prime asteriskmath asteriskmath asteriskmath nminus 2
p (x ) = n periodcentered (n minus 1) periodcentered (x minus x ) = 0,

periodcentered periodcentered periodcentered

(nminus 1) asteriskmath asteriskmath asteriskmath 1
p (x ) = n periodcentered (n minus 1) periodcentered . . . periodcentered 2 periodcentered (x minus x ) = 0,

(n) asteriskmath asteriskmath asteriskmath 0
p (x ) = n periodcentered (n minus 1) periodcentered . . . periodcentered 2 periodcentered 1 periodcentered (x minus x ) = n! negationslash = 0.

Beispiel 1.12: (Mehrfache Polynomwurzeln)

Seien x , . . . , x verschieden. Fur das Polynom
dieresis

1 k

n n
1 k

p(x) = (x minus x ) periodcentered . . . periodcentered (x minus x )
1 k

vom Grad n = n + periodcentered periodcentered periodcentered + n sind x , . . . , x Nullstellen der Vielfachheit n , . . . n .
1 k 1 k 1 k

Der Nachweis geht analog zum letzten Beispiel: Betrachte eine der Nullstellen x und
i

schreibe

a72 a8

a8

n n n n
a72
i 1 i k
a8

p(x) = (x minus x ) periodcentered f(x), f(x) = (x minus x ) periodcentered . . . periodcentered (x minus x ) periodcentered . . . periodcentered (x minus x ) .
i 1 i k
a72
a8 a72

a72 a8

prime prime prime
dieresis

Uber die aus der Schule bekannte Produktregel (g periodcentered f) = g periodcentered f +g periodcentered f der Diff erentiation

folgt

ni

p(x) = (x minus x ) periodcentered f(x),
i

prime n minus 1 n prime
i i

p (x) = n periodcentered (x minus x ) periodcentered f(x) + (x minus x ) periodcentered f (x),
i i i

prime prime n minus 2 n minus 1 prime n prime prime
i i i

p (x) = n periodcentered (n minus 1) periodcentered (x minus x ) periodcentered f(x) + 2 periodcentered n periodcentered (x minus x ) periodcentered f (x) + (x minus x ) periodcentered f (x)
i i i i i i

prime prime prime

usw., wobei f , f , f etc. Polynome sind. Die ersten n minus 1 Ableitungen verschwinden
i

an der Stelle x = x :
i

ni

p(x ) = 0 periodcentered f(x ) = 0 ,
i i

prime n minus 1 n prime
i i

p (x ) = 0 periodcentered f(x ) + 0 periodcentered f (x ) = 0
i i i

prime prime n minus 2 n minus 1 prime n prime prime
i i i

p (x ) = (..) periodcentered 0 periodcentered f(x ) + (..) periodcentered 0 periodcentered f (x ) + 0 periodcentered f (x ) = 0
i i i i

usw. Die n -te Ableitung verschwindet nicht:
i

(n ) prime n (n )
i i i

p (x) = n ! periodcentered f(x) + (..) periodcentered (x minus x ) periodcentered f (x) + periodcentered periodcentered periodcentered + (x minus x ) periodcentered f (x),
i i i

(n )
i

also p (x ) = n ! periodcentered f(x ), wobei
i i i

a72 a8

a8

n n n
a72
1 i k
a8

f(x ) = (x minus x ) periodcentered . . . periodcentered (x minus x ) periodcentered . . . periodcentered (x minus x ) =negationslash 0
i i 1 i i i k
a72
a8 a72

a72
a8

gilt, da x =negationslash x , . . . , x =negationslash x vorausgesetzt ist. Damit ist x eine Nullstelle der Vielfach-
i 1 i k i

heit n .
i


1.2. POLYNOMWURZELN, FUNDAMENTALSATZ DER ALGEBRA 7

Ein Polynom und seine Ableitungen

n nminus 1

p(x) = a periodcentered x + a periodcentered x + . . . + a periodcentered x + a ,
n nminus 1 1 0

prime nminus 1 nminus 2

p (x) = a periodcentered n periodcentered x + a periodcentered (n minus 1) periodcentered x + . . . + a
n nminus 1 1

etc. ist naturlich auch fur komplexe Zahlen x wohldefiniert und man kann dieresis dieresis

daher nach (mehrfachen) komplexen Nullstellen fragen. Die Definition 1.10 der

Vielfachheit wird dabei auch fur komplexe Nullstellen beibehalten.
dieresis Wir rekapitulieren zunachst das in der Mathematik I des letzten Semesters schon dieresis

vorgestellte Horner-Schema zur Polynomauswertung und Polynomdivision:

Satz 1.13: (Polynomauswertung und -division per Horner-Schema)

n nminus 1

Fur das Polynom p(x) = a periodcentered x + a periodcentered x + periodcentered periodcentered periodcentered + a mit Koeffi zienten
dieresis n nminus 1 0

asteriskmath

a element C gilt fur jedes x element C:
dieresis

k

asteriskmath
p(x) minus p(x ) nminus 1 nminus 2

= b periodcentered x + b periodcentered x + periodcentered periodcentered periodcentered + b periodcentered x + b ,
0 1 nminus 2 nminus 1
asteriskmath

x minus x

wobei b , b etc. durch die Rekursion ( Horner-Schema")
0 1 quotedblright

b := a ;
0 n

asteriskmath

for k := 1 to n do b := b periodcentered x + a ;
k kminus 1 nminus k

asteriskmath

gegeben sind. Es gilt b = p(x ).
n

asteriskmath asteriskmath

Beweis: Mit b = a , b minus b periodcentered x = a und minus b periodcentered x = a minus b folgt

0 n nminus 1 0 n
k kminus 1 nminus k

parenleftBig parenrightBig

asteriskmath nminus 1 nminus 2

(x minus x ) periodcentered b periodcentered x + b periodcentered x + periodcentered periodcentered periodcentered + b periodcentered x + b
0 1 nminus 2 nminus 1

n nminus 1 nminus 2

= b periodcentered x + b periodcentered x + b periodcentered x + periodcentered periodcentered periodcentered + b periodcentered x
0 1 2 nminus 1

asteriskmath nminus 1 asteriskmath nminus 2 asteriskmath asteriskmath

minus b periodcentered x periodcentered x minus b periodcentered x periodcentered x minus periodcentered periodcentered periodcentered minus b periodcentered x periodcentered x minus b periodcentered x
0 1 nminus 2 nminus 1

bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright

n nminus 1 nminus 2

= a periodcentered x + a periodcentered x + a periodcentered x + periodcentered periodcentered periodcentered + a periodcentered x + a minus b
n nminus 1 nminus 2 1 0 n

= p(x) minus b .
n

asteriskmath asteriskmath

Fur x = x folgt 0 = p(x ) minus b und damit
dieresis n

parenleftBig parenrightBig

asteriskmath nminus 1 nminus 2 asteriskmath

(x minus x ) periodcentered b periodcentered x + b periodcentered x + periodcentered periodcentered periodcentered + b periodcentered x + b = p(x) minus p(x ).
0 1 nminus 2 nminus 1

Q.E.D.


8 KAPITEL 1. KOMPLEXE ZAHLEN

asteriskmath

Das Horner-Schema liefert mittels b = p(x ) die Auswertung des Poly- arrowdown 25.4.02
n

asteriskmath
noms an einer Stelle x mit n Multiplikationen und n minus 1 Additionen. In der Tat ist es (fur dicht besetzte" Polynome) das Standardschema, mit dem auf dieresis quotedblright

dem Rechner Polynomauswertungen implementiert werden. Bei der Auswertung werden gleichzeitig die Koeffi zienten b , . . . , b des Faktorpolynoms"

0 nminus 1 quotedblright

asteriskmath asteriskmath

(p(x) minus p(x ))/(x minus x ) mitgeliefert. Das Horner-Schema lauft auf die folgende dieresis

Darstellung des Polynoms hinaus:

asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath

p(x ) = ((. . . ((a periodcentered x + a ) periodcentered x + a ) periodcentered x + periodcentered periodcentered periodcentered ) . . .) periodcentered x + a ) periodcentered x + a .
n nminus 1 nminus 2 1 0

arrowup

b = a
0 n

bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright

asteriskmath

b = a periodcentered x + a
1 n nminus 1

bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright

asteriskmath 2 asteriskmath

b = a periodcentered x + a periodcentered x + a
2 n nminus 1 nminus 2

. . .

bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright

asteriskmath n asteriskmath nminus 1 asteriskmath asteriskmath

b = a periodcentered x + a periodcentered x + periodcentered periodcentered periodcentered + a periodcentered x + a = p(x )
n n nminus 1 1 0

asteriskmath asteriskmath
Ist x eine Nullstelle ( Wurzel") des Polynoms, so folgt p(x)/(x minus x ) =

quotedblright Polynom(x). Es ergibt sich das schon in der Mathematik I vorgestellte Grund-

asteriskmath

prinzip, dass man bei einer gegebenen Nullstelle einen Linearfaktor" x minus x

quotedblright

vom Polynom abspalten kann:

Folgerung 1.14:

asteriskmath
Ist x eine Wurzel des Polynoms p vom Grad n > 0, so gilt

asteriskmath
p(x) = (x minus x ) periodcentered q(x)

nminus 1 nminus 2

mit einem Faktorpolynom" q(x) = b periodcentered x + b periodcentered x + periodcentered periodcentered periodcentered + b vom
0 1 nminus 1

quotedblright

Grad nminus 1, dessen Koeffi zienten z.B. durch das Horner-Schema berechen-

bar sind.

asteriskmath
Merke: x ist dann und genau dann eine Wurzel, wenn sich der Linear-

asteriskmath

faktor x minus x vom Polynom abspalten laßt.
dieresis Zwar hat nicht jedes Polynom reelle Nullstellen, aber es gilt das (zu beweisende)

wichtige Prinzip:

Jedes Polynom vom Grad > 0 hat (mindestens) eine komplexe Null-

stelle.

Setzen wir zur Motivation des kommenden Fundamentalsatzes 1.15 mal dieses

asteriskmath
Prinzip voraus. Es gilt p(x) = (xminus x ) periodcentered q(x) mit einer (garantiert existierenden)

asteriskmath
Nullstelle x von p. Die Nullstellen des Faktorpolynoms q sind off ensichtlich


1.2. POLYNOMWURZELN, FUNDAMENTALSATZ DER ALGEBRA 9

asteriskmath asteriskmath
wieder Nullstellen des Ausgangspolyms p. Hat man nun eine Nullstelle x von q, so kann man nach Folgerung 1.14 angewendet auf q einen weiteren Linearfaktor

abspalten:

asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath
q(x) = (x minus x ) periodcentered qtilde (x), also p(x) = (x minus x ) periodcentered (x minus x ) periodcentered qtilde (x)

mit einem Restpolynom qtilde vom Grad n minus 2. Dies setzt man fort, bis man nach n Schritten auf ein konstantes Polynom stoßt, das keine Nullstellen mehr besitzt. dieresis

Es folgt eine Faktordarstellung

asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath periodcentered periodcentered periodcentered asteriskmath

p(x) = (x minus x ) periodcentered (x minus x ) periodcentered (x minus x ) periodcentered . . . periodcentered (x minus x ) periodcentered a ,
n

wobei a das zuletzt verbleibende konstante Restpolynom (vom Grad 0) ist.

n

Vergleicht man die fuhrenden Koeffi zienten auf der linken und rechten Seite dieresis dieser Gleichung, so sieht man sofort, dass das verbleibende konstante Restpo-

n

lynom nichts anderes als der fuhrende Koeffi zient von p(x) = a periodcentered x + periodcentered periodcentered periodcentered + a
dieresis n 0

ist. Es folgt das Grundprinzip:

Jedes Polynom vom Grad n > 0 hat genau n komplexe Nullstellen.

Hierbei mussen wir aber etwas vorsichtig zahlen, da in der Konstruktion die dieresis dieresis

asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath

Nullstellen x , x , x etc. eventuell ubereinstimmen konnen. Eine saubere dieresis dieresis

Formulierung liefert der folgende fundamentale Satz:

Satz 1.15: (Fundamentalsatz der Algebra, Gauß 1799)

n nminus 1

Zu jedem Polynom p(x) = a periodcentered x + a periodcentered x + periodcentered periodcentered periodcentered + a vom Grad n > 0
n nminus 1 0

mit a , . . . , a element C und a negationslash = 0 gibt es komplexe Zahlen z , . . . , z (die
0 n n 1 k

Wurzeln) und n , . . . , n element N (die Vielfachheiten) mit n + periodcentered periodcentered periodcentered + n = n,

1 1
k k

so dass

n n
1 k

p(x) = a periodcentered (x minus z ) periodcentered . . . periodcentered (x minus z ) .
n 1 k

Fur die Anzahl k der unterschiedlichen Wurzeln gilt hierbei k lessequal n wegen dieresis

n + periodcentered periodcentered periodcentered + n = n.
1 k

zum Beweis: Wie in der Motivation gezeigt, braucht man nur zu beweisen, dass jedes Polynom vom Grad > 0 mindestens eine komplexe Nullstelle bezitzt. Dies ist je nach den zur Verfugung stehenden Hilfsmitteln aber gar nicht so einfach dieresis und sprengt unseren Rahmen hier. Typischerweise wird der Satz in Lehrbuchern dieresis uber komplexe Funktionentheorie bewiesen. Ein elementarer" Beweis findet dieresis quotedblright

sich z.B. unter:

http://helios.mathematik.uni-kl.de/similar luene/kleinodien/laplace.html


10 KAPITEL 1. KOMPLEXE ZAHLEN

Interpretation 1.16:

Nach Beispiel 1.12 sind z , . . . , z die Nullstellen von p mit den Vielfach-
1 k

heiten n , . . . , n . Zahlt man z als n Wurzeln, z als n Wurzeln etc., so
dieresis

1 1 1 2 2
k

ergeben sich insgesamt n + periodcentered periodcentered periodcentered +n = n komplexe Wurzeln des Polynoms,
1 k

und in der Tat erhalten wir in dieser Zahlweise:
dieresis

Jedes Polynom vom Grad n > 0 hat genau n komplexe Nullstellen!

dieresis

Uber die Anzahl der reellen Nullstellen hingegen kann man i.A. wenig

2

aussagen (z.B. hat p(x) = x + 1 uberhaupt keine reelle Nullstellen).
dieresis

Merkregel 1.17:

asteriskmath
Der Punkt x ist dann und genau dann eine Nullstelle eines Polynoms

asteriskmath

p(x), wenn sich gemaß Folgerung 1.14 der Linearfaktor x minus x vom Po-
dieresis

asteriskmath

lynom abfaktorisieren laßt. Die Vielfachheit von x gibt an, wie oft sich
dieresis

dieser Linearfaktor abspalten laßt. Man sollte eine Polynomwurzel besser
dieresis

als einen Linearfaktor ansehen. Der Fundamentalsatz besagt, dass sich ein

Polynom vom Grad n immer in genau n Linearfaktoren aufspalten laßt.
dieresis Die Existenz der komplexen Wurzeln sagt nichts daruber aus, ob man diese dieresis Wurzeln in irgendeiner Weise explizit darstellen kann. In der Tat gibt es z.B. fur Polynome vom Grad greaterequal 4 keine allgemeingultige Losungsformel mit Hilfe dieresis dieresis dieresis

von (verschachtelten) Wurzeln. Numerisch kann man jedoch stets Gleitpunkt-

approximationen der Wurzeln finden.

Beispiel 1.18: In MuPAD ist solve fur exakte Losungen und numeric::solve fur

dieresis dieresis dieresis

numerische Losungen zustandig. Das folgende Polynom hat 9 Wurzeln, die sich (zufalli-

dieresis dieresis dieresis

gerweise) alle explizit darstellen lassen:

>> p:= x^9 + 2*x^7 - x^3 - 2*x:

>> solve(p = 0, x)

1/2 1/2 1/2

{0, -1, 1, - I 2 , I 2 , - 1/2 I 3 - 1/2,

1/2 1/2 1/2

1/2 - 1/2 I 3 , 1/2 I 3 - 1/2, 1/2 I 3 + 1/2}

Der numerische Gleichungsloser liefert Gleitpunktnaherungen der Wurzeln:
dieresis dieresis

>> numeric::solve(p = 0, x)

{0.0, - 0.5 - 0.8660254038 I, - 0.5 + 0.8660254038 I,

0.5 - 0.8660254038 I, 1.0, -1.414213562 I, 1.414213562 I,

0.5 + 0.8660254038 I, -1.0}


1.3. DIAGONALISIERUNG VON MATRIZEN 11

Die zuruckgegebenen Objekte {...} sind jeweils Mengen, deren Elementanordnung

dieresis

willkurlich vom System nach internen Kriterien bestimmt wird. Diese sehen fur ex-

dieresis dieresis

akte Werte anders aus als fur Gleitpunktnaherungen, so dass sich die Reihenfolge der

dieresis dieresis

Elemente beim exakten und beim numerischen Losen unterscheiden kann (was im obi-

dieresis

gen Beispiel auch in der Tat der Fall ist).

Es fallt hierbei auf, dass die komplexen Wurzeln als komplex konjugierte Paadieresis re x plusminus i periodcentered y auftauchen. Das ist kein Zufall und liegt daran, dass das eben

k k

betrachtete Polynom reell" ist (damit ist gemeint, dass die Koeffi zienten reell

quotedblright

sind).

Satz 1.19: (konjugierte Wurzelpaare reeller Polyome)

n

Ist z eine k-fache Nullstelle des Polynoms p(x) = a periodcentered x + . . . + a mit
n 0

reellen Koeffi zienten a , . . . , a , so ist auch z eine k-fache Nullstelle des
0 n

Polynoms. Bei reellen Polynomen tauchen nicht-reelle Wurzeln also immer

in komplex-konjugierten Paaren auf.

Beweis: Fur ein reelles Polynom gilt wegen z periodcentered z = z periodcentered z off ensichtlich
dieresis 1 2 1 2

p(z) = p(z).

Also gilt p(z) = 0 dann und genau dann, wenn p(z) = 0 gilt. Da mit p auch alle Ableitungen von p wieder reelle Polynome sind, stimmen auch die Vielfachheiten

der Nullstellen z und zmacron uberein.
dieresis

Q.E.D. 1.3 Ein Anwendungsbeispiel: Diagonalisierung von

Matrizen

Selbst wenn man sich als Lebensprinzip zu eigen gemacht hat, sich nur fur reale dieresis (reelle) Dinge zu interessieren, kommt man oft doch nicht um komplexe Zahlen

herum. Wir betrachten als Beispiel die (rein reelle) Aufgabenstellung:

parenleftBigg parenrightBigg

1
1 minus 2

1 000 000

Berechne A fur die Matrix A = .
dieresis

2 1

Allgemein ist die Frage, ob es fur Matrixpotenzen explizite Darstellungen gibt, dieresis mit denen sich die Berechnung uber viele Matrixmultiplikationen vermeiden dieresis laßt. Ware A eine Diagonalmatrix, so konnten wir das Ergebniss sofort explizit dieresis dieresis dieresis

hinschreiben, denn es gilt

parenleftbigg parenrightbigg parenleftbigg parenrightbigg
n n

lambda 0 lambda 0
1 1

= .
n

0 lambda 0 lambda
2 2


12 KAPITEL 1. KOMPLEXE ZAHLEN Eine Standardmethode der Linearen Algebra besteht darin, allgemeine Matrizen durch Transformation auf Diagonalgestalt zu bringen ( Diagonalisierung").

quotedblright

Hierbei geht es um Eigenwerte und -vektoren. Als Nullstellen des charakteristischen Polynoms sollten als Eigenwerte auch komplexe Zahlen in Betracht

gezogen werden:

Satz 1.20: (Diagonalisierung von Matrizen)

Sei A eine reelle oder komplexe n multiply n-Matrix mit den (eventuell kom-

plexen) Eigenwerten lambda , . . . , lambda und den entsprechenden Eigenvektoren
1 n

vector x , . . . , vector x , also A vector x = lambda vector x . Sei T = [vector x , . . . , vector x ] die Matrix, deren Spal-

1 n 1 n
k k k

ten aus diesen Eigenvektoren besteht. Es gilt

parenlefttp parenrighttp

lambda 0
1

parenleftex parenrightex
. .

AT = T D mit D = diag(lambda , . . . , lambda ) := .

parenleftbt parenrightbt
1 n .

0 lambda n

Sind die Eigenvektoren linear unabhangig, so ist T invertierbar, und es
dieresis

folgt

minus 1
A = T D T .

Beweis: Nach Definition der Matrixmultiplikation gilt

AT = A [vector x , . . . , vector x ] = [A vector x , . . . , A vector x ]
1 n 1 n

(die Spalten eines Matrixproduktes bestehen aus der ersten Matrix wirkend auf

die Spalten der zweiten Matrix). Mit

parenlefttp parenrighttp

lambda 0
1

parenleftex parenrightex

. .

T D = [vector x , . . . , vector x ] = [lambda vector x , . . . , lambda vector x ]

parenleftbt parenrightbt

1 n 1 1 n n
.

0 lambda n

und A vector x = lambda vector x folgt A T = T D.
k k k

Q.E.D.

Folgerung 1.21:

minus 1
Mit einer Diagonalisierung A = T D T gilt

n minus 1 minus 1 minus 1 minus 1 n minus 1

A = T D T T D T periodcentered periodcentered periodcentered T D T = T D D periodcentered periodcentered periodcentered D T = T D T .
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright

A A A

Die Potenzen von A sind damit auf Potenzen der Diagonalform D von

n

A zuruckgefuhrt, wobei D sich ohne große Rechnung durch Potenzieren
dieresis dieresis

der Diagonalelemente ergibt.


1.3. DIAGONALISIERUNG VON MATRIZEN 13

Bemerkung 1.22: Hat man einen Eigenwert lambda der zu diagonalisierenden Ma-

k

trix gefunden, so kann man nach 1.20 irgendeinen dazugehorigen Eigenvektor dieresis vector x benutzen, die entsprechende Spalte von T zu besetzen. Nun sind Eigen-

k

vektoren aber nicht eindeutig: ist vector x ein Eigenvektor, so ist jedes Vielfaches

k

vector y = c vector x wieder ein Eigenvektor zum selben Eigenwert lambda . Es gibt damit vie-

k k k k

le unterschiedliche Transformationsmatrizen T , wahrend die Diagonalmatrix bis dieresis auf Umnummerierung der Eigenwerte eindeutig ist. Wie kann das sein? Antwort:

die Transformationsmatrizen unterscheiden sich nur um eine Diagonalmatrix:

parenlefttp parenrighttp

c 0
1

parenleftex parenrightex

.
tilde .

T = [vector y , . . . , vector y ] = [c vector x , . . . , c vector x ] = [vector x , . . . , vector x ] = T C.

parenleftbt parenrightbt
1 n 1 1 n n 1 n .

bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright

0 c
T n

bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright

C

In der Diagonalisierung fallt die diagonale Skalierungsmatrix" C heraus, da die dieresis quotedblright

Multiplikation von Diagonalmatrizen kommutativ ist:

minus 1 minus 1 minus 1 minus 1
tilde tilde

A = T D T = T C D (T C) = T C D C T

minus 1 minus 1 minus 1
= T D C C T = T D T .

Bemerkung 1.23: Da bei der Diagonalisierung die Invertierbarkeit von T arrowdown 26.4.02

wichtig ist, nutzt es uberhaupt nichts, triviale Eigenvektoren vector x = 0 zu bedieresis dieresis k

trachten (die ja auch strenggenommen per Definition von Eigenvektoren gar

nicht als Eigenvektoren zulassig sind).
dieresis Die Aufgabenstellung der Diagonalisierung lauft darauf hinaus, die Eigenvekdieresis toren zu allen Eigenwerten zu finden. Sobald man eine Basis von linear unabhangigen Eigenvektoren gefunden hat, hat man die invertierbare Transformadieresis tionsmatrix T gefunden, welche die betrachtete Matrix auf Diagonalform bringt. Sind alle Eigenwerte verschieden, so existiert immer eine Basis von linear unabhangigen Eigenvektoren. Bei entarteten Eigenwerten (mehrfachen Nullstellen dieresis des charakteristischen Polynoms) ist dies jedoch nicht garantiert, und in der Tat gibt es nicht-diagonalisierbare Matrizen. Symmetrische reelle Matrizen sind immer diagonalisierbar, selbst wenn die (bei Symmetrie der Matrix automatisch

reellen) Eigenwerte entartet sind.

Beispiel 1.24: Mittels Diagonalisierung konnen wir fur
dieresis dieresis

parenleftBigg parenrightBigg

1
1 minus 2

A =

2 1

n

eine explizite Darstellung von A fur jedes n element Z ermitteln. Nach Satz 1.20 sind aldieresis

le Eigenwerte und endash vektoren zu bestimmen. Die Eigenwerte sind die Nullstellen des


14 KAPITEL 1. KOMPLEXE ZAHLEN

charakteristischen Polynoms

parenleftBigg parenrightBigg

1
lambda minus 1 2 2

det(lambda E minus A) = det = lambda minus 2lambda + 2
2

minus 2 lambda minus 1

(hier ist E die 2 multiply 2-Einheitsmatrix). Nach der Standardformel fur die Nullstellen dieresis

2

quadratischer Polynome ergeben sich die komplex konjugierten Eigenwerte

radical

lambda = 1 plusminus minus 1 = 1 plusminus i.
1,2

Die Eigenvektoren zu lambda bzw. lambda findet man, indem man die Kernvektoren von Aminus lambda E
1 2 k 2

vector

ermittelt, d.h., die Gleichungen (A minus lambda E ) vector x = A vector x minus lambda vector x = 0 lost. Mit den dieresis
k 2 k k k k

Techniken der Mathematik I des letzten Semesters findet man die Losungen
dieresis

parenleftbigg parenrightbigg parenleftbigg parenrightbigg

i 1

vector x = bzw. vector x = .
1 2

2 2 periodcentered i

Die Transformationsmatrix T wird spaltenweise aus diesen Eigenvektoren aufgebaut,

die Inverse wird berechnet:

parenleftBigg parenrightBigg
parenleftbigg parenrightbigg i 1

minus
i 1 2 4
minus 1

T = , T = .

1 i
2 2 periodcentered i minus

2 4

Damit folgt die Diagonalisierung

parenleftBigg parenrightBigg parenleftBigg parenrightBigg

parenleftbigg parenrightbigg parenleftbigg parenrightbigg
1 i 1

1 minus minus

i 1 1 + i 0
2 2 4

A = = .

1 i
2 2 periodcentered i 0 1 minus i

2 1 minus

2 4
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright

T D minus 1
T

Dies liefert

parenleftBigg parenrightBigg
parenleftbigg parenrightbigg parenleftbigg parenrightbigg i 1

n minus

i 1 (1 + i) 0 2 4
n

A = n 1 i

2 2 periodcentered i 0 (1 minus i) minus

2 4
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright

n
T D minus 1

T

bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright

parenlefttp parenrighttp

i 1
n n
parenleftbigg parenrightbigg minus periodcentered (1 + i) periodcentered (1 + i)

2 4
i 1 parenleftbt parenrightbt

= 1 i
n n
2 2 periodcentered i periodcentered (1 minus i) minus periodcentered (1 minus i)

2 4

parenlefttp parenrighttp

1 1 i i
n n n n

periodcentered (1 + i) + periodcentered (1 minus i) periodcentered (1 + i) minus periodcentered (1 minus i)

2 2 4 4

parenleftbt parenrightbt
= .
1 1
n n n n

minus i periodcentered (1 + i) + i periodcentered (1 minus i) periodcentered (1 + i) + periodcentered (1 minus i)

2 2

Das Ergebnis muß als Potenz der reellen Matrix A reell sein. Dies ist in dieser Darstellung leider alles andere als off ensichtlich. In der Tat brauchen wir noch einige grundsatz-

dieresis

dieresis
liche Uberlegungen zu Potenzen komplexer Zahlen, die in Polarkoordinaten wesentlich einfacher zu handhaben sind als in Kartesischen Koordinaten. Wir werden spater nach

dieresis

der Einfuhrung der exp-Funktion fur komplexe Zahlen hierauf genauer eingehen und in

dieresis dieresis

n
Beispiel 5.23 diese Darstellung von A noch weiter vereinfachen.