Mathe B für Wirtschaftswissenschaftler Sommersemester 01 Walter Oevel 24. 4. 2001

Ü b u n g s b l a t t 2

Wir bieten an, bearbeitete Aufgaben zu korrigieren, falls sie zum unten angegebenen Zeitpunkt abgeliefert werden. Mit ∗ und Punktangaben gekennzeichnete Aufgaben können dazu verwendet werden, Bonus–Punkte zu erwerben.

Aufgabe 4*: (Summen, Reihen, Grenzwerte) (1+1+1 Punkte) Bestimme die angegebenen Summen bzw. Reihen unter Angabe von Zwischenschritten:

a) ∑_{i=3}^{n−1} i, b) ∑_{i=2}^{12}(7 · 5^{i}), c) ∑_{i=1}^{∞} \frac{3^{i}}{4^{i}} .

Musterlösung:

a) Bekannt ist ∑_{i=1}^{n} i = n · (n + 1)/2. Hiermit folgt

∑_{i=3}^{n−1} i = ( ∑_{i=1}^{n−1} i) − 1 − 2 = \frac{(n − 1) · (n − 1 + 1)}{2} − 3

= \frac{n · (n − 1)}{2} − 3 = \frac{n^{2} − 2 n − 6}{2} = \frac{(n + 2) · (n − 3)}{2}.

b) Bekannt ist ∑_{i=0}^{n} p^{i} = \frac{p^{n+1} − 1}{p − 1}. Hiermit folgt

∑_{i=2}^{12}(7 · 5^{i}) = 7 · ( ∑_{i=2}^{12} 5^{i}) = 7 · (( ∑_{i=0}^{12} 5^{i}) − 5^{0} − 5^{1})

= 7 · (\frac{5^{13} − 1}{5 − 1} − 1 − 5) = 7 · (\frac{5^{13} − 1}{4} − 6) = 2 136 230 425.

c) Bekannt ist ∑_{i=0}^{∞} p^{i} = \frac{1}{1 − p}, falls |p| < 1. Hiermit folgt

∑_{i=1}^{∞} \frac{3^{i}}{4^{i}} = ( ∑_{i=0}^{∞} (\frac{3}{4})^{i}) − \frac{3^{0}}{4^{0}} = \frac{1}{1 − \frac{3}{4}} − 1 = \frac{1}{\frac{1}{4}} − 1 = 4 − 1 = 3.

Aufgabe 5: (MuPAD) Lese die MuPAD–Hilfeseite zu sum (interaktiv durch ?sum aufzurufen).

a) Bestimme explizite Formeln für ∑_{i=1}^{n} i^{2} und ∑_{i=1}^{n} i^{3}.

b) Bestimme den Grenzwert der Folge s_{n} = \frac{1}{n^{3}} ∑_{i=4}^{2 n} i^{2} für n → ∞.

Musterlösung: a)

>> sum(i^2, i=1..n) = factor(sum(i^2, i=1..n))
                  2    3
             n   n    n
             - + -- + -- = 1/6 n (n + 1) (2 n + 1)
             6   2    3
>> sum(i^3, i=1..n) = factor(sum(i^3, i=1..n))
                 2    3    4
                n    n    n         2        2
                -- + -- + -- = 1/4 n  (n + 1)
                4    2    4

b)

>> limit(1/n^3*sum(i^2, i=4..2*n), n=infinity);
                              8/3

Aufgabe 6*: (arithmetische Summen) (3 Punkte) Walter möchte eine Anschaffung vornehmen, für die er 1 200 DM benötigt. Ein Bankkredit würde ihn 7% Jahreszinsen kosten (er würde den Kredit nach Ablauf eines Jahres zurückzahlen). Alternativ besitzt er ein (leeres) Konto, auf dem ihn ein Überziehungskredit 11% Jahreszins kosten. Durch sparsamen Lebenswandel wäre er in der Lage, jeden Monat 100 DM auf das Konto einzuzahlen. Beim Überziehungskredit berechnet die Bank monatlich die fälligen Zinsen, fordert diese aber erst am Ende des Jahres ein. Welche Variante ist günstiger?

Musterlösung: Seien S_{0} = 1 200 die Schulden. Der Bankkredit würde 0.07 · S_{0} DM = 84 DM Zinsen kosten. Beim Überziehungskredit mit dem jährlichen Zinssatz von p = 0.11 und den ”Ratenzahlungen“ R = 100 würde ihm die Bank nach einem Jahre für

den ersten Monat S_{0} · \frac{p}{12} Zinsen,

den zweiten Monat (S_{0} − R) · \frac{p}{12} Zinsen,

den dritten Monat (S_{0} − 2 · R) · \frac{p}{12} Zinsen,

...

den zwölften Monat (S_{0} − 11 · R) · \frac{p}{12} Zinsen

fordern. (Zu Beginn des 13-ten Monats wäre die Schuld getilgt.) Die Zinsforderungen addieren sich auf zu (beachte ∑_{i=1}^{n} i = n · (n + 1)/2):

∑_{i=1}^{12}(S_{0} − (i − 1) · R) · \frac{p}{12} = (12 · S_{0} − R · ∑_{i=1}^{12}(i − 1)) · \frac{p}{12} = (12 · S_{0} − R · ∑_{i=1}^{11} i) · \frac{p}{12}

= (12 · S_{0} − R · \frac{11 · 12}{2}) · \frac{p}{12} = S_{0} · p − R · \frac{11 · 12 · p}{2 · 12} = S_{0} · p − R · \frac{11 · p}{2}

= 1 200 · 0.11 − \frac{100 · 11 · 0.11}{2} = 71.5.

Die Überziehungskredit-Variante ist damit günstiger.

Aufgabe 7: (Kaptialaufbau durch Renteneinzahlung) Bei der Geburt eines Kindes richtet eine Familie ein Konto ein, das jährlich 5.5% Zinsen bringt. Zu jedem Geburtstag wird ein fester Betrag R eingezahlt. Wo groß muss die jährliche Einzahlung R sein, damit das Kind an seinem 18-ten Geburtstag 100 000 DM zur Verfügung hat? Anleitung: Nach der Einzahlung der n-ten Rate beträgt das Kapital mit Zinseszinsen R · q^{n} + R · q^{n−1} + ⋯ + R mit q = 1 + p.

Musterlösung: Jede Einzahlung vergrößert sich pro Jahr um den Faktor q = 1 + p. Nach n Jahren mit dem Zinssatz p ist

• die bei Geburt eingezahlte Rate auf R q^{n} gewachsen,

• die beim ersten Geburtstag eingezahlte Rate auf R q^{n−1} gewachsen,

• die beim zweiten Geburtstag eingezahlte Rate auf R q^{n−2} gewachsen,

• ⋯

• die beim (n − 1)-ten Geburtstag eingezahlte Rate auf R q gewachsen.

• Die beim n-ten Geburtstag eingezahlte Rate ist R.

Das ergibt (zusammen mit der beim n-ten Geburtstag eingezahlten Rate) ein Kapital von

R · q^{n} + R · q^{n−1} + ⋯ + R q + R = R · (q^{n} + q^{n−1} + ⋯ + q + 1) = R · ∑_{i=0}^{n} q^{i} = R · \frac{q^{n+1} − 1}{q − 1}.

Damit dies 100 000 DM ergibt, muß als jährliche Rate eingezahlt werden:

R · \frac{q^{n+1} − 1}{q − 1} = 100 000 ⇒ R = \frac{100 000 · (q − 1)}{q^{n+1} − 1} = \frac{100 000 · 0.055}{1.055^{19} − 1} = 3 115.005... .

Aufgabe 8*: (Kaptialabbau durch Rentenauszahlung) (1 + 1 + 1 Punkte) Betrachte Beispiel 1.33 der Vorlesung. Ein Kapital K_{0} wird mit dem jährlichen Zinssatz von 5% verzinst. Welchen Bruchteil des Startkapitals K_{0} kann ich mir als Rente jährlich auszahlen lassen, wenn ich vorhabe, mein Kapital in a) 5 Jahren, b) 10 Jahren, c) 20 Jahren aufzubrauchen?

Musterlösung: Die ”Sparkassenformel“ aus Beispiel 1.33 der Vorlesung für den Kapitalabbau durch Auszahlung einer festen Rente R bei einem Zinssatz p besagt, daß das Kapital K_{n} zu Beginn des n-ten Jahres

K_{n} = K_{0} · q^{n} − R · \frac{q^{n} − 1}{q − 1} =^{(q=1+p)} K_{0} · (1 + p)^{n} − R · \frac{(1 + p)^{n} − 1}{p}

beträgt. Nach n Jahren soll das Kapital verbraucht sein, also

K_{n} = 0 = K_{0} · (1 + p)^{n} − R · \frac{(1 + p)^{n} − 1}{p} ⇒ R = K_{0} · \frac{p · (1 + p)^{n}}{(1 + p)^{n} − 1}.

Mit p = 0.05 ergibt sich für n = 5 bzw. n = 10 bzw. n = 20 Jahre:

n = 5 ⇒ R = K_{0} · \frac{0.05 · 1.05^{5}}{1.05^{5} − 1} = K_{0} · 0.2309...,

n = 10 ⇒ R = K_{0} · \frac{0.05 · 1.05^{10}}{1.05^{10} − 1} = K_{0} · 0.1295...,

n = 20 ⇒ R = K_{0} · \frac{0.05 · 1.05^{20}}{1.05^{20} − 1} = K_{0} · 0.0802....

Man kann also jeweils etwa 23% bzw. 13% bzw. 8% des Startkapitals jährlich als Rente entziehen.

Abgabe: Dienstag, 8.5.01, in der Vorlesung. Bearbeitungen bitte heften! Beiliegendes Formblatt vorheften, Name, Vorname, Matrikelnummer, Gruppe leserlich(!) angeben.

Dieses Formblatt bitte bei der Abgabe von Übungen vorn anheften und ausfüllen!

Mathe B für WiWi, Blatt 2, Abgabe: 8.5.01

Vorname: Name: Matrikelnummer: Gruppe (unbedingt ankreuzen!):

Di 16–18, D1.328 Koch  (Gruppe 2)
Do 9–11, P7203 Kaminski (Gruppe 7)
Do 14–16, H4.113 Koch  (Gruppe 4)
Do 16–18, H7.321 Ettler  (Gruppe 1)
Do 16–18, D1.338 Hufnagel (Gruppe 5)
Fr 11–13, N4.325 Hufnagel (Gruppe 3)
Fr 11–13, P1611 Morschel (Gruppe 6)
Fr 11–13, D1.338 Kaminski (Gruppe 8)
Fr 11–13, D1.328 Ettler  (Gruppe 9)

keine Gruppenzugehörigkeit