Mathe B für Wirtschaftswissenschaftler Sommersemester 01 Walter Oevel 29. 6. 2001

Ü b u n g s b l a t t 12

Wir bieten an, bearbeitete Aufgaben zu korrigieren, falls sie zum unten angegebenen Zeitpunkt abgeliefert werden. Mit ∗ und Punktangaben gekennzeichnete Aufgaben können dazu verwendet werden, Bonus–Punkte zu erwerben.

Bei der folgenden Aufgabe handelt es sich um ein individualisertes ”Miniprojekt“, in das die Matrikelnummer eingeht (jeder hat seine eigene Aufgabe). Es ist nur das gefragte Endergebnis auf dem beigefügten Formblatt abzugeben. Dementsprechend gibt es keinerlei Teilpunkte: das Ergebnis ist entweder ’richtig’ oder ’falsch’.

Achtung! Aufgrund des nahenden Vorlesungsendes hat dieses Blatt eine Laufzeit von nur einer Woche!

Aufgabe 47*: (Extrema mit Nebenbedingungen in der Ökonomie) (8 Punkte) Auf einer soeben gekauften Produktionsmaschine kann ein Betrieb zwei unterschiedliche Produkte herstellen. Die Anschaffungskosten betrugen 10 000 000 DM. Seien x_{1}, x_{2} die Anzahl der herzustellenden Einheiten von Produkt 1 bzw. Produkt 2. Es wird erwartet, daß die Maschine insgesamt

x_{1} + x_{2} = 1 000 000 (#)

Einheiten produzieren kann, bis sie erneuert werden muss. Die Produktionskosten pro Einheit betragen 10 DM beim ersten und 15 DM beim zweiten Produkt. Die Lagerhaltungskosten seien durch

300 000 + \frac{100}{M} · (x_{1}^{2} + x_{1} · x_{2} + x_{2}^{2})

modelliert, wobei M die Matrikelnummer sei. Demgemäß sollen die Gesamtkosten als Funktion des ’Outputs’ x_{1}, x_{2} durch

K(x_{1}, x_{2}) = 10 300 000 + 10 · x_{1} + 15 · x_{2} + \frac{100}{M} · (x_{1}^{2} + x_{1} · x_{2} + x_{2}^{2})

modelliert werden.

Die Marktpreise der Produkte sind p_{1} = 50 DM bzw. p_{2} = 60 DM pro Einheit. Die Maschine soll den Gewinn optimierend genutzt werden, d.h., der Gewinn

G(x_{1}, x_{2}) = p_{1} · x_{1} + p_{2} · x_{2} − K(x_{1}, x_{2})

soll maximiert werden, wobei die Nebenbedingung (#) zu beachten ist.

Liefere den maximierten Gewinn bis auf ±1 DM genau als Lösung auf dem beigefügten Formblatt ab!

Musterlösung: Es ist der Gewinn

G(x_{1}, x_{2}) = 50 · x_{1} + 60 · x_{2} − 10 300 000 − 10 · x_{1} − 15 · x_{2} − \frac{100}{M} · (x_{1}^{2} + x_{1} · x_{2} + x_{2}^{2})

= 40 · x_{1} + 45 · x_{2} − 10 300 000 − \frac{100}{M} · (x_{1}^{2} + x_{1} · x_{2} + x_{2}^{2})

unter der Nebenbedingung

g(x_{1}, x_{2}) = x_{1} + x_{2} − 1 000 000 = 0

zu maximieren.

Erster Weg: Die Nebenbedingung hat eine derart einfache Form, daß man sie nach x_{2} auflösen kann:

x_{2} = x_{2}(x_{1}) = 1 000 000 − x_{1}.

In den Gewinn eingesetzt wird dieser zu einer Funktion einer einzigen Variablen x_{1}, die wie üblich zu maximieren ist:

G(x_{1}, x_{2}(x_{1})) = 40 · x_{1} + 45 · x_{2}(x_{1}) − 10 300 000 − \frac{100}{M} · (x_{1}^{2} + x_{1} · x_{2}(x_{1}) + x_{2}^{2}(x_{1})) =

40 · x_{1} + 45 · x_{2} · (1 000 000 − x_{1}) − 10 300 000 − \frac{100}{M} · (x_{1}^{2} + x_{1} · (1 000 000 − x_{1}) + (1 000 000 − x_{1})^{2}).

Z.B. für die Matrikelnummer M = 7654321:

>> M:= 6543210:
>> K:= (x1, x2) -> 10300000 + 10*x1 + 15*x2 + 100/M*(x1^2 + x1*x2 + x2^2):
>> G:= (x1, x2) -> 50*x1 + 60*x2 - K(x1, x2):
>> G(x1, x2)
                                     2        2
                     10 x1 x2   10 x1    10 x2
     40 x1 + 45 x2 - -------- - ------ - ------ - 10300000
                      654321    654321   654321
>> solve(diff(G(x1, 1000000 - x1), x1), x1)
                          {1345679/4}
>> float(%)
                          {336419.75}
>> x1:= 336419.75:
>> x2:= 1000000 - x1:
>> maxGewinn:= float(G(x1, x2))
                          21146686.69

Zweiter Weg: Man löst die Nebenbedingung nicht auf, sondern benutzt Lagrangesche Multiplikatoren. Man hat die Gleichungen

\frac{∂G}{∂x_{1}} = λ · \frac{∂g}{∂x_{1}} , \frac{∂G}{∂x_{2}} = λ · \frac{∂g}{∂x_{2}} ,

zusammen mit der Nebenbedingung g(x_{1}, x_{2}) = 0 nach x_{1}, x_{2}, λ aufzulösen:

>> delete x1, x2:
>> M:= 6543210:
>> Kosten:= (x1, x2) -> 10300000 + 10*x1 + 15*x2 + 100/M*(x1^2 + x1*x2 + x2^2):
>> Gewinn:= (x1, x2) -> 50*x1 + 60*x2 - K(x1, x2):
>> Nebenbedingung:= (x1, x2) -> x1 + x2 - 1000000:

Die zu maximierende Funktion Gewinn ist definiert, ebenso die Nebenbedingung. Die Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren besagt, daß die 3 folgenden Gleichungen für x_{1}, x_{2}, λ zu lösen sind:

>> Gleichung1:= diff(Gewinn(x1, x2), x1) = lambda* diff(Nebenbedingung(x1, x2), x1)
                      10 x2    20 x1
                 40 - ------ - ------ = lambda
                      654321   654321
>> Gleichung2:= diff(Gewinn(x1, x2), x2) = lambda* diff(Nebenbedingung(x1, x2), x2)
                     20 x2    10 x1
                 45 - ------ - ------ = lambda
                      654321   654321
>> Gleichung3:= Nebenbedingung(x1, x2) = 0
                     x1 + x2 - 1000000 = 0

Dieses Gleichungssystem ist hier recht einfach: es sind 3 lineare Gleichungen.

>> numeric::solve([Gleichung1, Gleichung2, Gleichung3], [x1, x2, lambda])
   {[x1 = 336419.75, x2 = 663580.25, lambda = 19.57547213]}
>> maxGewinn:= Gewinn(336419.75, 663580.25)
                          21146686.69

Für die Korrekteure: folgende Prozedur berechnet für jede Matrikelnummer M den maximierten Gewinn:

maxGewinn:= proc(M)
local x1, x2, lambda,
      Lagerhaltung, Kosten, Gewinn,
      Nebenbedingung, Gleichung1,
      Gleichung2, Gleichung3, Loesung;
begin
    x1:= genident("x"):
    x2:= genident("x"):
    lambda:= genident("lambda"):
    Lagerhaltung:= (x1, x2) -> 300000 + 100/M*(x1^2 + x1*x2 + x2^2):
    Kosten:= (x1, x2) -> 10000000 + 10*x1 + 15*x2 + Lagerhaltung(x1, x2):
    Gewinn:= (x1, x2) -> 50*x1 + 60*x2 - Kosten(x1, x2):
    //plotfunc3d(Gewinn(x1*10^6, x2*10^6)/10^8, x1 = 0..1, x2 = 0..1);
    Nebenbedingung:= (x1, x2) -> x1 + x2 - 1000000;
    Gleichung1:= diff(Gewinn(x1, x2), x1) = lambda*diff(Nebenbedingung(x1, x2), x1);
    Gleichung2:= diff(Gewinn(x1, x2), x2) = lambda*diff(Nebenbedingung(x1, x2), x2);

Gleichung3:= Nebenbedingung(x1, x2) = 0;
Loesung:= numeric::solve([Gleichung1, Gleichung2, Gleichung3], [x1, x2, lambda]);
subs(Gewinn(x1, x2), op(Loesung));
end_proc:
>> maxGewinn(6543210)
                      21146686.69

Abgabe: Dienstag, 10.7.01, zu Beginn der Vorlesung.

Nur das beiliegende Formblatt abgeben, Name, Vorname, Matrikelnummer, Gruppe und Lösung leserlich(!) angeben.

Nur dieses Formblatt abgeben!

Mathe B für WiWi, Blatt 12, Abgabe: 10.7.01

Vorname: Name: Matrikelnummer (unbedingt angeben!): Gruppe (unbedingt ankreuzen!):

Di 14–16, P1510 Ettler  (Gruppe 1)
Di 16–18, D1.328 Koch  (Gruppe 2)
Do 9–11, P7203 Kaminski (Gruppe 7)
Do 14–16, H4.113 Koch  (Gruppe 4)
Do 16–18, D1.338 Hufnagel (Gruppe 5)
Fr 11–13, N4.325 Hufnagel (Gruppe 3)
Fr 11–13, P1611 Morschel (Gruppe 6)
Fr 11–13, D1.338 Kaminski (Gruppe 8)
Fr 11–13, D1.328 Ettler  (Gruppe 9)

keine Gruppenzugehörigkeit Lösung der Aufgabe 47: Der maximierte Gewinn ist

DM.

Aufgabe 47^{∗}
max Punkte 8

erreicht: