Mathe B für Wirtschaftswissenschaftler Sommersemester 01 Walter Oevel 17. 4. 2001

Ü b u n g s b l a t t 1

Wir bieten an, bearbeitete Aufgaben zu korrigieren, falls sie zum unten angegebenen Zeitpunkt abgeliefert werden. Mit ∗ und Punktangaben gekennzeichnete Aufgaben können dazu verwendet werden, Bonus–Punkte zu erwerben.

Aufgabe 1*: (Folgen und Grenzwerte) (1+1+1+1+1+2 Punkte) Bestimme, ob die angegebenen Folgen konvergieren. Bestimme gegebenenfalls den Grenzwert unter Angabe der benutzten Zwischenschritte:

a) x_{n} = 2 − \frac{3}{n}, b) x_{n} = \frac{2 n^{2}}{n^{2} + 1}, c) x_{n} = \frac{n^{3} − 1}{n^{2} + 1},

d) x_{n} = \frac{n^{3} − 1}{n^{3} + 1}, e) x_{n} = \frac{n^{3} − 1}{n^{4} + 1}, f) x_{n} = (1 + \frac{2}{n})^{3 n}.

Musterlösung: a)

lim_{n→∞} (2 − \frac{3}{n}) = lim_{n→∞} 2 − lim_{n→∞} \frac{3}{n} = 2 − 3 · lim_{n→∞} \frac{1}{n} = 2 − 3 · 0 = 2 .

b)

lim_{n→∞} \frac{2 n^{2}}{n^{2} + 1} = lim_{n→∞} \frac{2 n^{2}}{n^{2} · (1 + \frac{1}{n^{2}} )} = lim_{n→∞} \frac{2}{1 + \frac{1}{n^{2}}} = \frac{2}{1 + lim_{n→∞} \frac{1}{n^{2}}} = \frac{2}{1 + 0} = 2.

c)

lim_{n→∞} \frac{n^{3} − 1}{n^{2} + 1} = lim_{n→∞} \frac{n^{3} · (1 − \frac{1}{n^{3}} )}{n^{2} · (1 + \frac{1}{n^{2}} )} = lim_{n→∞} n \frac{1 − \frac{1}{n^{3}}}{1 + \frac{1}{n^{3}}} = lim_{n→∞} n · lim_{n→∞} \frac{1 − \frac{1}{n^{3}}}{1 + \frac{1}{n^{3}}}

= lim_{n→∞} n · \frac{lim_{n→∞} (1 − \frac{1}{n^{3}} )}{lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n^{2}} )} = lim_{n→∞} n · \frac{1 − lim_{n→∞} \frac{1}{n^{3}}}{1 + lim_{n→∞} \frac{1}{n^{2}}} = ∞ · \frac{1 − 0}{1 + 0} = ∞.

d)

lim_{n→∞} \frac{n^{3} − 1}{n^{3} + 1} = lim_{n→∞} \frac{n^{3} · (1 − \frac{1}{n^{3}} )}{n^{3} · (1 + \frac{1}{n^{3}} )} = lim_{n→∞} \frac{1 − \frac{1}{n^{3}}}{1 + \frac{1}{n^{3}}}

= \frac{lim_{n→∞} (1 − \frac{1}{n^{3}} )}{lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n^{3}} )} = \frac{1 − lim_{n→∞} \frac{1}{n^{3}}}{1 + lim_{n→∞} \frac{1}{n^{3}}} = \frac{1 − 0}{1 + 0} = 1.

e)

lim_{n→∞} \frac{n^{3} − 1}{n^{4} + 1} = lim_{n→∞} \frac{n^{3} · (1 − \frac{1}{n^{3}} )}{n^{4} · (1 + \frac{1}{n^{4}} )} = lim_{n→∞} \frac{1}{n} \frac{1 − \frac{1}{n^{3}}}{1 + \frac{1}{n^{4}}} = lim_{n→∞} \frac{1}{n} · lim_{n→∞} \frac{1 − \frac{1}{n^{3}}}{1 + \frac{1}{n^{4}}}

= lim_{n→∞} \frac{1}{n} · \frac{lim_{n→∞} (1 − \frac{1}{n^{3}} )}{lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n^{4}} )} = lim_{n→∞} \frac{1}{n} · \frac{1 − lim_{n→∞} \frac{1}{n^{3}}}{1 + lim_{n→∞} \frac{1}{n^{4}}} = 0 · \frac{1 − 0}{1 + 0} = 0.

e)

lim_{n→∞} (1 + \frac{2}{n})^{3 n} = lim_{n→∞} ((1 + \frac{2}{n})^{n})^{3} = ( lim_{n→∞} (1 + \frac{2}{n})^{n})^{3} = (e^{2})^{3}.

Der numerische Wert ist

>> float(exp(2))^3
                     403.4287935

Aufgabe 2: (MuPAD) Lese die MuPAD–Hilfeseite zu limit (interaktiv durch ?limit aufzurufen).

a) Überprüfe mit MuPAD die in Aufgabe 1 ermittelten Grenzwerte.

b) Bestimme den Grenzwert der Folge x_{n} = (1 + \frac{2}{n^{3}} )^{2 n^{2}}.

c) Lese mit ?! die MuPAD–Hilfeseite zur (aus der Schule bekannten) Fakultätsfunktion n! = 1 · 2 · · · · · n. Betrachte den Grenzwert der Folge x_{n} = n^{n}/n! (den MuPAD nicht berechnen kann). Erzeuge Gleitpunktapproximationen (siehe ?float) der ersten 10 Folgenglieder und stelle eine Vermutung über die Konvergenzeigenschaft dieser Folge auf!

Musterlösung: a)

>> limit(2 - 3/n, n = infinity)
                   2
>> limit(2*n^2/(n^2 + 1), n = infinity)
                   2
>> limit((n^3 - 1)/(n^2 + 1), n = infinity)
                infinity

>> limit((n^3 - 1)/(n^3 + 1), n = infinity)
                        1
>> limit((n^3 - 1)/(n^4 + 1), n = infinity)
                        0

b)

>> limit((1 + 2/n^3)^(2*n^2), n = infinity)
                        1

c) MuPAD kann den Grenzwert nicht bestimmen:

>> limit(n^n/n!, n = infinity)
                     /    n                  \
                     |   n                   |
                limit| -------, n = infinity |
                     \ fact(n)               /

Gleitpunktapproximationen:

>> x := n -> float(n^n/n!):  x(n) $ n = 1..10
     1.0, 2.0, 4.5, 10.66666667, 26.04166667, 64.8, 163.4013889,
             416.1015873, 1067.627009, 2755.731922

Vermutung: lim_{n→∞} x_{n} = ∞. (Diese Vermutung ist in der Tat richtig.)

Aufgabe 3*: (Unterjährige und stetige Verzinsung) (4 Punkte) Betrachte Beispiel 1.19 der Vorlesung. Ein Kapital von 10 000 DM wird mit einem jährlichen Zinssatz von 7% angelegt. Auf welchen Betrag wächst das Kapital nach 5 Jahren bei a) jährlicher, b) halbjährlicher, c) monatlicher, d) kontinuierlicher Verzinsung? Benutze jeweils MuPAD, um (evtl. mittels float) Gleitpunktapproximationen der Werte zu ermitteln.

Musterlösung: Teilt man das Jahr in n Zeitabschnitte ein, so ergibt sich mit dem Zinssatz p ein Anstieg des Grundkapitals K_{0} pro Jahr um den Faktor (1+p/n)^{n}. Nach 5 Jahren um den Faktor ((1+p/n)^{n})^{5} = (1+p/n)^{5 n}: a)

>> K0 := 10000: p:= 0.07:
>> n := 1: K5 := K0 * (1 + p/n)^(5*n);
                          14025.51731

b)

>> n := 2: K5 := K0 * (1 + p/n)^(5*n);
                          14105.98761

c)

>> n := 12: K5 := K0 * (1 + p/n)^(5*n);
                          14176.2526

d) Da wir ein symbolisches n brauchen, wird der vorherige Wert von n mittels delete gelöscht:

>> delete n:  K5 := K0* limit((1 + p/n)^(5*n), n = infinity);
                          14190.67549

Abgabe: Freitag, 27.4.01, in der Vorlesung. Bearbeitungen bitte heften! Beiliegendes Formblatt vorheften, Name, Vorname, Matrikelnummer, Gruppe leserlich(!) angeben.

Dieses Formblatt bitte bei der Abgabe von Übungen vorn anheften und ausfüllen!

Mathe B für WiWi, Blatt 1

Vorname: Name: Matrikelnummer: Gruppe (unbedingt ankreuzen!):

Di 16–18, D1.328 Koch  (Gruppe 2)
Do 9–11, P7203 Kaminski (Gruppe 7)
Do 14–16, H4.113 Koch  (Gruppe 4)
Do 16–18, H7.321 Ettler  (Gruppe 1)
Do 16–18, D1.338 Hufnagel (Gruppe 5)
Fr 11–13, P1611 Morschel (Gruppe 6)
Fr 11–13, N4.325 Hufnagel (Gruppe 3)
Fr 11–13, D1.338 Kaminski (Gruppe 8)
Fr 11–13, D1.328 Ettler  (Gruppe 9)

keine Gruppenzugehörigkeit