Kapitel 3

Differentialrechnung in der Ökonomie

Ökonomische Bezeichnungen 3.1:

Sei f(x) eine ”ökonomische Funktion“ (z.B., Erlös, Gewinn, Kosten etc.). Die Ableitung f′(x) wird als ”Grenzfunktion“ (”Grenzerlös“, ”Grenzgewinn“, ”Grenzkosten“ etc.) oder auch als ”marginale“ Funktion bezeichnet (”marginaler Erlös“, ”marginaler Gewinn“, ”marginale Kosten“ etc.).

Für die Ökonomie ist die Interpretation

Δf ≈ f′(x) · Δx

die wohl wichtigste Anwendung der Ableitung einer Funktion f(x). Dies Formel beantwortet die Frage: wie stark ändert sich f von f(x) auf f(x) + Δf, wenn sich x auf x + Δx ändert?

Beispiel 3.2: Sei x mein Einkommen, seien f(x) die Steuern, die ich zu zahlen habe. Wächst mein Einkommen um Δx = 1 DM, so gibt die ”Grenzsteuer“ f′(x) (= f′(x)· 1 DM) in sehr guter Näherung an, wieviel zusätzliche Steuern Δf ich für diese 1 DM zu zahlen habe.

↓29.5.01

Oft ist es günstiger, Änderungen einer Größe x nicht in absoluten Einheiten Δx anzugeben, sondern als relative Änderung \frac{Δx}{x} (diese kann stets in % angegeben werden). Beispielsweise ist es bei einer Nachfragefunktion x(p) wenig sinnvoll zu fragen, wie sich die Nachfrage x ändert, wenn sich der Preis p um Δp = 1 DM ändert: 1 DM ist beim Preis eines Autos eine sehr kleine Änderung, bei einem Liter Benzin ist ein Preisunterschied von 1 DM gewaltig. Die sinnvollere Frage ist oft:

Um wieviel Prozent ändert sich f(x), wenn sich x um 1 % ändert?

Gesucht ist der Faktor ϵ_{f,x}, sodaß

\frac{Δf}{f} ≈ ϵ_{f,x} \frac{Δx}{x}

gilt. Im Grenzwert Δx → 0 ist der gesuchte Faktor

ϵ_{f,x} ≈ \frac{\frac{Δf}{f(x)}}{\frac{Δx}{x}} = \frac{Δf}{Δx} · \frac{x}{f(x)} ⟶^{(Δx→0)} \frac{f′(x) · x}{f(x)}.

Definition 3.3: (Elastizität)

Sei f differenzierbar an der Stelle x, sei f(x) ≠ 0. Dann heißt

ϵ_{f,x} = \frac{f′(x) · x}{f(x)}

die ”Elastizität von f bezüglich x“.

Gilt ϵ_{f,x} = 0, so heißt f ”starr“.

Gilt |ϵ_{f,x}| < 1, so heißt f ”unelastisch“.

Gilt |ϵ_{f,x}| = 1, so heißt f ”proportional elastisch“.

Gilt |ϵ_{f,x}| > 1, so heißt f ”elastisch“.

Merke 3.4:

Die Elastizität einer Funktion f(x) gibt an, wie sich eine kleine relative Änderung von x zu einer relativen Änderung von f(x) verstärkt.

Die Elastizität einer Umkehrfunktion ergibt sich aus der Elastizität der Funktion: Satz 3.5: (Elastizität von Umkehrfunktionen)

Mit y = f(x), x = f^{−1}(y) gilt: ϵ_{f^{−1},y} = \frac{1}{ϵ_{f,x}} .

Beweis: Nach Satz 2.17 gilt f^{−1}′(y) = \frac{1}{f′(x)}, also

ϵ_{f^{−1},y} = \frac{f^{−1}′(y) · y}{f^{−1}(y)} = \frac{y}{f′(x) · f^{−1}(y)} = \frac{1}{\frac{f′(x)·f^{−1}(y)}{y}} = \frac{1}{\frac{f′(x)·x}{f(x)}} = \frac{1}{ϵ_{f,x}} .

Beispiel 3.6: Eine Fabrik erzeugt ein bestimmtes Produkt, der Ausstoß sei x (Einheiten des Produkts pro Zeiteinheit). Die Kosten der Produktion von x Einheiten sei K(x), die Stückkosten sind damit K̄(x) = \frac{K(x)}{x}. Die Stückkosten sind nicht konstant: z.B. verteilen sich fixe (von x unabhängige) Grundkosten wie etwa Entwicklungskosten, der Bau der Produktionsanlage, Personalkosten etc. auf alle hergestellten Einheiten: je mehr produziert wird, umso geringer die Stückkosten. Eine mögliche Modellfunktion, die dieses Verhalten beschreibt, könnte folgendermaßen aussehen:

K(x) = K_{0} + K_{1} · x, K̄(x) = \frac{K(x)}{x} = \frac{K_{0}}{x} + K_{1}.

K_{0} wären die fixen Grundkosten, K_{1} wären die ”Materialkosten“ bei der Herstellung einer Einheit. Die Elastizität der Kosten bezüglich der Produktionsmenge ist

ϵ_{K,x} = \frac{K_{1} · x}{K_{0} + K_{1} · x}.

Mit x > 0, K_{0} > 0, K_{1} > 0 liegt diese Elastizität stets zwischen 0 und 1, die Kosten sind also stets elastisch. Das ist günstig: steigert man die Produktion, steigen die Kosten unterproportional. Das war eigentlich klar, denn die Stückkosten K̄(x) sinken im obigen Modell monoton mit der Produktion x. In der Tat gibt es stets ein Zusammenhang zwischen Elastizität und der Monotonie der ”durchschnittlichen“ (= ”Stück“–) Kosten, wie der folgende Satz 3.8.b) besagt.

Ökonomische Bezeichnungen 3.7:

Zu gegebenem f(x) wird die Funktion f̄(x) = \frac{f(x)}{x} als ”Durchschnittsfunktion“ bezeichnet (z.B. f̄(x) = ”Durchschnittskosten“ = ”Stückkosten“, wenn f die Kostenfunktion ist).

Satz 3.8: (Zusammenhänge zwischen Durchschnitt und Elastizität)

a) \frac{d}{dx} f(x) = f̄(x) · (1 + ϵ_{f̄,x}), b) \frac{d}{dx} f̄(x) = \frac{f̄(x)}{x} · (ϵ_{f,x} − 1).

Beweis:

a) Einfaches Nachrechnen:

f̄(x) · (1 + ϵ_{f̄,x}) = f̄(x) · (1 + \frac{(\frac{d}{dx} \frac{f(x)}{x}) · x}{f̄(x)}) = f̄(x) + (\frac{d}{dx} \frac{f(x)}{x}) · x

= \frac{f(x)}{x} + \frac{f′(x) · x − f(x)}{x^{2}} · x = \frac{f(x)}{x} + \frac{f′(x) · x − f(x)}{x} = f′(x).

52 KAPITEL 3. ÖKO-ANWENDUNGEN

b) Quotientenregel:

\frac{d}{dx} \frac{f(x)}{x} = \frac{f′(x) · x − f(x)}{x^{2}} = \frac{f(x)}{x^{2}} · (\frac{f′(x) · x}{f(x)} − 1) = \frac{f̄(x)}{x} · (ϵ_{f,x} − 1).

Aussage b) impliziert für x > 0, f(x) > 0: die Durchschnittsfunktion f̄(x) ist genau dann monoton fallend, wenn ϵ_{f,x} − 1 < 0 gilt, d.h., speziell für elastische Funktionen mit ϵ_{f,x} < 1.

Beispiel 3.9: Betrachte die Nachfragefunktion x(p) (x = Nachfrage, p = Preis) und die Erlösfunktion E(p) = p · x(p). Damit ist die Nachfrage der Durchschnitt x(p) = \frac{E(p)}{p} = Ē(p) des Erlöses, und es folgt aus Satz 3.8.a):

\frac{d}{dp} E(p) = x(p) · (1 + ϵ_{x,p}).

Mit der Erlösfunktion E(x) = p(x) · x als Funktion der Nachfrage x ist der Preis der Durchschnitt p(x) = \frac{E(x)}{x} = Ē(x) des Erlöses, und es folgt aus Satz 3.8.a):

\frac{d}{dx} E(x) = p(x) · (1 + ϵ_{p,x}).

Nach Satz 3.5 gilt ϵ_{p,x} = \frac{1}{ϵ_{x,p}}, und es ergibt sich die sogenannte Amoroso-Robinson-Gleichung:

\frac{d}{dx} E(x) = p(x) · (1 + \frac{1}{ϵ_{x,p}} ).