72

Kapitel 5

Differentialrechnung in mehreren Variablen

↓19.6.01

Es geht nun um die Differentialrechnung von Funktionen f(x_{1}, x_{2}, …), die von mehr als nur einer Variablen abhängen.

5.1 Partielle Ableitungen

Definition 5.1: (Partielle Ableitungen)

Zu einer Funktion f : ℝ^{n} ↦ ℝ, x⃗ = (x_{1}, …, x_{n}) ↦ f(x⃗) = f(x_{1}, …, x_{n}) definiert man die “partielle Ableitung“ nach der Variable x_{i} als

\frac{∂}{∂x_{i}} f(x_{1}, …, x_{n}) = lim_{h→0} \frac{f(x_{1}, …, x_{i} + h, …, x_{n}) − f(x_{1}, …, x_{i}, …, x_{n})}{h}.

Die Funktion heißt an der Stelle x⃗ ”partiell differenzierbar“, wenn dieser Grenzwert existiert.

Diese Definition besagt lediglich:

Für die partielle Ableitung nach x_{i} halte alle anderen Variablen fest und fasse f als Funktion einer einzigen Variablen x_{i} auf. Dann differenziere wie üblich nach dieser Variablen.

Beispiel 5.2: Sei f(x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{2} + e^{x_{1}·x_{2}^{3}}. Man berechnet sofort mit den Ableitungsregeln aus Kapitel 2:

\frac{∂}{∂x_{1}} f(x_{1}, x_{2}) = 2 · x_{1} + x_{2}^{3} · e^{x_{1}·x_{2}^{3}}, \frac{∂}{∂x_{2}} f(x_{1}, x_{2}) = 3 · x_{1} · x_{2}^{2} · e^{x_{1}·x_{2}^{3}}.

74 KAPITEL 5. DIFFERENTIATION IN MEHREREN VARIABLEN

Ein weiteres Beispiel: f(x, y) = x^{2} · y^{3}.

\frac{∂f(x, y)}{∂x} = 2 · x · y^{3}, \frac{∂f(x, y)}{∂y} = 3 · x^{2} · y^{2}.

Beispiel 5.3: Da eine partielle Ableitung nichts anderes ist als eine ”gewöhnliche“ Ableitung, in der alle nicht beteiligten Variablen als konstante Parameter aufgefaßt werden, ist die schon bekannte MuPAD-Funktion diff auch für die Berechnung partieller Ableitungen zuständig:

>> f:= (x, y) -> x^2*y^3
>> diff(f(x, y), x)
                                 3
                            2 x y
>> diff(f(x, y), y)
                               2  2
                            3 x  y

Analog zum 1-dimensionalen Fall approximiert die partielle Ableitung nach x_{i} die Änderung von f, wenn sich x_{i} um eine Einheit ändert, wobei aber alle anderen Variablen festgehalten werden. Ändern sich alle Variablen, so gilt:

Interpretation der partiellen Ableitungen 5.4:

\begin{matrix}Δf = f(x_{1} + Δx_{1}, …, x_{n} + Δx_{n}) − f(x_{1}, …, x_{n}) \\ ≈ \frac{∂f(x_{1}, …, x_{n})}{∂x_{1}} · Δx_{1} + ⋯ + \frac{∂f(x_{1}, …, x_{n})}{∂x_{n}} · Δx_{n}. \end{matrix}

Beispiel 5.5: Betrachte f(x, y) = x · y^{2}. Ändert sich x von 1 auf 1.01 und y von 1 auf 1.02, so ändert sich f um

Δf = f(1.01, 1.02) − f(1, 1) = 0.050804.

Dies wird an der Stelle x = 1, y = 1 approximiert durch

\frac{∂f(x, y)}{∂x} Δx + \frac{∂f(x, y)}{∂y} Δy = \underbrace{y^{2}}_{1} ·Δx + \underbrace{2 · x · y}_{2} ·Δy

= Δx + 2 · Δy = 0.01 + 2 · 0.02 = 0.05.

Das Konzept der Ableitungsfunktion sieht für Funktionen f : ℝ^{n} ↦ ℝ^{m} folgendermaßen aus:

Definition 5.6: (Die Ableitungsmatrix)

Betrachte eine Funktion f⃗: ℝ^{n} ↦ ℝ^{m}:

f⃗(\underbrace{x_{1}, …, x_{n}}_{x⃗}) = ( f_{1}(x_{1}, …, x_{n}) ; ⋮ ; f_{m}(x_{1}, …, x_{n}) ) .

Die ”Ableitung von f an der Stelle x⃗“ ist die m × n Matrix

f⃗′(x⃗) = ( \begin{matrix}\frac{∂f_{1}(x⃗)}{∂x_{1}} & … & \frac{∂f_{1}(x⃗)}{∂x_{n}} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ \frac{∂f_{m}(x⃗)}{∂x_{1}} & … & \frac{∂f_{m}(x⃗)}{∂x_{n}} \end{matrix} ) .

Sie heißt ”Ableitungsmatrix“ oder auch ”Jacobi–Matrix“.

Beispiel 5.7: Sei

f⃗(\underbrace{x, y}_{x⃗}) = ( \begin{matrix}f_{1}(x, y) \\ f_{2}(x, y) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x + y^{2} \\ x · y \end{matrix} ) .

Die Ableitungsmatrix an einer Stelle x⃗ = (x, y) ist

f⃗′(x⃗) = ( \begin{matrix}\frac{∂f_{1}}{∂x} & \frac{∂f_{1}}{∂y} \\ \frac{∂f_{2}}{∂x} & \frac{∂f_{2}}{∂y} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 2 · y \\ y & x \end{matrix} ) .

Definition 5.8: (Der Gradient)

Für den Spezialfall f : ℝ^{n} ↦ ℝ heißt der (Zeilen-)Vektor der partiellen Ableitungen auch ”Gradient“:

grad f(x⃗) = f′(x⃗) = (\frac{∂f(x⃗)}{∂x_{1}}, …, \frac{∂f(x⃗)}{∂x_{n}}).

Da bei partiellen Ableitungen nur nach einer Variablen differenziert wird, können wir ohne Probleme komponentenweise mit den Regeln aus Kapitel 2 rechnen. Z.B. gilt für Funktionen f, g : ℝ^{n} ↦ ℝ:

\frac{∂}{∂x_{i}} (f(x⃗) + g(x⃗)) = \frac{∂f(x⃗)}{∂x_{i}} + \frac{∂g(x⃗)}{∂x_{i}} , (Summenregel)

\frac{∂}{∂x_{i}} (f(x⃗) · g(x⃗)) = \frac{∂f(x⃗)}{∂x_{i}} · g(x⃗) + f(x⃗) · \frac{∂g(x⃗)}{∂x_{i}} (Produktregel)

etc. Lediglich die Kettenregel verdient eine besondere Anmerkung:

Satz 5.9: (Die Kettenregel im mehrdimensionalen Fall)

Sei g⃗ : ℝ^{n} ↦ ℝ^{m}, sei y⃗ = g⃗(x⃗). Sei f⃗ : ℝ^{m} ↦ ℝ^{p}. Betrachte die durch h⃗(x⃗) = f⃗(y⃗) = f⃗(g⃗(x⃗)) definierte Verknüpfung h⃗ : ℝ^{n} ↦ ℝ^{p}. Die Ableitungsmatrix von h⃗ am Punkt x⃗ ∈ ℝ^{n} ist die p × n Matrix

h⃗′(x⃗) = \underbrace{f⃗′(g⃗(x⃗))}_{p×m} · \underbrace{g′(x⃗)}_{m×n} .

In Komponentenschreibweise:

( \begin{matrix}\frac{∂h_{1}(x⃗)}{∂x_{1}} & … & \frac{∂h_{1}(x⃗)}{∂x_{n}} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ \frac{∂h_{p}(x⃗)}{∂x_{1}} & … & \frac{∂h_{p}(x⃗)}{∂x_{n}} \end{matrix} ) =\underbrace{( \begin{matrix}\frac{∂f_{1}(y⃗)}{∂y_{1}} & … & \frac{∂f_{1}(y⃗)}{∂y_{m}} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ \frac{∂f_{p}(y⃗)}{∂y_{1}} & … & \frac{∂f_{p}(y⃗)}{∂y_{m}} \end{matrix} )}_{”äußere Ableitung“}·\underbrace{( \begin{matrix}\frac{∂g_{1}(x⃗)}{∂x_{1}} & … & \frac{∂g_{1}(x⃗)}{∂x_{n}} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ \frac{∂g_{m}(x⃗)}{∂x_{1}} & … & \frac{∂g_{m}(x⃗)}{∂x_{n}} \end{matrix} )}_{”innere Ableitung“}.

Beispiel 5.10: Betrachte f(y_{1}, y_{2}) = y_{1} · y_{2}. Seien y_{1}, y_{2} Funktionen von x:

y⃗ = ( \begin{matrix}y_{1}(x) \\ y_{2}(x) \end{matrix} ) = g⃗(x) = ( \begin{matrix}x^{2} \\ x^{3} \end{matrix} ) .

Die Hintereinanderschaltung h(x) = f(y⃗) = f(g⃗(x)) = x^{2} · x^{3} = x^{5} ist eine Funktion x ∈ ℝ ↦ h(x) ∈ ℝ mit der Ableitung h′(x) = 5 · x^{4}. Über die Kettenregel ergibt sich dasselbe Resultat:

h′(x) = \underbrace{f′(g⃗(x))}_{1×2} ·\underbrace{g′(x)}_{2×1} = ( y_{2} , y_{1} ) · ( \begin{matrix}2 · x \\ 3 · x^{2} \end{matrix} )

= ( x^{3} , x^{2} ) · ( \begin{matrix}2 · x \\ 3 · x^{2} \end{matrix} ) = x^{3} · 2 · x + x^{2} · 3 · x^{2} = 5 · x^{4}.

Beispiel 5.11: Eine Funktion f(x_{1}, …, x_{n}) mit der Eigenschaft

f(λ · x_{1}, …, λ · x_{n}) = λ^{r} · f(x_{1}, …, x_{n}) (#)

für alle λ ∈ ℝ heißt ”homogen vom Grad r“. Beispiel: f(x, y) = x^{3} + x^{2} · y ist homogen vom Grad 3, denn

f(λ · x, λ · y) = (λ · x)^{3} + (λ · x)^{2} · (λ · y) = λ^{3} · (x^{3} + x^{2} · y) = λ^{3} · f(x, y).

Wir differenzieren die linke Seite von (#) nach λ: Dazu fixieren wir x_{1}, …, x_{n} und

19.6.01↓

betrachten

g⃗(λ) = ( g_{1}(λ) ; ⋮ ; g_{n}(λ) ) = ( λ · x_{1} ; ⋮ ; λ · x_{n} ) .

5.1. PARTIELLE ABLEITUNGEN 77

Damit ist

h(λ) = f(λ · x_{1}, …, λ · x_{n}) = f(g⃗(λ)).

Über die Kettenregel folgt

h′(λ) = f′(g(λ)) · g′(λ) = (\frac{∂f}{∂x_{1}} (g⃗(λ)), …, \frac{∂f}{∂x_{3}} (g⃗(λ))) · ( ⋮_{\frac{∂g_{2}}{∂λ}}^{\frac{∂g_{1}}{∂λ}} )

= (\frac{∂f}{∂x_{1}} (g⃗(λ)), …, \frac{∂f}{∂x_{n}} (g⃗(λ))) · ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) = x_{1} · \frac{∂f}{∂x_{1}} (g⃗(λ)) + ⋯ + x_{n} · \frac{∂f}{∂x_{n}} (g⃗(λ)).

Andererseits ist h′(λ) durch Differenzieren der rechten Seite von (#) nach λ auch gleich

h′(λ) = r · λ^{r−1} · f(x_{1}, …, x_{n}).

Es folgt die Gleichung

h′(λ) = x_{1} · \frac{∂f}{∂x_{1}} (g⃗(λ)) + ⋯ + x_{n} · \frac{∂f}{∂x_{n}} (g⃗(λ)) = r · λ^{r−1} · f(x_{1}, …, x_{n}).

Für λ = 1 ergibt sich die hieraus die allgemeine Identität

x_{1} · \frac{∂f}{∂x_{1}} (x_{1}, …, x_{n}) + ⋯ + x_{n} · \frac{∂f}{∂x_{n}} (x_{1}, …, x_{n}) = r · f(x_{1}, …, x_{n})

für homogene Funktionen vom Grad r. Man nennt dies die ”Eulersche Homogenitätsrelation“.

Beispiel: für f(x, y) = x^{3} + x^{2} · y gilt in der Tat

x · \frac{∂f}{∂x} (x, y) + y · \frac{∂f}{∂y} (x, y) = x · (3 · x^{2} + 2 · x · y) + y · x^{2}

= 3 · x^{3} + 3 · x^{2} · y = 3 · f(x, y).

Definition 5.12: (Höhere partielle Ableitungen)

Da für f = f(x_{1}, …, x_{n}) die ersten partiellen Ableitungen \frac{∂f}{∂x_{i}} selbst wieder Funktionen von x⃗ = (x_{1}, …, x_{n}) sind, kann man sie erneut partiell ableiten. Es ergeben sich ”zweite partielle Ableitungen“, die folgendermaßen geschrieben werden:

\frac{∂^{2}f(x⃗)}{∂x_{j}∂x_{i}} = \frac{∂}{∂x_{j}} (\frac{∂f(x⃗)}{∂x_{i}}) .

Für i = j schreibt man auch

\frac{∂^{2}f(x⃗)}{∂x_{i}∂x_{i}} = \frac{∂^{2}f(x⃗)}{∂x_{i}^{2}}.

Höhere partielle Ableitungen werden analog definiert.

Beispiel 5.13: Betrachte f(x, y) = sin(x) · y^{3}. Man berechnet folgende erste partiellen Ableitungen:

\frac{∂f}{∂x} = cos(x) · y^{3}, \frac{∂f}{∂y} = sin(x) · 3 · y^{2}.

Hieraus folgen die zweiten partiellen Ableitungen:

\frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} = − sin(x) · y^{3}, \frac{∂^{2}f}{∂y∂x} = cos(x) · 3 · y^{2},
\frac{∂^{2}f}{∂x∂y} = cos(x) · 3 · y^{2}, \frac{∂^{2}f}{∂y^{2}} = sin(x) · 6 · y.

Man beobachtet: \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} = \frac{∂^{2}f}{∂y∂x}. Dies ist kein Zufall, sondern ein allgemeines Gesetz!

In MuPAD:

>> f:= (x, y) -> sin(x)*y^3:
>> diff(f(x, y), x, x)
                             3
                          - y  sin(x)
>> diff(f(x, y), x, y)
                             2
                          3 y  cos(x)
>> diff(f(x, y), y, x)
                             2
                          3 y  cos(x)
>> diff(f(x, y), y, y)
                          6 y sin(x)

26.6.01↓

Satz 5.14: (Partielle Ableitungen sind symmetrisch)

Sind die (höheren) partiellen Ableitungen von f(x, y) stetige Funktionen, so gilt

\frac{∂}{∂x} \frac{∂f}{∂y} = \frac{∂}{∂y} \frac{∂f}{∂x}.

Zweite partielle Ableitungen einer Funktion f : ℝ^{n} ↦ ℝ lassen sich in einer Matrix zusammenfassen.

Definition 5.15: (Die Hesse–Matrix)

Für f : ℝ^{n} ↦ ℝ nennt man die n × n Matrix H(x⃗) = (\frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} ) der zweiten partiellen Ableitungen die ”Hesse–Matrix“ von f am Punkt x⃗ = (x_{1}, …, x_{n}):

5.2. EXTREMA 79

H(x⃗) = ( \begin{matrix}\frac{∂^{2}f}{∂x_{1}^{2}} & \frac{∂^{2}f}{∂x_{1}∂x_{2}} & … & \frac{∂^{2}f}{∂x_{1}∂x_{n}} \\ \frac{∂^{2}f}{∂x_{2}∂x_{1}} & \frac{∂^{2}f}{∂x_{2}^{2}} & … & \frac{∂^{2}f}{∂x_{2}∂x_{n}} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ \frac{∂^{2}f}{∂x_{n}∂x_{1}} & \frac{∂^{2}f}{∂x_{n}∂x_{2}} & … & \frac{∂^{2}f}{∂x_{n}^{2}} \end{matrix} ) .

Wegen Satz 5.14 ist diese Matrix symmetrisch.

5.2 Extrema

Gesucht sind die (lokalen) Extrema einer Funktion f(x_{1}, x_{2}, …).

Beispiel 5.16: Mit plotfunc3d können in MuPAD die Graphen von Funktionen zweier Variabler gezeichnet werden. Die folgende Funktion f(x, y) = 1 − x^{2} − \frac{y^{2}}{1+10·x^{2}} hat ein lokales Maximum, das graphisch in der Nähe des Ursprungs x = 0, y = 0 zu liegen scheint:

>> f:= (x, y) -> 1 - x^2 - y^2/(1 + 10*x^2):
>> plotfunc3d(f(x, y), x = -1..1, y = -1..1)

Eine genauere Berechnung des Maximums wird in Beispiel 5.18 erfolgen.

Betrachten wir die Situation, daß x^{∗} ein lokales Maximum von f(x_{1}, x_{2}, …) ist. Ändern wir am Punkt x^{∗} startend die Variable x_{1} und halten alle anderen Variablen dabei fest, so betrachten wir f als Funktion nur einer Variablen x_{1}. Liegt am Punkt x^{∗} ein Maximum vor, so verkleinern sich die Funktionswerte, wenn x_{1} variiert. Damit hat auch f als Funktion von x_{1} (mit konstantem x_{2}, x_{3}, …) ein Maximum, d.h., die Ableitung nach x_{1} muß verschwinden. Für konstantes x_{2}, x_{3}, … ist die x_{1}-Ableitung aber die partielle Ableitung nach x_{1}, die an einem Maximum also verschwinden muß. Dieselbe Überlegung gilt für alle anderen Variablen auch:

Satz 5.17: (An Extremstellen verschwindet der Gradient)

Hat eine Funktion f(x_{1}, …, x_{n}) an einem Punkt x^{∗} ∈ ℝ^{n} ein lokales Extremum (Minimum oder Maximum), so verschwinden dort alle partiellen Ableitungen:

f′(x^{∗}) = (\frac{∂f}{∂x_{1}} (x^{∗}), …, \frac{∂f}{∂x_{n}} (x^{∗})) = (0, …, 0).

Dieser Satz liefert eine notwendige Bedingung für ein lokales Extremum:

Um Extrema zu suchen, braucht man nur diejenigen Punkte zu betrachten, an denen der Gradient der Funktion verschwindet. Bei n Variablen liefern die n Komponenten des Gradienten n Gleichungen für die n gesuchten Variablenwerte.

Beispiel 5.18: Betrachte die Funktion f(x, y) = 1 − x^{2} − \frac{y^{2}}{1+10·x^{2}} aus Beispiel 5.16, die graphisch in der Nähe des Ursprungs ein lokales Maximum hat. Um den Punkt genau zu bestimmen, berechnen wir den Gradienten und setzen alle Komponenten 0:

\frac{∂f}{∂x} = −2 · x + \frac{y^{2} · 20 · x}{(1 + 10 · x^{2})^{2}} = 0, \frac{∂f}{∂y} = −\frac{2 · y}{1 + 10 · x^{2}} = 0.

Dies liefert zwei Gleichungen für die Komponenten x, y potentieller Extrema. Aus der zweiten Gleichung folgt sofort y = 0 und damit aus der ersten Gleichung dann zwingend x = 0. Also kann nur der Ursprung x = 0, y = 0 ein lokales Extremum von f sein. Daß es sich dabei um ein Maximum handelt, haben wir in Beispiel 5.16 graphisch überprüft.

Die durch Lösung der Gleichungen \frac{∂f}{∂x_{i}} = 0 gefundenen Punkte sind nur Kandidaten für Extrema. Es kann sich statt um Extrema auch um sogenannte Sattelpunkte handeln:

Beispiel 5.19: Für die Funktion f(x, y) = x^{2} − y^{2} gilt am Ursprung x = 0, y = 0:

\frac{∂f}{∂x} = 2 · x, \frac{∂f}{∂y} = 2 · y ⇒ \frac{∂f}{∂x} (0, 0) = 0 = \frac{∂f}{∂y} (0, 0).

Dort liegt jedoch kein Extremum vor:

>> plotfunc3d(x^2 - y^2, x = -1..1, y = -1..1)

Damit stellt sich wiederum die Frage nach hinreichenden Kriterien für Extrema. In Analogie zu Satz 2.27 kann mittels zweiter (partieller) Ableitungen entschieden werden, ob an Stellen, wo der Gradient verschwindet, in der Tat ein Minimum oder ein Maximum vorliegt. Zunächst der Spezialfall einer Funktion mit zwei Variablen:

Satz 5.20: (Hinreichende Kriterien für Extrema)

An der Stelle x^{∗} = (x^{∗}, y^{∗}) verschwinde der Gradient von f(x, y). Falls für die Determinante der Hesse–Matrix

det(H(x^{∗})) = det ( \begin{matrix}\frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} (x^{∗}) & \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} (x^{∗}) \\ \frac{∂^{2}f}{∂y∂x}(x^{∗}) & \frac{∂^{2}f}{∂y^{2}} (x^{∗}) \end{matrix} )

= \frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} (x^{∗}) · \frac{∂^{2}f}{∂y^{2}} (x^{∗}) − (\frac{∂^{2}f}{∂x∂y} (x^{∗}))^{2} > 0

gilt, ist x^{∗} ein Extremum. Gilt \frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} (x^{∗}) > 0, so handelt es sich um ein Minimum, bei \frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} (x^{∗}) < 0 um ein Maximum.

Gilt det(H(x^{∗})) < 0, so ist x^{∗} ein Sattelpunkt.

Beispiel 5.21: Für die Funktion f(x, y) = x^{2} + x · y^{3} + y^{2} verschwindet der Gradient

\frac{∂f}{∂x} = 2 · x + y^{3}, \frac{∂f}{∂y} = 3 · x · y^{2} + 2 · y

am Nullpunkt. Die Hesse–Matrix

H(x, y) = ( \begin{matrix}\frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} & \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} \\ \frac{∂^{2}f}{∂y∂x} & \frac{∂^{2}f}{∂y^{2}} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2 & 3 · y^{2} \\ 3 · y^{2} & 6 · x · y + 2 \end{matrix} )

nimmt dort den Wert

H(0, 0) = ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} )

an. Mit det(H(0, 0)) = 4 > 0 ist der Nullpunkt damit ein Extremum. Wegen H(0, 0)_{11} = \frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} (0, 0) = 2 > 0 handelt es sich um ein Minimum.

Definition 5.22: (Positiv/negativ definite Matrizen)

Eine symmetrische n × n Matrix A = (A_{ij}) = (A_{ji}) heißt ”positiv definit“, wenn die folgenden n Determinantenbedingungen erfüllt sind:

A_{11} > 0, det ( \begin{matrix}A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix} ) > 0, ⋯, det ( \begin{matrix}A_{11} & … & A_{1n} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ A_{n1} & … & A_{nn} \end{matrix} ) > 0.

Die Matrix A heißt ”negativ definit“, wenn die negative Matrix −A positiv definit ist.

Beispiel 5.23: Die Matrix

A = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 5 \end{matrix} )

ist positiv definit, denn A_{11} = 1 > 0 und det(A) = 5 − 4 = 1 > 0.

Die Matrix

A = ( \begin{matrix}−1 & 2 \\ 2 & −5 \end{matrix} )

ist nicht positiv definit: zwar gilt det(A) = 5 − 4 = 1 > 0, aber A_{11} = −1 < 0. Sie ist jedoch negativ definit, denn

−A = ( \begin{matrix}1 & −2 \\ −2 & 5 \end{matrix} )

ist mit (−A)_{11} = 1 > 0 und det(−A) = 5 − 4 = 1 > 0 positiv definit.

5.2. EXTREMA 83

Im allgemeinen Fall von Funktion f : ℝ^{n} ↦ ℝ liefert die Definitheit der Hesse– Matrix ein hinreichendes Kriterium für lokale Extrema. Satz 5.20 ist der Spezialfall n = 2 des folgenden allgemeineren Satzes:

Satz 5.24: (Hinreichende Kriterien für Extrema, der allgemeine Fall) An der Stelle x^{∗} = (x_{1}^{∗}, …, x_{n}^{∗}) verschwinde der Gradient von f(x_{1}, … x_{n}). Ist die Hesse–Matrix H(x^{∗}) = (\frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} (x^{∗})) dort positiv definit, so ist x^{∗} ein lokales Minimum. Ist H(x^{∗}) negativ definit, so ist x^{∗} ein lokales Maximum.

Beispiel 5.25: Betrachte f(x, y, z) = e^{−x^{2}+2·x−y^{2}} − \frac{z^{2}}{2} . Die potentiellen Extrema sind

↓29.6.01

alle Lösungen der Gleichungen

\frac{∂f}{∂x} = 2 · (1 − x) · e^{−x^{2}+2·x−y^{2}} = 0, \frac{∂f}{∂y} = −2 · y · e^{−x^{2}+2·x−y^{2}} = 0, \frac{∂f}{∂z} = −z = 0.

Aus diesen Gleichungen folgt unmittelbar als einzige Lösung x = 1, y = 0, z = 0 (die Exponentialfunktion kann niemals 0 werden). Damit ist x^{∗} = (1, 0, 0) der einzige Kandidat für ein Extremum. Die Hesse–Matrix an diesem Punkt ist

H(x^{∗}) = ( \begin{matrix}\frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} (x^{∗}) & \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} (x^{∗}) & \frac{∂^{2}f}{∂x∂z} (x^{∗}) \\ \frac{∂^{2}f}{∂y∂x}(x^{∗}) & \frac{∂^{2}f}{∂y^{2}} (x^{∗}) & \frac{∂^{2}f}{∂y∂z} (x^{∗}) \\ \frac{∂^{2}f}{∂z∂x}(x^{∗}) & \frac{∂^{2}f}{∂z∂y} (x^{∗}) & \frac{∂^{2}f}{∂z^{2}} (x^{∗}) \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}(4 · (1 − x)^{2} − 2) · e^{−x^{2}+2·x−y^{2}} & −4 · (1 − x) · y · e^{−x^{2}+2·x−y^{2}} & 0 \\ −4 · (1 − x) · y · e^{−x^{2}+2·x−y^{2}} & (4 · y^{2} − 2) · e^{−x^{2}+2·x−y^{2}} & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} ) _{\begin{matrix}x = 1 \\ y = 0 \\ z = 0 \end{matrix}}

= ( \begin{matrix}−2 · e & 0 & 0 \\ 0 & −2 · e & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} ) .

Diese Matrix ist offensichtlich negativ definit, denn

−H(x^{∗}) = ( \begin{matrix}2 · e & 0 & 0 \\ 0 & 2 · e & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) .

ist nach den Kriterien der Definition 5.22 positiv definit. Damit ist der Nullpunkt ein lokales Maximum.

Beispiel 5.26: In MuPAD berechnen die Funktion linalg::grad und linalg::hessian den Gradienten bzw. die Hesse–Matrix einer Funktion:

>> f:= exp(-x^2 + 2*x - y^2) - z^2/2:
>> linalg::grad(f, [x, y, z])
             +-                                -+
             |                         2    2   |
             |  (- 2 x + 2) exp(2 x - x  - y )  |
             |                                  |
             |                      2    2      |
             |     - 2 y exp(2 x - x  - y )     |
             |                                  |
             |                -z                |
             +-                                -+

Zur Vereinfachung der Hesse–Matrix wird mit der Funktion map die Funktion factor auf alle Matrixkomponenten geschickt:

>> H:= linalg::hessian(f, [x, y, z]):
>> H:= map(H, factor)
      array(1..3, 1..3,
                               2                 2    2
        (1, 1) = 2 (- 4 x + 2 x  + 1) exp(2 x - x  - y ),
                                        2    2
        (1, 2) = 4 y (x - 1) exp(2 x - x  - y ),
        (1, 3) = 0,
                                        2    2
        (2, 1) = 4 y (x - 1) exp(2 x - x  - y ),
                       2                 2    2
        (2, 2) = 2 (2 y  - 1) exp(2 x - x  - y ),
        (2, 3) = 0,
        (3, 1) = 0,
        (3, 2) = 0,
        (3, 3) = -1
      )

Der Punkt x = 1, y = 0, z = 0 wird eingesetzt:

>> H:= subs(H, [x = 1, y = 0, z = 0])
                +-                          -+
                |  -2 exp(1),     0,      0  |
                |                            |
                |      0,     -2 exp(1),  0  |
                |                            |
                |      0,         0,     -1  |
                +-                          -+

5.3. EXTREMA UNTER NEBENBEDINGUNGEN 85

Die Funktion linalg::isPosDef überprüft, ob eine Matrix positiv definit ist:

>> linalg::isPosDef(-H)
                             TRUE

5.3 Extrema unter Nebenbedingungen

Wie berechnet man Extrema einer Funktion f(x_{1}, x_{2}, …), wenn die Variablen x_{1}, …, x_{n} eine zusätzliche Gleichung g(x_{1}, …, x_{n}) = 0 zu erfüllen haben?

Beispiel 5.27: Betrachte eine zylindrische Dose mit Radius r und Höhe h. Die Grundfläche ist π · r^{2}, der Umfang ist 2 · π · r. Das Volumen ist

Grundfläche × Höhe = π · r^{2} · h.

Die Gesamtoberfläche ist

2 × Grundfläche + Umfang × Höhe = 2 · π · r^{2} + 2 · π · r · h.

Für eine Dose mit vorgegebenem Volumen V sollen r und h so gewählt werden, daß die Oberfläche minimal wird. Also: finde das Minimum der Oberfläche

f(r, h) = 2 · π · r^{2} + 2 · π · r · h

unter der Nebenbedingung, daß das Volumen π · r^{2} · h = V vorgegeben ist, d.h.,

g(r, h) = π · r^{2} · h − V = 0.

Beispiel 5.28: Die Funktion f(x, y) = x + 2 · y hat auf dem ℝ^{2} als lineare Funktion sicherlich keine lokalen Extrema. Schränkt man aber (x, y) auf den Einheitskreis ein, d.h., fordert man g(x, y) = x^{2} +y^{2} −1 = 0, so existiert ein Maximum und ein Minimum für f. Im folgenden Bild wird die Nebenbedingung x^{2} + y^{2} = 1 als Kreis unten angedeutet, zusätzlich sind die entsprechende Funktionswerte von f über dem Einheitskreis als Ellipse auf der Ebene (dem Graphen von f) angedeutet:

plot(plot::Function3d(x + 2*y, x = -2 .. 2, y=-2 .. 2,
                      Grid = [5, 5], Color = RGB::Yellow),
     plot::Curve3d([cos(u), sin(u), 0.3 + cos(u) +2*sin(u)],
                   u = 0 .. 2*PI, Color = RGB::Black),
     plot::Curve3d([cos(u), sin(u), -6],
                   u = 0 .. 2*PI, Color = RGB::Black)
    )

Satz 5.29: (Die Lagrangesche Multiplikatoren-Methode)

3.7.01↓ Seien f(x_{1}, …, x_{n}) und g(x_{1}, …, x_{n}) differenzierbare Funktionen von ℝ^{n} nach ℝ. Für einen Punkt x^{∗} ∈ ℝ^{n}, der g(x^{∗}) = 0 erfüllt und f maximiert oder minimiert, sind die Gradienten von f und g parallele Vektoren. D.h., es gibt einen Wert λ ∈ ℝ sodaß

f′(x^{∗}) = λ · g′(x^{∗}).

Die n Komponenten dieser Gleichung

\frac{∂f}{∂x_{1}} = λ · \frac{∂g}{∂x_{1}} , ⋯, \frac{∂f}{∂x_{n}} = λ · \frac{∂g}{∂x_{n}}

zusammen mit der Nebenbedingung g(x^{∗}) = 0 bilden n + 1 Gleichungen für die n Komponenten von x^{∗} und λ.

Der Wert λ heißt ”Lagrange–Multiplikator“.

Beispiel 5.30: Betrachte das Dosenproblem aus Beispiel 5.27: finde das Minimum von

f(r, h) = 2 · π · r^{2} + 2 · π · r · h

unter der Nebenbedingung

g(r, h) = π · r^{2} · h − V = 0.

5.3. EXTREMA UNTER NEBENBEDINGUNGEN 87

Satz 5.29 besagt, daß für das Minimum gelten muß:

\begin{aligned}\frac{∂f}{∂r} & = & λ · \frac{∂g}{∂r} & ⇒ & 4 · π · r + 2 · π · h & = & λ · 2 · π · r · h, \\ \frac{∂f}{∂h} & = & λ · \frac{∂g}{∂h} & ⇒ & 2 · π · r & = & λ · π · r^{2}. \end{aligned}

Zusammen mit der Nebenbedingung ergeben sich die 3 Gleichungen

2 · r + h = λ · r · h, 2 = λ · r, r^{2} · h = \frac{V}{π}

für die 3 Unbekannten r, h und λ (der Wert von λ interessiert nicht wirklich). Aus der zweiten Gleichung wird λ · r = 2 in die erste Gleichung eingesetzt, es folgt:

2 · r + h = 2 · h, also 2 · r = h.

Die Nebenbedingung liefert damit

r^{2} · h = 2 · r^{3} = \frac{h^{3}}{4} = \frac{V}{π} .

Damit ergibt sich die Geometrie der Dose zu

h = 2 · r = (\frac{4 · V}{π} )^{\frac{1}{3}} .

Anmerkung: in diesem Beispiel ist die Nebenbedingung g(r, h) = π · r^{2} · h − V = 0 so einfach, daß man sie direkt nach einer der Variablen auflösen kann: h = h(r) = \frac{V}{π·r^{2}} . Diesen Wert kann man in die zu minimierende Funktion stecken, damit wird f(r, h) zu einer Funktion einer einzigen Variable r, die wir k nennen:

k(r) = f(r, h(r)) = 2 · π · r^{2} + 2 · π · r · \frac{V}{π · r^{2}} = 2 · π · r^{2} + 2 · \frac{V}{r} .

Da mit h = \frac{V}{π·r^{2}} die Nebenbedingung identisch erfüllt ist, braucht man sich gar nicht mehr darum zu kümmern, und man kann direkt nach dem Minimum der Funktion k(r) suchen:

k′(r) = 4 · π · r − 2 · \frac{V}{r^{2}} = 0 ⇒ 4 · π · r^{3} = 2 · V

⇒ r = (\frac{V}{2 · π} )^{\frac{1}{3}} ⇒ h = \frac{V}{π · r^{2}} = \frac{V}{π · (\frac{V}{2·π})^{\frac{2}{3}}} = (\frac{4 · V}{π} )^{\frac{1}{3}} .

Beispiel 5.31: Betrachte das Extremwertproblem für f(x, y) = x + 2 · y unter der Nebenbedingung g(x, y) = x^{2} + y^{2} − 1 = 0 aus Beispiel 5.28. Satz 5.29 besagt, daß für die Extremstellen gelten muß:

\begin{aligned}\frac{∂f}{∂x} & = & λ · \frac{∂g}{∂x} & ⇒ & 1 & = & λ · 2 · x, \\ \frac{∂f}{∂y} & = & λ · \frac{∂g}{∂y} & ⇒ & 2 & = & λ · 2 · y. \end{aligned}

Zusammen mit der Nebenbedingung ergeben sich die 3 Gleichungen

1 = λ · 2 · x, 2 = λ · 2 · y, x^{2} + y^{2} = 1

für die 3 Unbekannten x, y und λ (der Wert von λ interessiert nicht wirklich). Aus den ersten beiden Gleichungen folgt y = 2 · x. Setzt man dies in die dritte Gleichung ein, folgt

x^{2} + 4 · x^{2} = 5 · x^{2} = 1 ⇒ x = ±\frac{1}{\sqrt{5}}, y = 2 · x = ±\frac{2}{\sqrt{5}}.

Der Graphik in Beispiel 5.28 entsprechend ist (x, y) = (\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}}) ein Maximum und (x, y) = (−\frac{1}{\sqrt{5}}, −\frac{2}{\sqrt{5}}) ein Minimum.

Ein weiteres Beispiel 5.34 findet sich im folgenden Abschnitt 5.4.

Bemerkung 5.32: Man kann die Extremwerte eine Funktion f(x_{1}, …, x_{n}) auch dann mittels Lagrangescher Multiplikatoren bestimmen, wenn mehrere Nebenbedingungen

g_{1}(x_{1}, …, x_{n}) = 0 , …, g_{m}(x_{1}, …, x_{n}) = 0

(mit m < n) vorgegeben sind. Dann sind die n Gleichungen

\frac{∂f}{∂x_{1}} (x_{1}, …, x_{n}) = λ_{1} · \frac{∂g_{1}}{∂x_{1}} (x_{1}, …, x_{n}) + ⋯ + λ_{m} · \frac{∂g_{m}}{∂x_{1}} (x_{1}, …, x_{n}),

⋮

\frac{∂f}{∂x_{n}} (x_{1}, …, x_{n}) = λ_{1} · \frac{∂g_{1}}{∂x_{n}} (x_{1}, …, x_{n}) + ⋯ + λ_{m} · \frac{∂g_{m}}{∂x_{n}} (x_{1}, …, x_{n})

zu lösen. Dies sind zusammen mit den m Nebenbedingungen insgesamt n + m Gleichungen für die n Variablen x_{1}, …, x_{n} und die m Multiplikatoren λ_{1}, …, λ_{m} ∈ ℝ.

5.4 Anwendungen in der Ökonomie

Beispiel 5.33: Ein Unternehmen produziert n verschiedene Güter mit den Ausstoßmengen x_{1}, …, x_{n} (Einheiten pro Zeit). Es sei eine Kostenfunktion K(x_{1}, …, x_{n}) gegeben. Die Güter kommen zum Preis p_{1}, …, p_{n} auf den Markt. Wie operiert das Unternehmen gewinnmaximal, d.h., wie sind die Ausstoßmengen x_{1}, …, x_{n} zu wählen, damit der Gewinn

G(x_{1}, …, x_{n}) = p_{1} · x_{1} + ⋯ + p_{n} · x_{n} − K(x_{1}, …, x_{n})

maximal wird? Nach Satz 5.17 muß für das Gewinnmaximum der Gradient von G verschwinden, also muß gelten:

\frac{∂G}{∂x_{1}} = p_{1} − \frac{∂K}{∂x_{1}} = 0 , ⋯, \frac{∂G}{∂x_{n}} = p_{n} − \frac{∂K}{∂x_{n}} = 0.

5.4. ANWENDUNGEN IN DER ÖKONOMIE 89

Ergebnis: die gewinnoptimalen Ausstoßmengen sind die Lösungen des folgenden (i.A. nichtlinearen) Gleichungssytems für x_{1}, …, x_{n}:

p_{1} = \frac{∂K}{∂x_{1}} (x_{1}, …, x_{n}) , ⋯, p_{n} = \frac{∂K}{∂x_{n}} (x_{1}, …, x_{n}).

Hierbei wurde ein polypolistischer Anbieter voraussgesetzt: die Marktpreise p_{i} sind als unabhängig von der Produktion des Unternehmens angenommen. Hat man die Kostenfunktion K(x_{1}, …, x_{n}) durch eine konkrete Modellfunktion vorgegeben, kann man daran gehen, durch Lösen der obigen Gleichungen den Gewinn zu maximieren.

Beispiel 5.34: Ein monopolistisches Unternehmen kann mit seinen vorhandenen Produktionsanlagen zwei Produkte herstellen. Die vorhandenen Anlagen sind geeignet, insgesamt X Einheiten pro Zeit zu produzieren, wobei die Maschinen jeweils das erste oder das zweite Produkt herstellen können. Mit den Ausstoßmengen x_{1}, x_{2} (Einheiten pro Zeit) gilt damit die Nebenbedingung x_{1} + x_{2} = X. Die Nachfragefunktionen seien

x_{1}(p_{1}) = 10 · e^{−2·p_{1}}, x_{2}(p_{2}) = 30 · e^{−5·p_{2}},

wobei p_{1}, p_{2} die Marktpreise der Produkte seien. Zu welchem Preis sollten die Produkte angeboten werden, um den Gesamterlös E = p_{1} · x_{1} + p_{2} · x_{2} zu maximieren?

Erster Lösungsweg: Wir entscheiden uns, alle Größen als Funktion von p_{1} und p_{2} zu betrachten. Es gilt

E(p_{1}, p_{2}) = p_{1} · x_{1}(p_{1}) + p_{2} · x_{2}(p_{2}) = p_{1} · 10 · e^{−2·p_{1}} + p_{2} · 30 · e^{−5·p_{2}}

zu maximieren unter der Nebenbedingung

g(p_{1}, p_{2}) = x_{1}(p_{1}) + x_{2}(p_{2}) − X = 10 · e^{−2·p_{1}} + 20 · e^{−5·p_{2}} − X = 0.

In der folgenden Graphik ist der Graph der Erlösfunktion zusammen mit der Kurve eingezeichnet, die die Menge aller Punkte (p_{1}, p_{2}) darstellt, welche die Nebenbedingung g(p_{1}, p_{2}) = 0 (mit X = 10) löst. Man erkennt deutlich, daß die Erlösfunktion über dieser Kurve ein Maximum annimmt:

>> x1:= p1 -> 10*exp(-2*p1):
>> x2:= p2 -> 30*exp(-5*p2):
>> Erloes:= (p1, p2) -> p1*x1(p1) + p2*x2(p2):
>> plot(plot::Function3d(Erloes(p1, p2), p1 = 0 .. 2, p2 = 0 .. 2,
                     Color = RGB::Yellow, Grid = [30, 30]),
        plot::Curve3d([p1, ln((10 - 10*exp(-2*p1))/20)/(-5), 0],
                  p1 = 0.01 .. 2, Color = RGB::Red,  LineWidth = 30),
        plot::Curve3d([p1, ln((10 - 10*exp(-2*p1))/20)/(-5),
                   Erloes(p1, ln((10 - 10*exp(-2*p1))/20)/(-5)) ],
                  p1 = 0.01 .. 2, Color = RGB::Red,  LineWidth = 30)
   ):

6.7.01↓

Über die Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren hat man die Gleichungen

\frac{∂E}{∂p_{1}} = λ · \frac{∂g}{∂p_{1}} ⇒ (10 − 20 · p_{1}) · e^{−2·p_{1}} = λ · (−20 · e^{−2·p_{1}}),

und

\frac{∂E}{∂p_{2}} = λ · \frac{∂g}{∂p_{2}} ⇒ (30 − 150 · p_{2}) · e^{−5·p_{2}} = λ · (−150 · e^{−5·p_{2}})

zusammen mit der Nebenbedingung zu lösen, also (nach Vereinfachung der einzelnen Gleichungen):

1 − 2 · p_{1} = −2 · λ, 1 − 5 · p_{2} = −5 · λ, 10 · e^{−2·p_{1}} + 30 · e^{−5·p_{2}} = X.

Aus den ersten beiden Gleichungen kann man λ eliminieren:

5·(1−2·p_{1}) = −10·λ = 2·(1−5·p_{2}) ⇒ 5−10·p_{1} = 2−10·p_{2} ⇒ p_{2} = p_{1} − \frac{3}{10}.

Setzt man dies in die letzte Gleichung ein, erhält man eine Gleichung für p_{1}:

10 · e^{−2·p_{1}} + 30 · e^{−5·(p_{1}− \frac{3}{10} )} = X.

Die Lösung dieser Gleichung läßt sich nicht für beliebiges X durch eine explizite Formel darstellen: man ist drauf angewiesen, für zahlenmäßig gegebenes X diese Gleichung numerisch zu lösen. Sei z.B. X = 10:

>> numeric::solve(10*exp(-2*p1) + 30*exp(-5*(p1 - 3/10)) = 10, p1)
                        {0.5926751426}
>> p1:= %[1]:
>> p2:= p1 - 3/10
                         0.2926751426
>> x1(p1), x2(p2), x1(p1) + x2(p2)

5.4. ANWENDUNGEN IN DER ÖKONOMIE 91

                3.056390999, 6.943609002, 10.0
>> MaxErloes = p1*x1(p1) + p2*x2(p2)
                   MaxErloes = 3.843668726

Zweiter Lösungsweg: Wir entscheiden uns, alle Größen als Funktion von x_{1} und x_{2} zu betrachten. Dazu sind zunächst die Preis-Nachfrage-Beziehungen x_{i}(p_{i}) in p_{i}(x_{i}) umzuformulieren:

x_{1} = 10 · e^{−2·p_{1}} ⇒ \frac{x_{1}}{10} = e^{−2·p_{1}} ⇒ ln (\frac{x_{1}}{10} ) = −2 · p_{1} ⇒ p_{1} = −\frac{1}{2} · ln (\frac{x_{1}}{10} ),

x_{2} = 30 · e^{−5·p_{2}} ⇒ \frac{x_{2}}{30} = e^{−5·p_{2}} ⇒ ln (\frac{x_{2}}{30} ) = −5 · p_{2} ⇒ p_{2} = −\frac{1}{5} · ln (\frac{x_{2}}{30} ).

Damit ist

E(x_{1}, x_{2}) = p_{1}(x_{1}) · x_{1} + p_{2}(x_{2}) · x_{2} = −\frac{x_{1}}{2} · ln (\frac{x_{1}}{10} ) − \frac{x_{2}}{5} · ln (\frac{x_{2}}{30} )

zu maximieren unter der Nebenbedingung

g(x_{1}, x_{2}) = x_{1} + x_{2} − X = 0.

In der folgenden Graphik ist der Graph der Erlösfunktion zusammen mit der Kurve eingezeichnet, die die Menge aller Punkte (x_{1}, x_{2}) darstellt, welche die Nebenbedingung x_{1} + x_{2} = X mit X = 10 löst. Man erkennt deutlich, daß die Erlösfunktion über dieser Geraden ein Maximum annimmt:

>> plot(plot::Function3d(Erloes(x1, x2), x1 = 0.01 .. 9.99, x2 = 0.01 .. 9.99,
                         Color = RGB::Yellow),
        plot::Curve3d([x, 10 - x, 0], x = 0.01 .. 9.99,
                      Color = RGB::Red,  LineWidth = 30),
        plot::Curve3d([x, 10 - x, Erloes(x, 10-x) + 0.01], x = 0.01 .. 9.99,
                      Color = RGB::Red, LineWidth = 30)
   ):

Über die Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren hat man die Gleichungen

\frac{∂E}{∂x_{1}} = λ · \frac{∂g}{∂x_{1}} ⇒ −\frac{1}{2} · ln (\frac{x_{1}}{10} ) − \frac{1}{2} = λ · 1,

und

\frac{∂E}{∂x_{2}} = λ · \frac{∂g}{∂x_{2}} ⇒ −\frac{1}{5} · ln (\frac{x_{2}}{30} ) − \frac{1}{5} = λ · 1,

zusammen mit der Nebenbedingung zu lösen, also (nach Vereinfachung der einzelnen Gleichungen):

−\frac{1}{2} · ( ln (\frac{x_{1}}{10} ) + 1) = λ, −\frac{1}{5} · ( ln (\frac{x_{2}}{30} ) + 1) = λ, x_{1} + x_{2} = X. (##)

Aus den ersten beiden Gleichungen kann man λ eliminieren:

−\frac{1}{2} ·( ln (\frac{x_{1}}{10} )+1) = −\frac{1}{5} ·( ln (\frac{x_{2}}{30} )+1) ⇒ 5·( ln (\frac{x_{1}}{10} )+1) = 2·( ln (\frac{x_{2}}{30} )+1)

⇒ \frac{5}{2} · ln (\frac{x_{1}}{10} ) + \frac{3}{2} = ln (\frac{x_{2}}{30} ) ⇒ e^{\frac{5}{2} ·ln (\frac{x_{1}}{10} )+ \frac{3}{2}} = \frac{x_{2}}{30}

⇒ e^{\frac{3}{2}} · e^{ln^{((\frac{x_{1}}{10} )^{5/2})}} = \frac{x_{2}}{30} ⇒ e^{\frac{3}{2}} · (\frac{x_{1}}{10} )^{5/2} = \frac{x_{2}}{30} .

Zusammen mit der Nebenbedingung verbleiben die beiden Gleichungen

x_{2} = 30 · e^{\frac{3}{2}} · \frac{x_{1}^{5/2}}{10^{5/2}} , x_{1} + x_{2} = X

für x_{1}, x_{2}. Setzt man wiederum x_{2} als Funktion von x_{1} in die zweite Gleichung ein, verbleibt eine einzelne Gleichung für x_{1}, die (für gegebenes X) numerisch zu lösen ist. Wir brechen diese Berechnung ’per Hand’ hier ab (die letzte verbleibende Gleichung wäre ja sowieso nur numerisch zu lösen) und stecken gleich die 3 Gleichungen (##) für x_{1}, x_{2}, λ in MuPADs numerischen Gleichungslöser (wobei wiederum X = 10 gewählt wird):

>> numeric::solve([-1/2*(ln(x1/10) + 1) = lambda,
                   -1/5*(ln(x2/30) + 1) = lambda,
                   x1 + x2 = 10], [x1, x2, lambda])
   {[x1 = 3.056390999, x2 = 6.943609002, lambda = 0.09267514266]}
>> assign(%[1]):
>> p1(x1), p2(x2)
                  0.5926751427, 0.2926751427
>> MaxErloes = Erloes(x1, x2)
                   MaxErloes = 3.843668726

Natürlich kommt dasselbe Ergebnis heraus wie beim ersten Lösungsweg.