Mathe B für Wirtschaftswissenschaftler Sommersemester 01 Walter Oevel 1. 5. 2001

Ü b u n g s b l a t t 3

Wir bieten an, bearbeitete Aufgaben zu korrigieren, falls sie zum unten angegebenen Zeitpunkt abgeliefert werden. Mit ∗ und Punktangaben gekennzeichnete Aufgaben können dazu verwendet werden, Bonus–Punkte zu erwerben.

Aufgabe 9*: (Reihenwerte) (4 Punkte) Studiere noch einmal Beispiel 1.38 der Vorlesung. Finde eine Zerlegung der Form \frac{1}{i·(i+2)} = \frac{a}{i} + \frac{b}{i+2} (finde geeignete Koeffizienten a und b). Berechne analog zu Beispiel 1.38 eine explizite Formel für die Summe

∑_{i=2}^{n} \frac{1}{i · (i + 2)},

und bestimme den Reihenwert ∑_{i=2}^{∞} \frac{1}{i · (i + 2)} unter Angabe von Zwischenschritten.

Musterlösung: Die entscheidende Beobachtung ist:

a_{i} = \frac{1}{i · (i + 2)} = \frac{\frac{1}{2}}{i} − \frac{\frac{1}{2}}{i + 2}

(man bringe \frac{\frac{1}{2}}{i} − \frac{\frac{1}{2}}{i+2} auf den Hauptnenner). Hiermit ergibt sich

∑_{i=2}^{n} a_{i} = ∑_{i=2}^{n} ( \frac{\frac{1}{2}}{i} − \frac{\frac{1}{2}}{i + 2}) = \frac{1}{2}( ∑_{i=2}^{n} \frac{1}{i} − ∑_{i=2}^{n} \frac{1}{i + 2})

= \frac{1}{2} ( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + ⋯ + \frac{1}{n}
− \frac{1}{4} − \frac{1}{5} − ⋯ − \frac{1}{n} − \frac{1}{n+1} − \frac{1}{n+2} )
= \frac{1}{2} ( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} − \frac{1}{n+1} − \frac{1}{n+2} )
= \frac{5}{12} − \frac{1}{2·(n+1)} − \frac{1}{2·(n+2)}.

Es folgt:

∑_{i=2}^{∞} \frac{1}{i · (i + 1)} = lim_{n→∞} ∑_{i=2}^{n} \frac{1}{i · (i + 2)} = lim_{n→∞} (\frac{5}{12} − \frac{1}{2 · (n + 1)} − \frac{1}{2 · (n + 2)})

= \frac{5}{12} − \frac{1}{2} · lim_{n→∞} \frac{1}{n + 1} − \frac{1}{2} · lim_{n→∞} \frac{1}{n + 2} = \frac{5}{12}.

Probe mit MuPAD:

>> sum(1/i/(i+2), i=2..n)
                                 2
                        3 n + 5 n  - 8
                       -----------------
                                  2
                       36 n + 12 n  + 24

Durch eine sogenannte ”Partialbruchzerlegung“ (engl: ”partial fraction“) mittels der Funktion partfrac kann dieser Term in die Form gebracht werden, wie er oben schriftlich berechnet wurde:

>> partfrac(%, n)
                            1           1
                 5/12 - --------- - ---------
                        2 (n + 2)   2 (n + 1)

>> sum(1/i/(i+2), i=2..infinity)
                             5/12

Aufgabe 10: (Die Exponentialreihe) Berechne ohne technische Hilfsmittel den Wert exp(0.1) über die Reihendarstellung exp(x) = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + ⋯ auf 3 Stellen nach dem Dezimalpunkt genau.

Musterlösung:

exp(0.1) =  1 + 0.1 + \frac{0.1^{2}}{2} + \frac{0.1^{3}}{6} + \frac{0.1^{4}}{24} + ⋯
=  1
+ 0.1
+ 0.005
+ 0.000166666...
+ 0.000004166...
+ …
=  1.1051708...

Offensichtlich trägt nach dem Summanden 0.00016666 kein weiterer Term mehr zur 4-ten Nachkommastelle bei. Kontrolle mit MuPAD:

>> exp(0.1)
                          1.105170918

Aufgabe 11*: (Die Exponentialreihe) (3 Punkte) Studiere noch einmal Beispiel 1.37 der Vorlesung. Gegeben sei ein jährlicher Zinssatz p. Wie groß muß p ungefähr sein, damit der Unterschied zwischen dem jährlichen und dem kontinuierlichen Verzinsungsmodell einen Prozentpunkt ausmacht? Anleitung: das jährliche Verzinsungsmodell liefert einen Wachstumsfaktor 1+p pro Jahr, das kontinuierliche einen Faktor e^{p}. Die Frage ist: für welches p entspricht e^{p} dem Wachstumsfaktor 1 + p + 0.01 (d.h., p ist effektiv um einen Prozentpunkt (= 0.01) erhöht)? Benutze die ersten drei Terme der Exponentialreihe von e^{p}, um eine approximative Lösung der Gleichung e^{p} = 1 + p + 0.01 zu finden.

Musterlösung: Bei jährlicher Verzinsung wächst ein Kapital nach einem Jahr um den Faktor 1+p, bei kontinuierlicher Verzinsung um den Faktor e^{p}. Die Frage ist, wie groß p sein muß, damit e^{p} einem Faktor 1 + p + 0.01 jährlicher Verzinsung entspricht, also

e^{p} = 1 + p + 0.01 .

Mit e^{p} = 1 + p + \frac{p^{2}}{2} + ⋯ ≈ 1 + p + \frac{p^{2}}{2} entspricht dies

\frac{p^{2}}{2} = 0.01 ⟺ p^{2} = 0.02 ⟺ p = \sqrt{0.02} = 0.1414...

Also: ab einem Prozentsatz von etwa 14% entspricht der Zinseszinszugewinn durch kontinuierliche Verzinsung etwa 1%.

Aufgabe 12: (MuPAD) Lies die MuPAD–Hilfeseite zu numeric::solve (alternativ: numeric::fsolve). Speziell: studiere die Beispiele der Hilfeseite.

a) Finde numerische Approximationen der Lösungen der Gleichungen

x^{4} = 4 · x^{3} − 8 · x + 2, x = e^{−x}.

b) Bestimme den in Aufgabe 11 gefragten Prozentsatz auf 10 Dezimalstellen genau. Es gibt 2 Lösungen der Gleichung e^{p} = 1 + p + 0.01, die den Prozentsatz bestimmt! Finde über die Hilfeseite zu numeric::solve bzw. numeric::fsolve eine geeignete Aufrufform, mit der man diese Funktion so steuern kann, daß die sinnvolle Lösung gefunden wird!

Musterlösung:

>> numeric::solve(x^4 - 4*x^3 + 8*x - 2, x)
    {-1.334414218, 0.2580362157, 1.741963784, 3.334414218}
>> numeric::solve(x = exp(-x), x)
                        {0.5671432904}

In Aufgabe 11 war der gesuchte Prozentsatz p durch die Gleichung e^{p} = 1 + p + 0.01 bestimmt:

>> numeric::solve(exp(p) = 1 + p + 0.01, p)
                         {-0.144834751}

Ein negativer Prozentsatz macht keinen Sinn: numeric::solve findet die ”falsche“ Lösung. In der Tat hat die Gleichung e^{p} = 1 + p + 0.01 zwei Lösungen, betrachte dazu:

>> plotfunc2d(exp(p) , 1 + p + 0.01, p = -0.2..0.2)

Zum Finden der positiven Lösung wird ein Suchintervall für p angegegeben (wir wissen aus Aufgabe 11 bereits, daß die für die gesuchte Lösung p ≈ 0.14 gilt):

>> numeric::solve(exp(p) = 1 + p + 0.01, p = 0..1)
                        {0.1381651224}

Der gesuchte Prozentsatz beträgt also p = 13.816...%.

Abgabe: Dienstag, 15.5.01, zu Beginn der Vorlesung. Bearbeitungen bitte heften! Beiliegendes Formblatt vorheften, Name, Vorname, Matrikelnummer, Gruppe leserlich(!) angeben.

Dieses Formblatt bitte bei der Abgabe von Übungen vorn anheften und ausfüllen!

Mathe B für WiWi, Blatt 3, Abgabe: 15.5.01

Vorname: Name: Matrikelnummer: Gruppe (unbedingt ankreuzen!):

Di 16–18, D1.328 Koch  (Gruppe 2)
Do 9–11, P7203 Kaminski (Gruppe 7)
Do 14–16, H4.113 Koch  (Gruppe 4)
Do 16–18, H7.321 Ettler  (Gruppe 1)
Do 16–18, D1.338 Hufnagel (Gruppe 5)
Fr 11–13, N4.325 Hufnagel (Gruppe 3)
Fr 11–13, P1611 Morschel (Gruppe 6)
Fr 11–13, D1.338 Kaminski (Gruppe 8)
Fr 11–13, D1.328 Ettler  (Gruppe 9)

keine Gruppenzugehörigkeit

Aufgabe 9^{∗} 10 11^{∗} 12 ∑
max Punkte 4 – 3 –

erreicht: