Mathe B für Wirtschaftswissenschaftler Sommersemester 01 Walter Oevel 22. 5. 2001

Ü b u n g s b l a t t 6

Wir bieten an, bearbeitete Aufgaben zu korrigieren, falls sie zum unten angegebenen Zeitpunkt abgeliefert werden. Mit ∗ und Punktangaben gekennzeichnete Aufgaben können dazu verwendet werden, Bonus–Punkte zu erwerben.

Aufgabe 22*: (Ableiten) (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 Punkte) Differenziere:

a) sin(x − 5)^{7}, b) \sqrt{x^{2} + 1},  c) \frac{x^{2}}{x + 1} − \frac{1}{x + 1},

d) \frac{sin(x + 1)}{cos(x − 1)},  e) e^{(x^{2})} · ln(2 · x), f)  x^{(x^{2})}.

Anleitung zu f): nach Bemerkung 1.71 der Vorlesung gilt x^{y} = e^{y·ln(x)}.

Musterlösung:

a) Kettenregel (beachte \frac{d}{dy} y^{7} = 7 · y^{6}):

\frac{d}{dx} sin(x − 5)^{7} = 7 · sin(x − 5)^{6} · \frac{d}{dx} sin(x − 5)
= 7 · sin(x − 5)^{6} · cos(x − 5) · \frac{d}{dx}(x − 5) = 7 · sin(x − 5)^{6} · cos(x − 5).

MuPAD:

>> diff(sin(x - 5)^7, x)
                                          6
                   7 cos(x - 5) sin(x - 5)

b) Kettenregel (beachte \frac{d}{dy} \sqrt{y} = \frac{1}{2·\sqrt{y}}):

\frac{d}{dx} \sqrt{x^{2} + 1} = \frac{1}{2 · \sqrt{x^{2} + 1}} · \frac{d}{dx}(x^{2} + 1) = \frac{2 · x}{2 · \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}.

MuPAD:

>> diff(sqrt(x^2 + 1), x)
                               x
                          -----------
                            2     1/2
                          (x  + 1)

c) Quotientenregel:

\frac{d}{dx} (\frac{x^{2}}{x + 1} − \frac{1}{x + 1}) = \frac{(\frac{d}{dx}x^{2}) · (x + 1) − x^{2} · (\frac{d}{dx}(x + 1))}{(x + 1)^{2}} + \frac{1}{(x + 1)^{2}}

= \frac{2 · x · (x + 1) − x^{2}}{(x + 1)^{2}} + \frac{1}{(x + 1)^{2}} = \frac{x^{2} + 2 · x + 1}{(x + 1)^{2}} = \frac{(x + 1)^{2}}{(x + 1)^{2}} = 1 .

Dies ist nicht überraschend, da sich die Ausgangsfunktion vereinfachen läßt:

\frac{x^{2}}{x + 1} − \frac{1}{x + 1} = \frac{x^{2} − 1}{x + 1} = \frac{(x − 1) · (x + 1)}{x + 1} = x − 1.

MuPAD:

>> diff(x^2/(x + 1) - 1/(1 + x), x)
                                         2
                     1        2 x       x
                  -------- + ----- - --------
                         2   x + 1          2
                  (x + 1)            (x + 1)
>> normal(%)
                               1

d) Quotientenregel:

\frac{d}{dx} \frac{sin(x + 1)}{cos(x − 1)} = \frac{(\frac{d}{dx} sin(x + 1)) · cos(x − 1) − sin(x + 1) · (\frac{d}{dx} cos(x − 1))}{cos(x − 1)^{2}}

= \frac{cos(x + 1) · cos(x − 1) + sin(x + 1) · sin(x − 1)}{cos(x − 1)^{2}}.

MuPAD:

>> diff(sin(x + 1)/cos(x - 1), x)
              cos(x + 1)   sin(x - 1) sin(x + 1)
              ---------- + ---------------------
              cos(x - 1)                  2
                                cos(x - 1)
>> normal(%)
         cos(x - 1) cos(x + 1) + sin(x - 1) sin(x + 1)
         ---------------------------------------------
                                    2
                          cos(x - 1)

e) Quotientenregel:

\frac{d}{dx} e^{(x^{2})} · ln(2 · x) = (\frac{d}{dx}e^{(x^{2})}) · ln(2 · x) + e^{(x^{2})}(\frac{d}{dx} ln(2 · x))

= 2 · xe^{(x^{2})} · ln(2 · x) + e^{(x^{2})} · \frac{2}{2 · x} = e^{(x^{2})}(2 · x · ln(2 · x) + \frac{1}{x}).

MuPAD:

>> diff(exp(x^2)*ln(2*x), x)
                      2
                 exp(x )                    2
                 ------- + 2 x ln(2 x) exp(x )
                    x

f) Kettenregel (mit \frac{d}{dy} e^{y} = e^{y}):

\frac{d}{dx} x^{(x^{2})} = \frac{d}{dx} e^{x^{2}·ln(x)} = e^{x^{2}·ln(x)} · \frac{d}{dx} (x^{2} · ln(x))

= x^{(x^{2})} · (2 · x · ln(x) + x^{2} · \frac{1}{x}) = x^{(x^{2})} · (2 · x · ln(x) + x) = x^{(x^{2})} · x · (2 · ln(x) + 1).

MuPAD:

>> diff(x^(x^2), x)
                              2        2
                             x     2  x  - 1
                  2 x ln(x) x   + x  x
>> factor(%);
                          2
                         x
                      x x   (2 ln(x) + 1)

Aufgabe 23: (Die Ableitung von Umkehrfunktionen) Betrachte f(x) = sin(x) über dem Definitionsbereich D = [−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ]. Es gibt eine Umkehrfunktion sin^{−1} : [−1, 1] ↦ [−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ] (warum?). Diese Umkehrfunktion wird üblicherweise mit ’arcsin’ bezeichnet. Berechne arcsin′(\frac{1}{4}). (Beachte Satz 2.17 der Vorlesung.)

Musterlösung: Auf D = [−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ] ist sin streng monoton steigend mit dem Bildbereich

−1 = sin(−\frac{π}{2} ) ≤ sin(x) ≤ sin(\frac{π}{2} ) = 1

für x ∈ D, siehe:

>> plotfunc2d(sin(x), x = -PI/2 .. PI/2)

Damit ist sin auf D invertierbar. Für die Ableitung der Umkehrfunktion gilt nach 2.17:

arcsin′(x) = \frac{1}{sin′(arcsin(x))} = \frac{1}{cos(arcsin(x))}.

Wegen sin(y)^{2} + cos(y)^{2} = 1 gilt cos(y) = ±\sqrt{1 − sin(y)^{2}}. Für y = arcsin(x) ∈ D gilt cos(y) ≥ 0, also cos(y) = +\sqrt{1 − sin(y)^{2}}. Damit ergibt sich

arcsin′(x) = \frac{1}{cos(arcsin(x))} = \frac{1}{\sqrt{1 − sin(arcsin(x))^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} .

Speziell folgt:

arcsin′ (\frac{1}{4}) = \frac{1}{\sqrt{1 − (\frac{1}{4})^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{15}{16}}} = \frac{4}{\sqrt{15}}.

MuPAD:

>> arcsin'(x), arcsin'(1/4)
                                      1/2
                          1       4 15
                     -----------, -------
                           2 1/2    15
                     (1 - x )

Aufgabe 24: (Höhere Ableitungen und Taylor–Polynome)

a) Berechne die Werte der ersten 3 Ableitungen von f(x) = sin(x) − x am Nullpunkt.

b) Berechne das Taylor–Polynom T_{3}(x) der Funktion f(x) = sin(x) − x um den Entwicklungspunkt x_{0} = 0. Zeige damit, daß die Funktion

g(x) = \{ \begin{matrix}\frac{sin(x) − x}{x^{3}} & für x ≠ 0, \\ −\frac{1}{6} & für x = 0 \end{matrix}

am Nullpunkt stetig ist.

Musterlösung: a)

f(x) = sin(x) − x ; f(0) = 0,
f′(x) = cos(x) − 1 ; f′(0) = 1 − 1 = 0,
f′′(x) = − sin(x) ; f′′(0) = 0,
f′′′(x) = − cos(x) ; f′′′(0) = −1.

b) Mit

f(x) ≈ f(0) + f′(0) · x + \frac{f′′(0)}{2!} · x^{2} + \frac{f′′′(0)}{3!} · x^{3} + ⋯

folgt

sin(x) − x ≈ T_{3}(x) = \frac{−1}{3!} · x^{3} = −\frac{x^{3}}{6} .

Damit gilt für kleine x

g(x) = \frac{sin(x) − x}{x^{3}} ≈ \frac{−\frac{x^{3}}{6}}{x^{3}} = −\frac{1}{6} ,

wobei im Grenzwert x → 0 das ≈ zu = wird.

Aufgabe 25*: (l’Hospital) (2 Punkte)

Berechne mittels der l’Hospitalschen Regel lim_{x→0} \frac{1 − cos(x)}{x^{2}} unter Angabe von Zwischenschritten.

Musterlösung: Zweifache Anwendung von l’Hospital (solange eine \frac{0}{0}–Situation vorliegt):

lim_{x→0} \frac{1 − cos(x)}{x^{2}} = lim_{x→0} \frac{\frac{d}{dx}(1 − cos(x))}{\frac{d}{dx}x^{2}} = lim_{x→0} \frac{sin(x)}{2 · x} = lim_{x→0} \frac{\frac{d}{dx} sin(x)}{\frac{d}{dx}2 · x}

= lim_{x→0} \frac{cos(x)}{2} = \frac{cos(0)}{2} = \frac{1}{2} .

MuPAD:

>> limit((1 - cos(x))/x^2, x = 0)
                              1/2

Aufgabe 26*: (Extrema, MuPAD) (2 Punkte) Finde (z.B. mittels MuPAD) alle lokalen Extrema der Funktion f(x) = (x − 2 · x^{3}) · e^{−x^{2}}. Ermittle über die zweiten Ableitungen, ob es sich jeweils um ein Maximum oder ein Minimum handelt.

Musterlösung:

>> f:= x -> (x - 2*x^3)*exp(-x^2):
>> factor(f'(x))
                2            2                  2
         exp(- x ) (2 x + 2 x  - 1) (- 2 x + 2 x  - 1)
>> extrema:= solve(f'(x) = 0, x)
     {    1/2               1/2   1/2         1/2       }
     {   3                 3     3           3          }
     { - ---- - 1/2, 1/2 - ----, ---- - 1/2, ---- + 1/2 }
     {    2                 2     2           2         }
>> float(%)
   {-1.366025404, -0.3660254038, 0.3660254038, 1.366025404}
>> float(f''(extrema[i])) $ i = 1..4
     -2.928902093, 4.435855751, -4.435855751, 2.928902093

Damit ist x_{1} = −1.366... ein lokales Maximum, x_{2} = −0.366... ein lokales Minimum, x_{3} = 0.366... ein lokales Maximum, x_{4} = 1.366... ein lokales Minimum. Siehe auch

>> plotfunc2d(f(x), x = -3..3)

Die Extremwerte sind:

>> float(f(extrema[i])) $ i = 1..4
    0.577488063, -0.2343516549, 0.2343516549, -0.577488063

Abgabe: Dienstag, 5.6.01, zu Beginn der Vorlesung. Bearbeitungen bitte heften! Beiliegendes Formblatt vorheften, Name, Vorname, Matrikelnummer, Gruppe leserlich(!) angeben.

Dieses Formblatt bitte bei der Abgabe von Übungen vorn anheften und ausfüllen!

Mathe B für WiWi, Blatt 6, Abgabe: 5.6.01

Vorname: Name: Matrikelnummer: Gruppe (unbedingt ankreuzen!):

Di 16–18, D1.328 Koch  (Gruppe 2)
Do 9–11, P7203 Kaminski (Gruppe 7)
Do 14–16, H4.113 Koch  (Gruppe 4)
Do 16–18, H7.321 Ettler  (Gruppe 1)
Do 16–18, D1.338 Hufnagel (Gruppe 5)
Fr 11–13, N4.325 Hufnagel (Gruppe 3)
Fr 11–13, P1611 Morschel (Gruppe 6)
Fr 11–13, D1.338 Kaminski (Gruppe 8)
Fr 11–13, D1.328 Ettler  (Gruppe 9)

keine Gruppenzugehörigkeit

Aufgabe 22^{∗} 23 24 25^{∗} 26^{∗} ∑
max Punkte 6 – – 2 2

erreicht: