Mathe B für Wirtschaftswissenschaftler Sommersemester 01 Walter Oevel 8. 5. 2001

Ü b u n g s b l a t t 4

Wir bieten an, bearbeitete Aufgaben zu korrigieren, falls sie zum unten angegebenen Zeitpunkt abgeliefert werden. Mit ∗ und Punktangaben gekennzeichnete Aufgaben können dazu verwendet werden, Bonus–Punkte zu erwerben.

Aufgabe 13*: (Reihen, Majorantenkriterium) (3 Punkte) Studiere noch einmal Beispiel 1.39 der Vorlesung. Finde unter den (wenigen) uns aus der Vorlesung als konvergent bekannten Reihen eine Majorante ∑_{i} b_{i} für die Reihe

∑_{i=1}^{∞} a_{i} = ∑_{i=1}^{∞} \frac{1}{i^{2} · (2 · i + 1)}

und zeige damit, daß dieser Wert existiert. Was liefert MuPAD als Wert?

Musterlösung: Für großes i gilt

i^{2} · (2 · i + 1) = i^{2} · 2 · i · \underbrace{(1 + \frac{1}{2 · i})}_{≈1} ≈ 2 · i^{3}.

Damit bietet es sich an, als potentielle Majorante ∑_{i=1}^{∞} \frac{1}{2 · i^{3}} zu betrachten (aus der Vorlesung wissen

wir, daß ∑_{i} \frac{1}{i^{3}} konvergiert, damit auch ∑_{i} \frac{1}{2·i^{3}} = \frac{1}{2} · ∑_{i} \frac{1}{i^{3}} ). Damit verbleibt nur zu zeigen, daß (für hinreichend großes i) gilt:

\frac{1}{|i^{2} · (2 · i + 1)|} = \frac{1}{i^{2} · (2 · i + 1)} ≤ \frac{1}{2 · i^{3}} .

Dies ist aber sicherlich erfüllt für alle i ≥ 1, da

i^{2} · (2 · i + 1) = 2 · i^{3} + i^{2} > 2 · i^{3} ⟹ \frac{1}{i^{2} · (2 · i + 1)} < \frac{1}{2 · i^{3}} .

MuPAD liefert als Wert:

>> sum(1/i^2/(2*i + 1), i=1..infinity);
                                   2
                                 PI
                       4 ln(2) + --- - 4
                                  6
>> float(%);
                          0.417522789

Aufgabe 14: (Stetigkeit) Betrachte die Funktion

f(x) = \{ \begin{matrix}2 · x & für x < 1, \\ x^{2} + 2 & für x ≥ 1. \end{matrix}

Ist die Funktion an der Stelle x = 1 stetig? Berechne den links- und rechtsseitigen Grenzwert für x → 1. Ist die Funktion an der Stelle x = 1 links- oder rechtsseitig stetig?

Musterlösung: Die Funktion f_{1}(x) = 2 · x (definiert auf ganz ℝ) ist sicherlich stetig, damit gilt für den linksseitigen Grenzwert

lim_{x→1−0} f_{1}(x) = f_{1}(1) = 2.

Da f und f_{1} für x < 1 übereinstimmen, folgt auch

lim_{x→1−0} f(x) = 2.

Die Funktion f_{2}(x) = x^{2} +2 (definiert auf ganz ℝ) ist sicherlich stetig, damit gilt für den rechtsseitigen Grenzwert

lim_{x→1+0} f_{2}(x) = f_{2}(1) = 3.

Da f und f_{2} für x > 1 übereinstimmen, folgt auch

lim_{x→1+0} f(x) = 3.

Mit f(1) = 1^{2} + 2 = 3 ist f an der Stelle x = 1 damit rechtsseitig stetig, aber nicht linksseitig stetig (vergleiche Satz 1.58 der Vorlesung). Insgesamt ist f an der Stelle x = 1 unstetig.

Aufgabe 15*: (Stetigkeit) (2 + 1 + 2 Punkte) Betrachte die Funktionen

a) f(x) = \frac{x^{3} + 1}{x^{2} − 1}, b) f(x) = \frac{e^{x} + e^{−x}}{x^{4} + x^{2} + 1}, c) f(x) = \frac{x^{2} − 4 · x + 4}{x − 2}.

Bestimme alle Stellen, an denen diese Funktionen (möglicherweise) unstetig sein können! Ist die Funktion in a) an der Stelle x = −1 unstetig? Befrage MuPAD (limit)! Ist die Funktion in c) irgendwo unstetig? (Genauer: lassen sich die Definitionslücken an potentiellen Problemstellen durch Definition geeigneter Werte so ”stopfen“, daß die Funktion dort stetig wird?)

Musterlösung: Nach der Merkregel 1.50 der Vorlesung sind die möglichen Unstetigkeitsstellen diejenigen Werte von x, für die irgendwo ”durch 0 geteilt wird“.

a) x^{2} − 1 = 0 ⇒ x = ±1. An der Stelle x = 1 behauptet MuPAD, daß dort kein Problem vorliegt: der Grenzwert von f(x) für x → 1 existiert:

>> limit((x^3 + 1)/(x^2 - 1), x = 1)
                             -3/2

In Aufgabe 16 wird gezeigt, daß sich die Definitionslücke bei x = −1 in der Tat stetig beheben läßt.

b) Keinerlei Probleme hier, da der Nenner nicht 0 werden kann: x^{4} + x^{2} + 1 ≥ 1. (Beachte: die Werte x^{2} und x^{4} können niemals negativ werden).

c) Ein potentielles Problem ist x = 2. Bei genauerem Hinschauen stellt sich aber heraus:

f(x) = \frac{x^{2} − 4 · x + 4}{x − 2} = \frac{(x − 2)^{2}}{x − 2} = x − 2.

Setzt man f(2) = 0, so gilt f(x) = x − 2 für alle x ∈ ℝ. Damit wird f ganz offensichtlich stetig.

Aufgabe 16: (MuPAD) Lies die Hilfeseite der Funktion discont (engl.: ”discontinuity“ = Unstetigkeit). Untersuche damit die Funktionen aus Aufgabe 15.a) und 15.c). Benutze plotfunc2d, um diese Funktionen zu zeichnen und graphisch auf Unstetigkeiten zu überprüfen! Lies die Hilfeseite zu normal. Lasse normal auf die Funktionen aus Aufgabe 15.a) und 15.c) los!

Musterlösung: Die Funktion discont liefert alle potentiellen Unstetigkeitsstellen (was nicht heißt, daß diese Stellen wirklich Unstetigkeitsstellen sind).

a)

>> f:= (x^3 + 1)/(x^2 - 1):
>> discont(f, x)
                            {-1, 1}

Mit

>> plotfunc2d(f, x = -2..2)

wird klar, daß die Stelle x = 1 in der Tat eine Unstetigkeitsstelle (Pol) ist. Die einseitigen Grenzwerte sind

>> limit(f, x = 1, Left), limit(f, x=1, Right)
                      -infinity, infinity

An der Stelle x = −1 liegt graphisch keine Unstetigkeit vor, die Funktion limit bestätigt dies: die einseitigen Grenzwerte existieren und stimmen überein:

>> limit(f, x = -1, Left) = limit(f, x=-1, Right)
                          -3/2 = -3/2

Erklärung, warum bei x = −1 keine wirkliche Unstetigkeit vorliegt:

>> Zaehler = factor(x^3 + 1), Nenner = factor(x^2 - 1)
                    2
  Zaehler = (- x + x  + 1) (x + 1), Nenner = (x - 1) (x + 1)

Damit läßt sich f zu

f(x) = \frac{(x^{2} − x + 1) · (x + 1)}{(x − 1) · (x + 1)} = \frac{x^{2} − x + 1}{x − 1}

umschreiben. Hiermit ist klar, daß wirklich nur x = 1 eine Problemstelle ist. Das Kürzen gemeinsamer Faktoren wird automatisch durch normal erledigt:

>> f = normal(f)
                       3        2
                      x  + 1   x  - x + 1
                      ------ = ----------
                       2         x - 1
                      x  - 1

c) Die Graphik

>> f:= (x^2 - 4*x + 4)/(x - 2):
>> plotfunc2d(f, x = 0..4)

zeigt an der potentielle Unstetigkeitsstelle x = 2

>> discont(f, x)
                              {2}

nichts Verdächtiges. Die Erklärung wurde in Aufgabe 15 schon geliefert:

>> f = normal(f)
                      2
                     x  - 4 x + 4
                     ------------ = x - 2
                        x - 2

Abgabe: Dienstag, 22.5.01, zu Beginn der Vorlesung.

Bearbeitungen bitte heften! Beiliegendes Formblatt vorheften, Name, Vorname, Matrikelnummer, Gruppe leserlich(!) angeben.

Dieses Formblatt bitte bei der Abgabe von Übungen vorn anheften und ausfüllen!

Mathe B für WiWi, Blatt 4, Abgabe: 22.5.01

Vorname: Name: Matrikelnummer: Gruppe (unbedingt ankreuzen!):

Di 16–18, D1.328 Koch  (Gruppe 2)
Do 9–11, P7203 Kaminski (Gruppe 7)
Do 14–16, H4.113 Koch  (Gruppe 4)
Do 16–18, H7.321 Ettler  (Gruppe 1)
Do 16–18, D1.338 Hufnagel (Gruppe 5)
Fr 11–13, N4.325 Hufnagel (Gruppe 3)
Fr 11–13, P1611 Morschel (Gruppe 6)
Fr 11–13, D1.338 Kaminski (Gruppe 8)
Fr 11–13, D1.328 Ettler  (Gruppe 9)

keine Gruppenzugehörigkeit

Aufgabe 13^{∗} 14 15^{∗} 16 ∑
max Punkte 3 – 5 –

erreicht: