W. Oevel Mathematik II für Informatiker

Veranstaltungsnr: 172010 Skript zur Vorlesung, Universität Paderborn, Sommersemester 2002

Inhalt

1 Komplexe Zahlen 1 1.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Polynomwurzeln, Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . 5 1.3 Diagonalisierung von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Folgen und Grenzwerte 15 2.1 Definitionen, Beispiele, einige Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Weitere Konvergenzsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.1 Das Supremumsaxiom für ℝ . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.2 Konvergenz monotoner reeller Folgen . . . . . . . . . . . . 29 2.2.3 Cauchy–Folgen und der Banachsche Fixpunktsatz …. 30 2.2.4 Teilfolgen und Häufungspunkte . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3 Unendliches, uneigentliche Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4 Wachstum von Folgen, Landau-Symbole . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Reihen 43 3.1 Definitionen, Beispiele, Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Rechenregeln und das Cauchy-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3 Spezielle Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.4 Bedingte Konvergenz, Umordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.5 Summation per Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . 57

4 Funktionen und Stetigkeit 61 4.1 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.2 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.3 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.4 Der Zwischenwertsatz, das Min/Max-Prinzip . . . . . . . . . . . 69 4.5 Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.6 Wachstum von Funktionen, Landau-Symbole . . . . . . . . . . . 74 5 Spezielle Funktionen 77

5.1 Exponentialfunktion und Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.2 Die trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.3 Die komplexe Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6 Differentialrechnung 89 6.1 Definitionen und Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 6.2 Der Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.3 Taylor–Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 6.4 Monotonie, Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6.5 Die de l’Hospitalsche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7 Integration 113

7.1 Stammfunktionen: das unbestimmte Integral . . . . . . . . . . . 113 7.1.1 Definitionen, Grundintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . 113 7.1.2 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 7.1.3 Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 7.1.4 Rationale Integranden: Partialbruchzerlegung . . . . . . . 119

7.2 Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 7.3 Der Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 7.4 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 7.5 Einige spezielle Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Literatur

Die Vorlesung baut nicht streng auf irgendeinem Buch auf, sondern geht ihren eigenen Weg. Die angegebenen Referenzen dienen dazu, sich unabhängig vom Skript entsprechende Grundlagen anzueignen oder spezielle Inhalte zu vertiefen. Es handelt sich um eine recht willkürliche Auswahl: Neben den angegebenen Büchern gibt es sicherlich jede Menge weiterer Literatur, die den behandelten Stoff analog abdeckt.

[Pap] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 1 - 3 + Mathematische Formelsammlung. Braunschweig/Wiesbaden: Vieweg 2001. (P41 TBG2788)

Recht elementar und mathematisch nicht sehr tief gehend; dafür leicht und angenehm zu lesen. Ist ein Standardbuch und großer Renner bei den Ingenieuren. Hier steht zwar ”für Ingenieure und Naturwissenschaftler“ drauf, diese Reihe ist aber allgemein für eine anwendungsorientierte Kundschaft sehr geeignet, die sich weniger für das Abstrakte in der Mathematik interessiert. Übungen und Anwendungsbeispiele sind allerdings speziell auf Ingenieure zugeschnitten. Im Wesentlichen ist hier Band 1 interessant: er umfaßt Folgen, Reihen, Stetigkeit, Differentialrechnung, spezielle Funktionen und Integration (der Stoff der Mathe II). Band 2 umfaßt die Lineare Algebra (Stoff der Mathe I des letzten Semesters), komplexe Zahlen und viele weitere Dinge, die für diese Vorlesung aber nicht so interessant sind. Band 3 umfaßt mehrdimensionale Differential- und Integralrechnung sowie Stochastik und ist für uns nicht so interessant.

[TI] S. Timman: Repetitorium der Analysis (Teil 1) Springe: Binomi-Verlag.

Eigentlich keine ’Repetitorium’, sondern eine vollständige Einführung mit Definitionen etc. Recht elementar geschrieben, sehr übersichtlich. Gelungener Kompromiss zwischen mathematischem Tiefgang und guter Lesbarkeit auf für Nicht-Mathematiker. Grundlagen, Folgen und Reihen, Stetigkeit, Differentialund Integralrechnung (der Stoff der Mathe II). Zahlreiche Übungsaufgaben mit Musterlösungen.

[KS] K.-H. Kiyek und F. Schwarz: Mathematik für Informatiker 1 + 2. Stuttgart: Teubner 1996 + 1994. (P41 TBM1740)

Deutlicher formaler, abstrakter und anspruchsvoller als z.B. [Pap]. Band 1 umfaßt Folgen, Reihen, Stetigkeit, Differential- und Integralrechnung (der Stoff der Mathe II). Band 2 ist für uns nicht so relevant.

[BK] G. Baron und P. Kirschenhofer: Einführung in die Mathematik für Informatiker 1 - 3. Wien: Springer 1990. (P41 TBM1732)

Liegt vom Anspruch und Abstraktionsgrad zwischen [Pap] und [KS]. Band 2 umfaßt Folgen, Reihen, Stetigkeit, Differential- und Integralrechnung (der Stoff der Mathe II). Band 1 umfaßt Grundlagen, komplexe Zahlen, Lineare Algebra, Polynome. Band 3 ist für uns nicht so relevant.

[For] O. Forster: Analysis 1 - 3. Vieweg. 2001. (P41 TIA 2647)

Abstrakt und anspruchsvoller. Recht kompakt. Standardwerk für Mathematikstudenten. Band 1 umfaßt Folgen, Reihen, Stetigkeit, Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen (der Stoff der Mathe II). Die Bände 2 und 3 umfassen die mehrdimensionale Analysis und sind für uns nicht so relevant.

[Bla] C. Blatter: Analysis 1 + 2. Berlin: Springer 1991. (P41 THX1325)

Abstrakt und anspruchsvoller. Recht kompakt. Band 1 umfaßt Folgen, Reihen, Stetigkeit, Differential- und Integralrechnung (der Stoff der Mathe II). Band 2 ist für uns nicht so relevant.

Bei starken Defiziten in der Schulmathematik schaue man z.B. in:

[Sch] Jochen Schwarze: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Band 1: Grundlagen. Herne: Verlag deutsche Wirtschafts-Briefe GmbH 1996.

Extrem elementar. Nur zum Aufarbeiten fehlender Grundlagen aus der Schule, falls es daran hapert.