Mathe B für Wirtschaftswissenschaftler Sommersemester 01 Walter Oevel 12. 6. 2001

Ü b u n g s b l a t t 9

Wir bieten an, bearbeitete Aufgaben zu korrigieren, falls sie zum unten angegebenen Zeitpunkt abgeliefert werden. Mit ∗ und Punktangaben gekennzeichnete Aufgaben können dazu verwendet werden, Bonus–Punkte zu erwerben.

Aufgabe 32*: (Bestimmte Integrale) (1 + 1 + 1 Punkte) Berechne

a) ∫_{0}^{10} sin(π · t) dt, b) ∫_{0}^{2} t · e^{−t} dt, c) ∫_{0}^{π} cos(t) · e^{sin(t)^{2}} dt.

Musterlösung:

a) Mit der Stammfunktion

∫ sin(π · t) dt = −\frac{1}{π} · cos(π · t) + c

folgt sofort

∫_{0}^{10} sin(π · t) dt = [\frac{− cos(π · t)}{π}]_{t=0}^{t=10} = \frac{1}{π} · ( − cos(10 · π) + cos(0)) = 0.

b) Partielle Integration:

∫_{0}^{2} \underbrace{t}_{f(t)} · \underbrace{e^{−t}}_{g′(t)} dt = [\underbrace{t}_{f(t)} · \underbrace{(−e^{−t})}_{g(t)}]_{t=0}^{t=2} − ∫_{0}^{2} \underbrace{1}_{f′(t)} · \underbrace{(−e^{−t})}_{g(t)} dt

= [−t · e^{−t}]_{t=0}^{t=2} + ∫_{0}^{2} e^{−t}dt = [−t · e^{−t}]_{t=0}^{t=2} + [−e^{−t}]_{t=0}^{t=2}

= −2 · e^{−2} − e^{−2} + e^{0} = 1 − 3 · e^{−2} ≈ 0.594.

c) Substitution y = sin(t), dy = cos(t) dt. Transformation der unteren Grenze: t = 0 ⇒ y = sin(0) = 0. Transformation der oberen Grenze: t = π ⇒ y = sin(π) = 0. Damit ergibt sich:

∫_{0}^{π} cos(t) · e^{sin(t)^{2}} dt = ∫_{0}^{0} e^{y^{2}} dy.

Da die Intervallgrenzen übereinstimmen, ist das Integral 0: wir brauchen die Stammfunktion von e^{y^{2}} gar nicht zu kennen!

∫_{0}^{π} cos(t) · e^{sin(t)^{2}} dt = 0.

Aufgabe 33: (Bestimmte Integrale, gerade und ungerade Funktionen) Eine Funktion mit der Eigenschaft f(−t) = −f(t) heißt ”ungerade“. Beispiele: f(t) = t+t^{3}, f(t) = sin(t). Zeige, daß für jede ungerade Funktion f und für jedes a ∈ ℝ gilt:

∫_{−a}^{a} f(t) dt = 0.

Eine Funktion mit der Eigenschaft f(−t) = f(t) heißt ”gerade“. Beispiele: f(t) = 1 + t^{2}, f(t) = cos(t). Zeige, daß für jede gerade Funktion f und für jedes a ∈ ℝ gilt:

∫_{−a}^{a} f(t) dt = 2 · ∫_{0}^{a} f(t) dt.

Anleitung:∫_{−a}^{a} f(t) dt = ∫_{−a}^{0} f(t) dt + ∫_{0}^{a} f(t) dt. Substituiere y = −t im ersten Integral.

Musterlösung:

∫_{−a}^{a} f(t) dt = ∫_{−a}^{0} f(t) dt + ∫_{0}^{a} f(t) dt.

Substituiere y = −t im ersten Integral: dy = −dt. Transformation der Grenzen: t = −a ⇒ y = a, t = 0 ⇒ y = 0.

∫_{−a}^{0} f(t) dt + ∫_{0}^{a} f(t) dt = − ∫_{a}^{0} f(−y) dy + ∫_{0}^{a} f(t) dt
= ∫_{0}^{a} f(−y) dy + ∫_{0}^{a} f(t) dt = ± ∫_{0}^{a} f(y) dy + ∫_{0}^{a} f(t) dt,

wobei für gerade Funktionen das + Zeichen, für ungerade Funktionen das − Zeichen gilt. Nennt man y wieder in t um:

∫_{−a}^{a} f(t) dt = ± ∫_{0}^{a} f(t) dt + ∫_{0}^{a} f(t) dt = \{ \begin{matrix}2 · ∫_{0}^{a} f(t) dt & für gerade Funktionen f, \\ 0 & für ungerade Funktionen f. \end{matrix}

Aufgabe 34*: (Uneigentliche Integrale) (1 + 1 + 2 Punkte) Für welche Werte von n existieren die folgenden Integrale?

a) ∫_{1}^{∞} t^{n} dt, b) ∫_{0}^{1} t^{n} dt.

Berechne

c) ∫_{−∞}^{∞} t · e^{−t^{2}} dt.

Musterlösung: Es gilt

∫ t^{n} dt = \{ \begin{matrix}\frac{t^{n+1}}{n + 1} + c & (n ≠ −1), \\ ln(|t|) + c & (n = −1). \end{matrix}

a) Der Integrand t^{n} hat für negatives n eine Singularität bei t = 0. Für n ≠ −1:

∫_{0}^{1} t^{n} dt = lim_{ϵ→0+0} ∫_{ϵ}^{1} t^{n} dt = lim_{ϵ→0+0} [\frac{t^{n+1}}{n + 1}]_{t=ϵ}^{t=1} = \frac{1}{n + 1} − \frac{1}{n + 1} · lim_{ϵ→0+0} ϵ^{n+1}.

Für n + 1 > 0 existiert dieser Grenzwert (und ist \frac{1}{n+1}). Für n + 1 < 0 existiert er nicht (bzw. ist ∞; beachte \frac{1}{n+1} < 0). Für n = −1 gilt:

∫_{0}^{1} \frac{1}{t} dt = lim_{ϵ→0+0} ∫_{ϵ}^{1} \frac{1}{t} dt = lim_{ϵ→0+0} [ln(|t|)]_{t=ϵ}^{t=1} = − lim_{ϵ→0+0} ln(|ϵ|) = ∞.

Ergebnis:

∫_{0}^{1} t^{n} dt = \{ \begin{matrix}\frac{1}{n+1} & für n > −1, \\ ∞ & für n ≤ −1. \end{matrix}

b) Für n ≠ −1 gilt:

∫_{1}^{∞} t^{n} dt = lim_{b→∞} ∫_{1}^{b} t^{n} dt = lim_{b→∞} [\frac{t^{n+1}}{n + 1}]_{t=1}^{t=b} = \frac{1}{n + 1} · lim_{b→∞} b^{n+1} − \frac{1}{n + 1}.

Für n + 1 > 0 existiert dieser Grenzwert nicht (bzw. ist ∞). Für n + 1 < 0 existiert der Grenzwert und ist −\frac{1}{n+1}. Für n = −1 gilt:

∫_{1}^{∞} \frac{1}{t} dt = lim_{b→∞} ∫_{1}^{b} \frac{1}{t} dt = lim_{b→∞} [ln(|t|)]_{t=1}^{t=b} = lim_{b→∞} ln(|b|) = ∞.

Ergebnis:

∫_{1}^{∞} t^{n} dt = \{ \begin{matrix}∞ & für n ≥ −1, \\ −\frac{1}{n+1} & für n < −1. \end{matrix}

c) Substitution y = t^{2}, dy = 2 · t dt ⇒ t · dt = \frac{dy}{2} :

∫_{−∞}^{∞} t · e^{−t^{2}} dt = lim_{a→−∞} ( lim_{b→∞} ∫_{a}^{b} e^{−t^{2}} \underbrace{t · dt}_{dy/2} ) = lim_{a→−∞} ( lim_{b→∞} \frac{1}{2} · ∫_{a^{2}}^{b^{2}} e^{−y} dt)

= lim_{a→−∞} ( lim_{b→∞} [−e^{−y}]_{y=a^{2}}^{y=b^{2}} ) = lim_{a→−∞} ( lim_{b→∞}(e^{−a^{2}} − e^{−b^{2}}))

= lim_{a→−∞} (e^{−a^{2}} − lim_{b→∞} e^{−b^{2}})) = lim_{a→−∞} e^{−a^{2}} = 0.

Aufgabe 35: (Substitution und partielle Integration) (etwas anspruchsvoller) Zeige

∫_{0}^{∞} \sqrt{t} · e^{−t} dt = ∫_{0}^{∞} e^{−y^{2}} dy.

(Anleitung: Substitution y = \sqrt{t}, dann geeignete partielle Integration). Welchen Wert liefert MuPAD für das Integral?

Musterlösung: Mit y = \sqrt{t} (⇒ dy = \frac{1}{2} · \frac{1}{\sqrt{t}} dt = \frac{1}{2·y} dt):

∫_{0}^{∞} \sqrt{t} · e^{−t} dt = ∫_{0}^{∞} y · e^{−y^{2}} · \underbrace{2 · y dy}_{dt} .

Nun partielle Integration (hier braucht man ”Augenmaß“, was zu tun ist):

∫_{0}^{∞} \underbrace{y}_{f(y)} · \underbrace{e^{−y^{2}} · 2 · y}_{g′(y)} dy = [\underbrace{y}_{f(y)} · \underbrace{(−e^{−y^{2}})}_{g(y)}]_{y=0}^{y=∞} − ∫_{0}^{∞} \underbrace{1}_{f′(y)} · \underbrace{(−e^{−y^{2}})}_{g(y)} dy = ∫_{0}^{∞} e^{−y^{2}} dy

Die Randterme fallen dabei weg:

[y · (−e^{−y^{2}})]_{y=0}^{y=∞} = lim_{b→∞} [y · (−e^{−y^{2}})]_{y=0}^{y=b} = lim_{b→∞} ( − b · e^{−b^{2}}) − 0 · (−e^{−0^{2}}) = 0

(vergleiche dazu auch Beispiel 4.43 der Vorlesung). MuPAD liefert als Wert:

>> int(sqrt(t)*exp(-t), t = 0..infinity)
                               1/2
                             PI
                             -----
                               2
>> int(exp(-y^2), y = 0..infinity)
                               1/2
                             PI
                             -----
                               2

Aufgabe 36: (MuPAD und numerische Integration) Studiere einige Beispiele der Hilfeseiten zu MuPAD’s numerischen Integrierern numeric::int

und numeric::quadrature. Berechne den Wert von ∫_{0}^{∞} \frac{e^{−t^{2}}}{π + \sqrt{t} + sin(t)} dt auf 10 Dezimal-

stellen genau!

Musterlösung:

>> numeric::int(exp(-t^2)/(PI + sqrt(t) + sin(t)), t = 0..infinity)
                              0.2094116015

Aufgabe 37*: (Konsumentenrente mit MuPAD) (2 Punkte) Beachte Beispiel 4.40 der Vorlesung. Betrachte die Nachfragefunktion p(x) = e^{−3·x}+1− \frac{x^{2}}{x^{2}+27}. Der aktuelle Marktpreis p_{0} = p(x_{0}) sei so gewählt, daß der Erlös E(x) = x · p(x) maximiert ist. Berechne die Konsumentenrente auf mindestens 3 Dezimalstellen genau!

Musterlösung: Definition der Nachfragefunktion:

>> p := x -> exp(-3*x) + 1 - x^2/(x^2 + 27):

Finde das Maximum von E(x) = x · p(x) als Nullstelle von E′(x):

>> numeric::solve(diff(x*p(x), x) = 0, x)
                         {5.196126673}

Zuweisung des Maximums an x_{0}:

>> x0 := %[1]
                          5.196126673

Zuweisung des aktuellen Marktpreises:

>> p0 := p(x0)
                         0.5000026476

Berechnung der Konsumentenrente:

>> Konsumentenrente = numeric::int(p(x), x = 0..x0) - x0*p(x0)
                Konsumentenrente = 1.816291878

Abgabe: Dienstag, 26.6.01, zu Beginn der Vorlesung. Bearbeitungen bitte heften! Beiliegendes Formblatt vorheften, Name, Vorname, Matrikelnummer, Gruppe leserlich(!) angeben.

Dieses Formblatt bitte bei der Abgabe von Übungen vorn anheften und ausfüllen!

Mathe B für WiWi, Blatt 9, Abgabe: 26.6.01

Vorname: Name: Matrikelnummer: Gruppe (unbedingt ankreuzen!):

Di 14–16, P1510 Ettler  (Gruppe 1)
Di 16–18, D1.328 Koch  (Gruppe 2)
Do 9–11, P7203 Kaminski (Gruppe 7)
Do 14–16, H4.113 Koch  (Gruppe 4)
Do 16–18, D1.338 Hufnagel (Gruppe 5)
Fr 11–13, N4.325 Hufnagel (Gruppe 3)
Fr 11–13, P1611 Morschel (Gruppe 6)
Fr 11–13, D1.338 Kaminski (Gruppe 8)
Fr 11–13, D1.328 Ettler  (Gruppe 9)

keine Gruppenzugehörigkeit

Aufgabe 32^{∗} 33 34^{∗} 35 36 37^{∗} ∑
max Punkte 3 – 4 – – 2

erreicht: