Mathe B für Wirtschaftswissenschaftler Sommersemester 01 Walter Oevel 5. 6. 2001

Ü b u n g s b l a t t 8

Wir bieten an, bearbeitete Aufgaben zu korrigieren, falls sie zum unten angegebenen Zeitpunkt abgeliefert werden. Mit ∗ und Punktangaben gekennzeichnete Aufgaben können dazu verwendet werden, Bonus–Punkte zu erwerben.

Aufgabe 28*: (partielle Integration) (1 + 1 + 2 Punkte) Berechne unter Angabe von Zwischenschritten:

a) ∫ x · sin(x) dx, b) ∫ x^{2} · ln(x) dx, c) ∫ sin(x) · e^{x} dx.

Anleitung zu b): Beachte Beispiel 4.11 der Vorlesung. Anleitung zu c): zweimalige partielle Integration. Beachte auch Beispiel 4.13 der Vorlesung.

Musterlösung: a)

∫ \underbrace{x}_{f(x)} · \underbrace{sin(x)}_{g′(x)} dx = \underbrace{x}_{f(x)} · \underbrace{(− cos(x))}_{g(x)} − ∫ \underbrace{1}_{f′(x)} · \underbrace{(− cos(x))}_{g(x)} dx.

= −x · cos(x) + ∫ cos(x) dx = −x · cos(x) + sin(x) + c .

b) Analog zu Beispiel 4.11 der Vorlesung:

∫ \underbrace{x^{2}}_{g′(x)} · \underbrace{ln(x)}_{f(x)} dx = \underbrace{ln(x)}_{f(x)} · \underbrace{\frac{x^{3}}{3}}_{g(x)} − ∫ \underbrace{\frac{1}{x}}_{f′(x)} · \underbrace{\frac{x^{3}}{3}}_{g(x)} dx

= ln(x) · \frac{x^{3}}{3} − ∫ \frac{x^{2}}{3} dx = ln(x) · \frac{x^{3}}{3} − \frac{x^{3}}{9} + c .

c)

∫ sin(x) · e^{x} dx = ∫ \underbrace{sin(x)}_{f(x)} · \underbrace{e^{x}}_{g′(x)} dx = \underbrace{sin(x)}_{f(x)} · \underbrace{e^{x}}_{g(x)} − ∫ \underbrace{cos(x)}_{f′(x)} · \underbrace{e^{x}}_{g(x)} dx.

Das war bislang nicht sehr erfolgreich: ∫ sin(x) · e^{x} dx wurde durch ∫ cos(x) · e^{x} dx ausgedrückt. Eine zweite partielle Integration:

∫ cos(x) · e^{x} dx = ∫ \underbrace{cos(x)}_{f(x)} · \underbrace{e^{x}}_{g′(x)} dx = \underbrace{cos(x)}_{f(x)} · \underbrace{e^{x}}_{g(x)} − ∫ \underbrace{(− sin(x))}_{f′(x)} · \underbrace{e^{x}}_{g(x)} dx

= cos(x) · e^{x} + ∫ sin(x) · e^{x} dx.

Dies liefert eine Gleichung für ∫ sin(x) · e^{x} dx:

∫ sin(x) · e^{x} dx = sin(x) · e^{x} − ∫ cos(x) · e^{x} dx
= sin(x) · e^{x} − cos(x) · e^{x} − ∫ sin(x) · e^{x} dx
⇒ 2 · ∫ sin(x) · e^{x} dx = x(sin(x) − cos(x)) · e^{x} + c
⇒  ∫ sin(x) · e^{x} dx = \frac{1}{2} · ( sin(x) − cos(x)) · e^{x} + c̃.

(Hierbei wurde \frac{c}{2} in c̃ umbenannt.)

Aufgabe 29*: (Substitution) (1 + 1 + 1 + 1 Punkte) Berechne unter Angabe von Zwischenschritten:

a) ∫ e^{2·x+3} dx, b) ∫ cos(x) · e^{2·sin(x)+3} dx

c) ∫ \frac{sin(ln(2 · x + 3))}{2 · x + 3} dx, d) ∫ x · sin(x^{2}) · sin(cos(x^{2})) dx.

Musterlösung:

a) Substituiere y = 2 · x + 3 (⇒ dy = 2 · dx):

∫ e^{2·x+3} dx = ∫ e^{y} \frac{dy}{2} = \frac{e^{y}}{2} + c = \frac{e^{2·x+3}}{2} + c.

b) Substituiere y = 2 · sin(x) + 3 (⇒ dy = 2 · cos(x) · dx):

∫ cos(x) · e^{2·sin(x)+3} dx = ∫ e^{y} \frac{dy}{2} = \frac{e^{y}}{2} + c = \frac{e^{2·sin(x)+3}}{2} + c.

c) Substituiere y = ln(2 · x + 3) (⇒ dy = \frac{2}{2·x+3} dx):

∫ \frac{sin(ln(2 · x + 3))}{2 · x + 3} dx = ∫ sin(y) \frac{dy}{2} = − cos(y) = −\frac{1}{2} · cos(ln(2 · x + 3)) + c.

d) Substituiere y = cos(x^{2}) (⇒ dy = −2 · x · sin(x^{2}) · dx):

∫ x · sin(x^{2}) · sin(cos(x^{2})) dx = ∫ sin(y) \frac{dy}{−2} = −\frac{1}{2} · (− cos(y)) = \frac{1}{2} · cos(cos(x^{2})).

Aufgabe 30*: (Partialbruchzerlegung) (1 + 2 Punkte) Berechne unter Angabe von Zwischenschritten:

a) ∫ \frac{2 · x}{(x + 1) · (x − 2)} dx, b) ∫ \frac{x^{2} + 2}{(x − 1) · (x − 2)} dx.

Musterlösung:

a) Ansatz

\frac{2 · x}{(x + 1) · (x − 2)} = \frac{a}{x + 1} + \frac{b}{x − 2} = \frac{a · (x − 2) + b · (x + 1)}{(x + 1) · (x − 2)}.

Vergleich der Zähler:

2 · x = a · (x − 2) + b · (x + 1) = (a + b) · x + (b − 2 · a).

Es folgen die Gleichungen

2 = a + b, 0 = b − 2 · a

mit der Lösung a = \frac{2}{3}, b = \frac{4}{3}. Also:

∫ \frac{2 · x}{(x + 1) · (x − 2)} dx = ∫ (\frac{\frac{2}{3}}{x + 1} + \frac{\frac{4}{3}}{x − 2}) dx = \frac{2}{3} · ln(|x + 1|) + \frac{4}{3} · ln(|x − 2|) + c.

b) Zunächst Polynomdivision, um den Zählergrad zu reduzieren. Beachte (x−1)·(x−2) = x^{2}−3·x+2:

x^{2} + 2  : x^{2} − 3 · x + 2 = 1
x^{2} − 3 · x + 2
3 · x

also

\frac{x^{2} + 2}{(x − 1) · (x − 2)} = 1 + \frac{3 · x}{(x − 1) · (x − 2)}.

Partialbruchzerlegung des verbleibenden Bruchs:

\frac{3 · x}{(x − 1) · (x − 2)} = \frac{a}{x − 1} + \frac{b}{x − 2} = \frac{a · (x − 2) + b · (x − 1)}{(x − 1) · (x − 2)}.

Vergleich der Zähler:

3 · x = a · (x − 2) + b · (x − 1) = (a + b) · x + (−2 · a − b).

Es folgen die Gleichungen

3 = a + b, 0 = −2 · a − b

mit der Lösung a = −3, b = 6. Also:

\frac{x^{2} + 2}{(x − 1) · (x − 2)} = 1 − \frac{3}{x − 1} + \frac{6}{x − 2}.

Es folgt:

∫ \frac{x^{2} + 2}{(x − 1) · (x − 2)} dx = ∫ (1 − \frac{3}{x − 1} + \frac{6}{x − 2}) dx = x − 3 · ln(|x − 1|) + 6 · ln(|x − 2|) + c.

Aufgabe 31: (MuPAD) Überprüfe mit der Funktion partfrac MuPADs die in Aufgabe 30) benötigten Partialbruchzerlegungen und die resultierenden Stammfunktionen.

Musterlösung: a)

>> partfrac(2*x/((x + 1)*(x - 2)), x)
                         2           4
                     --------- + ---------
                     3 (x + 1)   3 (x - 2)
>> int(%, x)
                   2 ln(x + 1)   4 ln(x - 2)
                   ----------- + -----------
                        3             3

b)

>> partfrac((x^2 + 2)/((x - 1)*(x - 2)), x)
                         6       3
                       ----- - ----- + 1
                       x - 2   x - 1
>> int(%, x)
                 x - 3 ln(x - 1) + 6 ln(x - 2)

Abgabe: Dienstag, 19.6.01, zu Beginn der Vorlesung.

Bearbeitungen bitte heften! Beiliegendes Formblatt vorheften, Name, Vorname, Matrikelnummer, Gruppe leserlich(!) angeben.

Dieses Formblatt bitte bei der Abgabe von Übungen vorn anheften und ausfüllen!

Mathe B für WiWi, Blatt 8, Abgabe: 19.6.01

Vorname: Name: Matrikelnummer: Gruppe (unbedingt ankreuzen!):

Di 14–16, P1510 Ettler  (Gruppe 1)
Di 16–18, D1.328 Koch  (Gruppe 2)
Do 9–11, P7203 Kaminski (Gruppe 7)
Do 14–16, H4.113 Koch  (Gruppe 4)
Do 16–18, D1.338 Hufnagel (Gruppe 5)
Fr 11–13, N4.325 Hufnagel (Gruppe 3)
Fr 11–13, P1611 Morschel (Gruppe 6)
Fr 11–13, D1.338 Kaminski (Gruppe 8)
Fr 11–13, D1.328 Ettler  (Gruppe 9)

keine Gruppenzugehörigkeit

Aufgabe 28^{∗} 29^{∗} 30^{∗} 31 ∑
max Punkte 4 4 3 –

erreicht: