Mathematik B für Wirtschaftswissenschaftler Sommersemester 2001 Walter Oevel 29.6.2001

\underline{Probeklausur} (zur Vorbereitung)

Name:  Vorname:  Matrikelnummer:

Aufgabe:  1 2 3 4 5 6 7 8 Σ Bonus Σ
max Punkte:  10 12 13 13 13 13 13 13 100 (15) 100

erreichte Punkte:

Note:

Kontrollieren Sie diese Klausur auf Vollständigkeit: sie sollte 8 Seiten haben (Aufgaben 1–8). Tragen Sie Name und Matrikelnummer auf allen Seiten ein. Lösungswege und Lösungen sind in die Klausurvorlage (evtl. auf die Rückseiten) einzutragen. Sollte der Platz nicht ausreichen, so stellt die Klausuraufsicht zusätzliches Papier zur Verfügung. Die Klammerung der Klausur nicht lösen!

Nicht mit Bleistift und nicht in Rot schreiben!

Dauer: 120 Minuten Zulässige Hilfsmittel: 1 Lehrbuch + 1 Formelsammlung + Skript + 4 handschriftliche Seiten + nichtprogrammierbarer Taschenrechner

Aufgabe 1: (Quickies, 2 + 2 + 2 + 2 + 2 Punkte) Hier sind keine Begründungen erforderlich, nur ’ja’ oder ’nein’ ankreuzen!

a) Ein Punkt x mit f′(x) = 0 ist eine Extremstelle der Funktion f(x).  ∘ ja ∘ nein
b) An allen lokalen Extremstellen einer Funktion f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) gilt \frac{∂f}{∂x_{1}} = \frac{∂f}{∂x_{2}} = \frac{∂f}{∂x_{3}} = 0. ∘ ja ∘ nein

c) Die Ableitung von f⃗(x, y) = ( \begin{matrix}x^{2} \\ x + y \end{matrix} ) ist am Punkt (x, y) = (0, 0) invertierbar. ∘ ja ∘ nein

d) Für (glatte) Funktionen f(x) und g(x) gilt stets: ∫ f(x) · g′′(x) dx = f(x) · g′(x) − ∫ f′(x) · g′(x) dx.  ∘ ja ∘ nein

e) lim_{n↦∞} \frac{n^{2} − 2}{n^{2} + 2} = 1.  ∘ ja ∘ nein

Probeklausur. Name:  Vorname:  Matrikelnummer:

Hier sind Begründungen und nachvollziehbare Rechnungen erforderlich! Aus der Vorlesung oder den Übungen bekannte Sachverhalte können natürlich verwendet werden. Tragen Sie das Endergebnis im ’Ergebnisfeld’ ein!

Aufgabe 2: (Kurvendiskussion, 5 + 4 + 3 Punkte)

a) Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion f(x) = \frac{x}{1 + x^{2}} .

b) Bestimmen Sie lim_{x→∞} f(x) und lim_{x→−∞} f(x).

c) Fertigen Sie eine grobe Skizze des Graphen von f(x) an!

Lösung:

a) Suche die Extrema:

f′(x) = \frac{d}{dx} \frac{x}{1 + x^{2}} = \frac{(1 + x^{2}) − x · 2 · x}{(1 + x^{2})^{2}} = \frac{1 − x^{2}}{(1 + x^{2})^{2}} = 0 ⇒ x^{2} = 1 ⇒ x = ±1.

Test auf Minimum/Maximum mittels zweiter Ableitung:

f′′(x) = \frac{−2 · x · (1 + x^{2})^{2} − (1 − x^{2}) · 2 · (1 + x^{2}) · (2 · x)}{(1 + x^{2})^{4}}

⇒ f′′(−1) = \frac{2 · 2^{2}}{2^{4}} = \frac{1}{2} > 0, f′′(1) = \frac{−2 · 2^{2}}{2^{4}} = −\frac{1}{2} < 0.

Damit ist x = −1 nach Satz 2.27 der Vorlesung ein lokales Minimum und x = 1 ein lokales Maximum.

b) Die Grenzwerte sind

lim_{x→±∞} \frac{x}{1 + x^{2}} = lim_{x→±∞} \frac{x}{x^{2} · (1 + \frac{1}{x^{2}} )} = ( lim_{x→±∞} \frac{x}{x^{2}} ) · ( lim_{x→±∞} \frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}} )

= ( lim_{x→±∞} \frac{1}{x}) · \frac{1}{1 + lim_{x→±∞} \frac{1}{x^{2}}} = 0 · \frac{1}{1 + 0} = 0.

Bei Bedarf auf der Rückseite weiterschreiben

Ergebnis: a) Minimum bei x = −1. Maximum bei x = 1.

b) lim_{x→±∞} f(x) = 0.

c) Skizze: [figure: x; f(x); −1; 1; −\frac{1}{2}; \frac{1}{2}] Hier sind Begründungen und nachvollziehbare Rechnungen erforderlich! Aus der Vorlesung oder den Übungen bekannte Sachverhalte können natürlich verwendet werden. Tragen Sie das Endergebnis im ’Ergebnisfeld’ ein!

Aufgabe 3: (Elastizität, 5 + 3 + 5 Punkte) Sei f(x) = 25 − x^{2} die Nachfrage für ein Gut, das mit der Menge 0 ≤ x ≤ 5 angeboten wird.

a) Bestimmen Sie die Elastizität ϵ_{f,x}(x) der Nachfrage f bezüglich der Angebotsmenge x.

b) Bestimmen Sie die Elastizität der Nachfrage für die Angebotsmengen x = 3 und x = 4.

c) Für welche Angebotsmenge nimmt die Nachfrage um 2% ab, wenn die Angebotsmenge um 1% zunimmt?

Lösung: a)

ϵ_{f,x}(x) = \frac{f′(x) · x}{f(x)} = \frac{−2 · x · x}{25 − x^{2}} = \frac{−2 · x^{2}}{25 − x^{2}} .

b)

ϵ_{f,x}(3) = \frac{−2 · 3^{2}}{25 − 3^{2}} = −\frac{18}{16} = −1.125, ϵ_{f,x}(4) = \frac{−2 · 4^{2}}{25 − 4^{2}} = −\frac{32}{9} ≈ −3.556.

c) Es soll ϵ_{f,x}(x) = −2 gelten:

ϵ_{f,x}(x) = \frac{−2 · x^{2}}{25 − x^{2}} = −2 ⇔ \frac{2 · x^{2}}{25 − x^{2}} = 2 ⇔ 2 · x^{2} = 2 · (25 − x^{2})

⇔ 4 · x^{2} = 50 ⇔ x^{2} = \frac{25}{2} ⇔ x = ±\frac{5}{\sqrt{2}} ≈ ±3.536.

Der Punkt x = −\frac{5}{\sqrt{2}} interessiert hier nicht, da nur 0 ≤ x ≤ 5 betrachtet wird.

Bei Bedarf auf der Rückseite weiterschreiben

Ergebnis: a) ϵ_{f,x}(x) = −\frac{2·x^{2}}{25−x^{2}} . b) ϵ_{f,x}(3) = −1.125, ϵ_{f,x}(4) ≈ −3.556. c) x = \frac{5}{\sqrt{2}} ≈ 3.536.

Hier sind Begründungen und nachvollziehbare Rechnungen erforderlich! Aus der Vorlesung oder den Übungen bekannte Sachverhalte können natürlich verwendet werden. Tragen Sie das Endergebnis im ’Ergebnisfeld’ ein!

Aufgabe 4: (Unbestimmte Integration, 5 + 8 Punkte) Bestimme folgende Stammfunktionen:

a) ∫ x · cos(x^{2}) · e^{sin(x^{2})} dx, b) ∫ (x + 1)^{2} · ln(x + 1) dx.

Lösung:

a) Substitution y = sin(x^{2}), dy = 2 · x · cos(x^{2}) dx.

∫ x · cos(x^{2}) · e^{sin(x^{2})} dx = \frac{1}{2} ∫ e^{y} dy = \frac{1}{2} · e^{y} + c = \frac{1}{2} · e^{sin(x^{2})} + c.

b) Substitution y = x + 1, dy = dx:

∫ (x + 1)^{2} · ln(x + 1) dx = ∫ y^{2} · ln(y) dy.

Nun partielle Integration:

∫ \underbrace{y^{2}}_{g′} · \underbrace{ln(y)}_{f} dy = \underbrace{\frac{y^{3}}{3}}_{g} · \underbrace{ln(y)}_{f} − ∫ \underbrace{\frac{y^{3}}{3}}_{g} · \underbrace{\frac{1}{y}}_{f′} dy

= \frac{y^{3}}{3} · ln(y) − ∫ \frac{y^{2}}{3} dy = \frac{y^{3}}{3} · ln(y) − \frac{y^{3}}{9} + c.

Bei Bedarf auf der Rückseite weiterschreiben

Ergebnis: a) ∫ x · cos(x^{2}) · e^{sin(x^{2})} dx = \frac{1}{2} · e^{sin(x^{2})} + c.

b) ∫ (x + 1)^{2} · ln(x + 1) dx = \frac{y^{3}}{3} · ln(y) − \frac{y^{3}}{9} + c.

Hier sind Begründungen und nachvollziehbare Rechnungen erforderlich! Aus der Vorlesung oder den Übungen bekannte Sachverhalte können natürlich verwendet werden. Tragen Sie das Endergebnis im ’Ergebnisfeld’ ein!

Aufgabe 5: (Bestimmte Integration, 7 + 6 Punkte) Bestimme

a) ∫_{0}^{1} t · e^{t^{2}+2} dt, b) ∫_{0}^{π} \frac{cos(t)}{1 + sin(t)} dt.

Lösung:

a) Substitution y = t^{2} + 2, dy = 2 · t · dt. Substitution der unteren Grenze: t = 0 ⇒ y = 2. Substitution der oberen Grenze: t = 1 ⇒ y = 3.

∫_{0}^{1} t · e^{t^{2}+2} dt = \frac{1}{2} ∫_{2}^{3} e^{y} dy = \frac{1}{2}[ e^{y} ]_{y=2}^{y=3} = \frac{1}{2} · (e^{3} − e^{2}) ≈ 6.348.

b) Substitution y = 1 + sin(t), dy = cos(t) dt. Substitution der unteren Grenze: t = 0 ⇒ y = 1. Substitution der oberen Grenze: t = π ⇒ y = 1.

∫_{0}^{π} \frac{cos(t)}{1 + sin(t)} dt = ∫_{1}^{1} \frac{1}{y} dt = 0.

Bei Bedarf auf der Rückseite weiterschreiben

Ergebnis: a) ∫_{0}^{1} t · e^{t^{2}+2} dt = \frac{1}{2} · (e^{3} − e^{2}) ≈ 6.348, b) ∫_{0}^{π} \frac{cos(t)}{1 + sin(t)} dt = 0.

Hier sind Begründungen und nachvollziehbare Rechnungen erforderlich! Aus der Vorlesung oder den Übungen bekannte Sachverhalte können natürlich verwendet werden. Tragen Sie das Endergebnis im ’Ergebnisfeld’ ein!

Aufgabe 6: (Etrema von Funktionen mehrerer Variabler, 5 + 3 + 5 Punkte) Betrachten Sie die Erlösfunktion E(x_{1}, x_{2}) = 4 · x_{1} + 5 · x_{2}, abhängig von den verkauften Mengen x_{1}, x_{2} zweier Produkte. Die Kosten der Produktion von x_{1}, x_{2} Einheiten dieser Produkte sei K(x_{1}, x_{2}) = 1 + x_{1} + 2 · x_{2} + x_{1}^{2} + x_{1} · x_{2} + x_{2}^{2}. Bestimmen Sie die Werte x_{1}, x_{2}, an denen der Gewinn maximal wird, berechnen Sie den maximierten Gewinn! Zeigen Sie mit der Hesse–Matrix, daß es sich in der Tat um ein (lokales) Maximum handelt!

Lösung: Der Gewinn ist

G(x_{1}, x_{2}) = E(x_{1}, x_{2}) − K(x_{1}, x_{2}) = 3 · x_{1} + 3 · x_{2} − x_{1}^{2} − x_{1} · x_{2} − x_{2}^{2} − 1.

Kandidaten für Extremwerte sind durch die Gleichungen

\frac{∂G}{∂x_{1}} = 3 − 2 · x_{1} − x_{2} = 0, \frac{∂G}{∂x_{2}} = 3 − x_{1} − 2 · x_{2} = 0

bestimmt. Die (einzige) Lösung von

2 · x_{1} + x_{2} = 3, x_{1} + 2 · x_{2} = 3

ist x_{1} = x_{2} = 1, der Gewinn ist dabei G(1, 1) = 2. Die Hesse–Matrix

H = ( \begin{matrix}−2 & −1 \\ −1 & −2 \end{matrix} )

ist konstant und negativ definit (−H ist nach Definition 5.22 der Vorlesung positiv definit, da (−H)_{11} = 2 > 0 und det(−H) = 3 > 0). Damit liegt ein Maximum vor.

Bei Bedarf auf der Rückseite weiterschreiben

Ergebnis: x_{1} = 1 (Einheiten), x_{2} = 1 (Einheiten). Der maximierte Gewinn ist: 2 (Geldeinheiten)

Hier sind Begründungen und nachvollziehbare Rechnungen erforderlich! Aus der Vorlesung oder den Übungen bekannte Sachverhalte können natürlich verwendet werden. Tragen Sie das Endergebnis im ’Ergebnisfeld’ ein!

Aufgabe 7: (Extrema mit Nebenbedingungen, 5 + 3 + 5 Punkte) Eine Firma stellt gemäß der ’Produktionsfunktion’ P (x_{1}, x_{2}) = x_{1} · x_{2} (Einheiten) zwei Produkte her. Die Herstellungskosten pro Einheit sind 2 (Geldeinheiten) für das erste Produkt und 4 (Geldeinheiten) für das zweite Produkt. Berechne mittels Lagrangescher Multiplikatoren die ’Minimalkostenkombination’ x_{1}, x_{2} bei konstanter Produktion von P (x_{1}, x_{2}) = 50 Einheiten! Also: minimiere die Kosten unter der Nebenbedingung P (x_{1}, x_{2}) = 50.

Lösung: Die Kosten K(x_{1}, x_{2}) = 2 · x_{1} + 4 · x_{2} sind unter der Nebenbedingung g(x_{1}, x_{2}) = P (x_{1}, x_{2}) − 50 = x_{1} · x_{2} − 50 = 0 zu minimieren. Die Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren führt auf das Gleichungssystem

\frac{∂K}{∂x_{1}} = λ · \frac{∂g}{∂x_{1}} , \frac{∂K}{∂x_{2}} = λ · \frac{∂g}{∂x_{2}} , g(x_{1}, x_{2}) = 0

für x_{1}, x_{2}, λ, also

2 = λ · x_{2}, 4 = λ · x_{1}, x_{1} · x_{2} = 50.

Setzt man λ = \frac{2}{x_{2}} (aus der ersten Gleichung) in die zweite Gleichung ein, ergeben sich die verbleibenden Gleichungen

4 = \frac{2 · x_{1}}{x_{2}} , x_{1} · x_{2} = 50

für x_{1}, x_{2}. Es folgt x_{1} = 2·x_{2} aus der ersten dieser Gleichungen und damit dann 2·x_{2}·x_{2} = 50 aus der zweiten, also x_{2} = \sqrt{25} = 5 (nur die positive Lösung ist hier interesssant). Mit x_{1} = 2 · x_{2} folgt x_{1} = 10.

Heuristische Probe, ob hier wirklich ein Minimum vorliegt. Die Kosten sind für die Minimalkostenkombination K(10, 5) = 40. Betrachten wir andere Werte mit x_{1} · x_{2} = 50, z.B. (x_{1}, x_{2}) = (5, 10) oder auch (x_{1}, x_{2}) = (25, 2), so ergeben sich jeweils höhere Kosten K(5, 10) = 50, K(25, 2) = 80. Das sieht gut aus!

Bei Bedarf auf der Rückseite weiterschreiben

Ergebnis: x_{1} = 10 (Einheiten), x_{2} = 5 (Einheiten).

Hier sind Begründungen und nachvollziehbare Rechnungen erforderlich! Aus der Vorlesung oder den Übungen bekannte Sachverhalte können natürlich verwendet werden. Tragen Sie das Endergebnis im ’Ergebnisfeld’ ein!

Aufgabe 8: (Differentialgleichungen, 10 + 3 Punkte)

a) Finde die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y′(x) + 2 · x · y(x) = e^{−x^{2}}.

b) Finde die spezielle Lösung zur Anfangsbedingung y(0) = 1.

Lösung:

a) Löse zunächst die homogene DGL durch Separation:

\frac{dy}{dx} + 2 · x · y(x) = 0 ⇒ \frac{dy}{dx} = −2 · x · y ⇒ \frac{dy}{y} = −2 · x dx

⇒ ∫ \frac{dy}{y} = − ∫ 2 · x dx ⇒ ln(|y|) = −x^{2} + c̃ ⇒ |y| = e^{−x^{2}+c̃}

⇒ y = \underbrace{±ec̃}_{c} ·e^{−x^{2}} ⇒ y = c · e^{−x^{2}}.

Variation der Konstanten:

y(x) = c(x) · e^{−x^{2}} eingesetzt in y′(x) + 2 · x · y = e^{−x^{2}}

⇒ y′(x) + 2 · x · y(x) = c′(x) · e^{−x^{2}} + \underbrace{c(x) · (−2 · x · e^{−x^{2}}) + 2 · x · y(x)}_{0} = e^{−x^{2}}

⇒ c′(x) · e^{−x^{2}} = e^{−x^{2}} ⇒ c′(x) = 1 ⇒ c(x) = ∫ 1 dx = x + c_{1}.

Die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL ist damit

y(x) = c(x) · e^{−x^{2}} = (x + c_{1}) · e^{−x^{2}}

(mit einer beliebigen Konstanten c_{1}).

b) Anpassen der Anfangsbedingung:

y(0) = (0 + c_{1}) · e^{−0^{2}} = 1 ⇒ c_{1} = 1.

Die spezielle Lösung zur Anfangsbedingung y(0) = 1 ist damit

y(x) = (x + 1) · e^{−x^{2}}.

Kontrolle:

y′(x) + 2 · x · y(x) = e^{−x^{2}} + (x + 1) · (−2 · x · e^{−x^{2}}) + 2 · x · (x + 1) · e^{−x^{2}} = e^{−x^{2}}, (ok)

y(0) = (0 + 1) · e^{−0^{2}} = 1. (ok)

Bei Bedarf auf der Rückseite weiterschreiben

a) Die allgemeine Lösung ist: y(x) = (x + const) · e^{−x^{2}}.

b) Die spezielle Lösung ist: y(x) = (x + 1) · e^{−x^{2}}.