Mathe B für Wirtschaftswissenschaftler Sommersemester 01 Walter Oevel 19. 6. 2001

Ü b u n g s b l a t t 10

Wir bieten an, bearbeitete Aufgaben zu korrigieren, falls sie zum unten angegebenen Zeitpunkt abgeliefert werden. Mit ∗ und Punktangaben gekennzeichnete Aufgaben können dazu verwendet werden, Bonus–Punkte zu erwerben.

Aufgabe 38*: (partielle Ableitungen) (1 + 1 + 2 Punkte) Berechne die Ableitungsmatrix der folgenden Funktionen:

a) f(x, y) = x · y + sin(x) + cos(y), b) f⃗(x, y, z) = ( \begin{matrix}x^{2} − x · z \\ x · y + e^{y·z} \end{matrix} ) .

c) An welchen Punkten x, y, z ist die Ableitung von f⃗(x, y, z) = ( \begin{matrix}x^{2} + e^{y} \\ x − y \\ x · y · z \end{matrix} ) invertierbar?

Musterlösung: a)

f′(x, y) = (\frac{∂f}{∂x} , \frac{∂f}{∂y} ) = (y + cos(x), x − sin(y)).

b)

f⃗′(x, y, z) = ( \begin{matrix}\frac{∂f_{1}}{∂x} & \frac{∂f_{1}}{∂y} & \frac{∂f_{1}}{∂z} \\ \frac{∂f_{2}}{∂x} & \frac{∂f_{2}}{∂y} & \frac{∂f_{2}}{∂z} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2 · x − z & 0 & −x \\ y & x + z · e^{y·z} & y · e^{y·z} \end{matrix} ) .

c)

f⃗′(x, y, z) = ( \begin{matrix}\frac{∂f_{1}}{∂x} & \frac{∂f_{1}}{∂y} & \frac{∂f_{1}}{∂z} \\ \frac{∂f_{2}}{∂x} & \frac{∂f_{2}}{∂y} & \frac{∂f_{2}}{∂z} \\ \frac{∂f_{3}}{∂x} & \frac{∂f_{3}}{∂y} & \frac{∂f_{3}}{∂z} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2 · x & e^{y} & 0 \\ 1 & −1 & 0 \\ y · z & x · z & x · y \end{matrix} ) .

Die Determinante ist

det f⃗′(x, y, z) = x · y · (−2 · x − e^{y}).

Die Matrix f⃗′(x, y, z) ist überall dort invertierbar, wo die Determinante nicht verschwindet, d.h., überall, außer auf der y-z-Ebene (dort ist x = 0), der x-z-Ebene (dort ist y = 0) und auf der Punktmenge \{(−\frac{1}{2} · e^{y}, y, z); y ∈ ℝ, z ∈ ℝ\}.

Aufgabe 39*: (Kettenregel) (3 Punkte)

Betrachte die durch f(x, y, z) = x + y + z und g⃗ : (u, v) ∈ ℝ ↦ ( \begin{matrix}u \\ u · v \\ u^{2} + v^{2} \end{matrix} ) gegebenen

Funktionen f : ℝ^{3} ↦ ℝ und g : ℝ^{2} ↦ ℝ^{3}. Berechne die Ableitung von h(u, v) = f(g⃗(u, v)) einmal ”direkt“ durch partielle Ableitungen von h(u, v), dann unter Anwendung der Kettenregel 5.9. Vergleiche!

Musterlösung: Mit x⃗ = (x, y, z)^{T} = g⃗(u, v) = (u, u · v, u^{2} + v^{2})^{T}:

h(u, v) = x(u, v) + y(u, v) + z(u, v) = u + u · v + u^{2} + v^{2}.

Die Ableitung (der Gradient) ist:

h′(u, v) = (\frac{∂h}{∂u}, \frac{∂h}{∂v}) = (1 + v + 2 · u, u + 2 · v).

Per Kettenregel h′(u, v) = f′(g⃗(u, v)) · g′(u, v):

h′(u, v) = (\frac{∂f}{∂x} , \frac{∂f}{∂y} , \frac{∂f}{∂z} ) · ( \begin{matrix}\frac{∂x}{∂u} & \frac{∂x}{∂v} \\ \frac{∂y}{∂u} & \frac{∂y}{∂v} \\ \frac{∂z}{∂u} & \frac{∂z}{∂v} \end{matrix} ) = (1, 1, 1) · ( \begin{matrix}1 & 0 \\ v & u \\ 2 · u & 2 · v \end{matrix} ) = (1 + v + 2 · u, u + 2 · v).

Aufgabe 40: (MuPAD) Studiere einige Beispiele auf der Hilfeseite der MuPAD–Routine plotfunc3d. Zeichne die Funktion h(u, v) aus Aufgabe 39.

Musterlösung:

>> h := (u, v) -> u + u*v + u^2 + v^2:
>> plotfunc3d(h(u, v), u = -5..5, v = -5..5)

Aufgabe 41: (MuPAD) Bestimme (mittels numeric::solve bzw. numeric::fsolve) numerische Approximationen der Lösungen von

f⃗(x, y) = ( \begin{matrix}x · e^{y} + x^{3} \\ y^{2} · e^{x} − x^{2} + y^{4} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ) .

Es gibt eine Lösung mit y ∈ (0, 1) sowie eine Lösung mit y ∈ (−1, 0). Finde beide Lösungen (durch Übergabe geeigneter Suchintervalle an die MuPAD-Funktionen).

Musterlösung: Mehrere Gleichungen können als Listen [Gleichung1, Gleichung2, ...] oder als Mengen {Gleichung1, Gleichung2, ...} übergeben werden. Dasselbe gilt für die Unbestimmten, nach denen aufgelöst werden soll:

>> numeric::solve([x*exp(y) + x^3 = 1, y^2*exp(x) - x^2 + y^4 = 2],
                  [x, y])
            {[x = 0.3666304502, y = 0.9528634212]}

Durch Angabe eines Suchintervalls können spezielle Lösungen ermittelt werden. Hier wird die Suche auf y ∈ [−1, 0] eingeschränkt:

>> numeric::solve([x*exp(y) + x^3 = 1, y^2*exp(x) - x^2 + y^4 = 2],
                  [x, y = -1 .. 0])
            {[x = 0.8683998539, y = -0.9227491553]}

Aufgabe 42*: (Homogene Funktionen) (1 + 1 + 1 + 3 Punkte) Welche der folgenden Funktionen sind homogen, welchen Homogenitätsgrad haben sie (gegebenenfalls)?

a) f(x, y) = x^{2} · y^{3} − x · y^{4} + y^{5}, b) f(x, y, z) = \frac{(x^{2} − y^{2}) · z}{x^{2} + y^{2}} , c) f(x_{1}, x_{2}) = 1 + e^{\frac{x_{1}}{x_{2}}} .

d) Verifiziere für den Fall b) die Eulersche Homogenitätsrelation (siehe Beispiel 5.11 der Vorlesung).

Musterlösung: a)

f(λ · x, λ · y) = (λ · x)^{2} · (λ · y)^{3} − (λ · x) · (λ · y)^{4} + (λ · y)^{5}
= λ^{5} · (x^{2} · y^{3} − x · y^{4} + y^{5}) = λ^{5} · f(x, y).

b)

f(λ · x, λ · y, λ · z) = \frac{((λ · x)^{2} − (λ · y)^{2}) · (λ · z)}{(λ · x)^{2} + (λ · y)^{2}} = \frac{λ^{3}}{λ^{2}} · \frac{(x^{2} − y^{2}) · z}{x^{2} + y^{2}} = λ · f(x, y, z).

c)

f(λ · x_{1}, λ · x_{2}) = 1 + e^{\frac{λ·x_{1}}{λ·x_{2}}} = 1 + e^{\frac{x_{1}}{x_{2}}} = f(x_{1}, x_{2}).

Damit sind alle Funktionen homogen, a) vom Grad 5, b) vom Grad 1, c) vom Grad 0.

d) Die Eulersche Homogenitätsrelation für b):

x · \frac{∂f}{∂x} + y · \frac{∂f}{∂y} + z · \frac{∂f}{∂z}

= x · (\frac{2 · x · z}{x^{2} + y^{2}} − \frac{2 · x · (x^{2} − y^{2}) · z}{(x^{2} + y^{2})^{2}} ) + y · ( − \frac{2 · y · z}{x^{2} + y^{2}} − \frac{2 · y · (x^{2} − y^{2}) · z}{(x^{2} + y^{2})^{2}} ) + z · (\frac{x^{2} − y^{2}}{x^{2} + y^{2}} )

= \frac{2 · x^{2} · z}{x^{2} + y^{2}} − \frac{2 · x^{2} · (x^{2} − y^{2}) · z}{(x^{2} + y^{2})^{2}} − \frac{2 · y^{2} · z}{x^{2} + y^{2}} − \frac{2 · y^{2} · (x^{2} − y^{2}) · z}{(x^{2} + y^{2})^{2}} + \frac{(x^{2} − y^{2}) · z}{x^{2} + y^{2}}

↘  ↘ ↙  ↙  ↙

= \frac{2 · (x^{2} − y^{2}) · z}{x^{2} + y^{2}} − \frac{2 · (x^{2} + y^{2}) · (x^{2} − y^{2}) · z}{(x^{2} + y^{2})^{2}} + \frac{(x^{2} − y^{2}) · z}{x^{2} + y^{2}}

= \frac{2 · (x^{2} − y^{2}) · z}{x^{2} + y^{2}} − \frac{2 · (x^{2} − y^{2}) · z}{x^{2} + y^{2}} + \frac{(x^{2} − y^{2}) · z}{x^{2} + y^{2}}

= \frac{(x^{2} − y^{2}) · z}{x^{2} + y^{2}} = f(x, y, z).

Dies wurde durch die Eulersche Homogenitätsrelation x · \frac{∂f}{∂x} + y · \frac{∂f}{∂y} + z · \frac{∂f}{∂z} = r · f(x, y, z) mit dem Homogenitätsgrad r = 1 vorausgesagt.

Abgabe: Dienstag, 3.7.01, zu Beginn der Vorlesung.

Bearbeitungen bitte heften! Beiliegendes Formblatt vorheften, Name, Vorname, Matrikelnummer, Gruppe leserlich(!) angeben.

Dieses Formblatt bitte bei der Abgabe von Übungen vorn anheften und ausfüllen!

Mathe B für WiWi, Blatt 10, Abgabe: 3.7.01

Vorname: Name: Matrikelnummer: Gruppe (unbedingt ankreuzen!):

Di 14–16, P1510 Ettler  (Gruppe 1)
Di 16–18, D1.328 Koch  (Gruppe 2)
Do 9–11, P7203 Kaminski (Gruppe 7)
Do 14–16, H4.113 Koch  (Gruppe 4)
Do 16–18, D1.338 Hufnagel (Gruppe 5)
Fr 11–13, N4.325 Hufnagel (Gruppe 3)
Fr 11–13, P1611 Morschel (Gruppe 6)
Fr 11–13, D1.338 Kaminski (Gruppe 8)
Fr 11–13, D1.328 Ettler  (Gruppe 9)

keine Gruppenzugehörigkeit

Aufgabe 38^{∗} 39^{∗} 40 41 42^{∗} ∑
max Punkte 4 3 – – 6

erreicht: