{VERSION 2 3 "SUN SPARC SOLARIS" "2.3" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 256 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 257 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 258 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 259 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 260 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 261 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 262 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 263 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 264 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 265 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 266 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 267 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 268 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 269 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 270 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 271 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 272 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 273 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 274 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 275 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 276 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 277 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 278 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 279 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 280 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 281 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 282 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 283 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 284 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 285 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 286 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 287 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 288 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 289 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 290 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 291 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 292 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 293 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 294 "" 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 295 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 296 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 297 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 298 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 299 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 300 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 301 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 302 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 303 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 304 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 305 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 306 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 307 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 308 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Heading 1" 0 3 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }1 0 0 0 6 6 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Heading 2" 3 4 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 4 4 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Title" 0 18 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 12 12 0 0 0 0 0 0 19 0 }} {SECT 0 {EXCHG {PARA 18 "" 0 "" {TEXT -1 11 "15. Sitzung" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 29 "Erinnerung an die 14. S itzung" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "Die " }{TEXT 256 20 "Mus terloesung14.mws " }{TEXT -1 20 " zur Aufgabe 4 aus " }{TEXT 257 13 " session14.mws" }{TEXT -1 75 " wird nach dem 20.6.97 lesbar gemacht. V ergleiche mit der eigenen Loesung!" }}}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 10 "Mehr MAPLE" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 "Eine Sammlung nuetzlicher Befehle:" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 34 "Wende Funktionen auf Operanden an:" }{TEXT 258 11 " map, map2" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "Mit " }{TEXT 259 11 "map( f,expr)" }{TEXT -1 21 " wird die Funktion " }{TEXT 260 2 "f " } {TEXT -1 25 " auf die Operanden von " }{TEXT 261 4 "expr" }{TEXT -1 46 " angewendet und diese werden --dem Typ von " }{TEXT 262 4 "expr " }{TEXT -1 40 " entsprechend-- wieder zusammengesetzt:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "map( x-> x^2, \{a,b,c\} );" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "map( x->x^2, a^b);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "map( sin , a+b*c );" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 47 "map( factor , (x^2+2*x+1)^2 + 1/(y^2+2*y+1) );" } }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 28 "Vergleiche im Gegensatz dazu" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "factor( (x^2+2*x+1)^2 + 1/(y^2+2*y+ 1) );" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 8 "Dieser " }{TEXT 263 3 "m ap" }{TEXT -1 73 "-Mechanismus ist in viele Systemfunktionen bereits ( teilweise) eingebaut:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "map(factor ,\{a^2-1,b^3-1\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 22 "wird auch d irekt durch" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "factor(\{a^2-1,b^3-1 \});" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 9 "erreicht." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 19 "Wenn die Funktion " }{TEXT 264 1 "f" }{TEXT -1 37 " \+ mehrere Argumente hat, so liefert " }{TEXT 265 21 "map(f,expr,x2,x3,. ..)" }{TEXT -1 10 " das aus " }{TEXT 266 23 "f(op(i,expr),x2,x3,...) " }{TEXT -1 27 " zusammengesetzte Ergebnis:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "map( f , a+b+c , y,z );" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 14 "Die Funktion " }{TEXT 267 4 "map2" }{TEXT -1 15 " liefe rt mit " }{TEXT 268 25 "map2(f,x1,expr,x3,x4,...)" }{TEXT -1 12 " de n aus " }{TEXT 269 26 "f(x1,op(1,expr),x3,x4,...)" }{TEXT -1 22 " au fgebauten Ausdruck:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "map2( Bessel J, 0 , a+b+c+d );" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "map2( f , x1, \+ a+b+c+d , x3,x4);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "map2( f , x1, \+ [a,b,c+d] , x3,x4);" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 22 "Rational e Ausdruecke: " }{TEXT 270 20 "normal, numer, denom" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "Betrachte rationale Ausdruecke:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "r:=(1+sin(x)^2-2*cos(x)^2)/(1-sin(x)^2)+1;" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "Mit " }{TEXT 272 6 "normal" } {TEXT -1 45 " wird alles auf einen Hauptnenner gebracht:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "normal(r);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 28 "Dasselbe wuerde auch durch " }{TEXT 271 6 "factor" } {TEXT -1 76 " erreicht werden, wobei zusaetzlich Zaehler und Nenner f aktorisiert werden:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "factor(r);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 89 "Zaehler (numerator) und Nenner (denominator) rationaler Ausdruecke lassen sich mittels " }{TEXT 273 5 "numer" }{TEXT -1 7 " und " }{TEXT 274 5 "denom" }{TEXT -1 15 " herausziehen:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "numer(r), denom (r) ;" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 34 "Polynome und ihre Koef fizienten: " }{TEXT 275 22 "collect, coeff, coeffs" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 9 "Mittels " }{TEXT 276 7 "collect" }{TEXT -1 49 " \+ koennen Terme in Summen zusammengefasst werden:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "help(collect);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 4 "Sei " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart: " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "p:=sum(i*x^i,i=1..3)+y+(x+1)*y^ 2*z+a*x*z+y*z+x*z^2+b*x*z;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 64 "Bet rachte die verschiedenen Zusammenfassungen der Koeffizienten:" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 18 "Als Polynom in x:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "collect(p,x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 17 "Als Polynom in y:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "collect(p,y); " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 17 "Als Polynom in z:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "collect(p,z);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 115 "Als Polynom in x, dessen Koeffizienten als Polynom in y \+ betrachtet werden, dessen Koeffizienten Polynome in z sind:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "collect(p,[x,y,z]);" }}}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 115 "Als Polynom in x, dessen Koeffizienten als Polyno m in z betrachtet werden, dessen Koeffizienten Polynome in y sind:" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "collect(p,[x,z,y]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 "Als multivariates Polynom in x,y,z:" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "collect(p,[x,y,z],distributed);" }} }{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 39 "Die Koeffizienten lassen sich mit tels " }{TEXT 278 6 "coeff " }{TEXT -1 7 " bzw. " }{TEXT 279 6 "coef fs" }{TEXT -1 47 " (fuer multivariate Polynome) direkt isolieren:" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "coeff(p,x);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "coeff(p,z^2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 87 "p:=a0+a10*x+a11*x*y+a01*y+a21*x^2*y+5*x;\ncollect(p,[x,y],dist ributed);\ncoeffs(\",[x,y]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 17 "S ehr nuetzlich: " }{TEXT 277 7 "collect" }{TEXT -1 72 " betrachtet be liebige Ausdruecke als Polynome und fasst Terme zusammen:" }}{PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 63 "P:=sin(x)+2*sin(x^2)+a*cos(x^2)+b*sin(x^2)+c *sin(x)+b*cos(x^2);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "collect(P,si n(x));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 73 "Man kann nach unterschi edlichen Argumenten von Funktionen zusammenfassen:" }}{PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 15 "collect(P,sin);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "collect(P,[sin,cos]);" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 31 "Ex pansion und Faktorisierung: " }{TEXT 280 35 "expand, Expand, factor, \+ Factor, mod" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 281 7 "Expand " }{TEXT -1 42 " ist die inerte Expansion. Sie wird von " }{TEXT 282 3 "mod" } {TEXT -1 4 " ( " }{TEXT 283 7 "m mod n" }{TEXT -1 82 " = m modulo n) \+ verstanden und ist dann schneller als wirkliche Expansion mittels " } {TEXT 284 6 "expand" }{TEXT -1 2 " :" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 39 "K oeffizienten werden modulo 2 genommen:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "(2*x^2+3*x+5) m od 2;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 41 "time(expand((x+23) ^1000) mod 2)*Sekunden;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 41 "time(Exp and((x+23)^1000) mod 2)*Sekunden;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 81 "Faktorisierung wird ueber ganzzahligen bzw. rationalen Koeffizient en ausgefuehrt:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "factor( x^5-1/10 ^5 );" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 134 "Nach Konstruktion hat d as folgende Polynom keine rationalen Nullstellen und erlaubt keine Fak torisierung mit rationalen Koeffizienten:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 41 "p:=expand( (x+1-sqrt(3))*(x+1+sqrt(3)) );" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "factor(p);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 110 "Will man Faktoren mit Koeffizienten aus einem Koerper en dlicher Charakteristik finden, so muss man das inerte " }{TEXT 285 6 " Factor" }{TEXT -1 25 " benutzen, welches von " }{TEXT 303 3 "mod" } {TEXT -1 19 " verarbeitet wird:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "Factor(p); \" mod 3;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 15 "In der T at gilt" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "Expand(\") mod 3;" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "wobei" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "(p-\") mod 3;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 21 "Ein anderes Beispiel:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "factor(x^ 10+x+2);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "Factor(x^10+x+2) mod 2; " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 151 "Weiteres zur Faktorisierung: statt ueber den Integern (bzw. den rationalen Zahlen) zu faktorisiere n, kann man ueber Koerpererweiterungen faktorisieren:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "restart;p:=x^4-x+2;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "solve(\",x);alias(alpha=\");" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 13 "Das Polynom " }{TEXT 304 1 "p" }{TEXT -1 56 " besitz t keine Faktoren mit ganzzahligen Koeffizienten:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "factor(p);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 18 "An dererseits ist " }{TEXT 305 5 "alpha" }{TEXT -1 143 " sicherlich ein e Nullstelle, so dass sich mindestens ein Linearfaktor abspalten laess t. Die Suche nach Faktorpolynomen mit Koeffizienten in Z[" }{TEXT 306 5 "alpha" }{TEXT -1 50 "] liefert (ganzzahlige Vielfache von Potenzen \+ von " }{TEXT 307 5 "alpha" }{TEXT -1 19 " sind nun erlaubt):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "factor(p,alpha);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "Test:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "expand(\"); " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "simplify(\");" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 37 "Zusammenfassung anderer Ausdruecke: " } {TEXT 286 7 "combine" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "help (combine);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 14 "Die Funktion " } {TEXT 287 7 "combine" }{TEXT -1 99 " fasst diverse Ausdruecke zusamme n, falls geeignete Additions/Multiplikations-Theoreme existieren:" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "expr1:=combine( exp(x)*exp(y));" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 41 "expr2:=combine( exp(x)*sin(x)*cos(x ) +2);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "expr3:=combine( cos(x)^10 -10 );" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 27 "Der folgende Ausdruck w ird " }{TEXT 292 5 "nicht" }{TEXT -1 29 " unmittelbar zusammengefasst: " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "combine( x^a*x^(-2)*x^b );" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 10 "Man kann " }{TEXT 291 7 "combine " }{TEXT -1 40 " mittels Optionen aber gezielt steuern:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 "expr4:=combine(x^a*x^(-2)*x^b,power);" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 25 "Expansion fuehrt zurueck:" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 56 "expand(expr1);expand(expr2);expand( expr3);expand(expr4);" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 30 "Der un iverselle Konvertierer: " }{TEXT 289 8 " convert" }{TEXT -1 1 " " }} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "Es existiert ein Konvertierer " } {TEXT 288 7 "convert" }{TEXT -1 28 " mit vielen Moeglichkeiten:" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "help(convert);" }}}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 10 "Beispiele:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "s qrt(2);convert(\",RootOf);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "A:=array(0..1,0..1,sparse):print(A);type(A,matrix);" }}{PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "B:=convert(A,matrix);type(B,matrix);" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 "Konvertierung in Binaerdarstellung :" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "convert(16,base,2);" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 22 "Partialbruchzerlegung:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "r:=1/(x-1)^4/(x^2-2)^2;" }}{PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 21 "convert(r,parfrac,x);" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 31 "Der universelle Vereinfacher: " }{TEXT 290 8 "simplify" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 16 "Der Simplifier " }{TEXT 293 8 " simplify" }{TEXT -1 119 " wird oft benoetigt, wenn die automatischen Vereinfacher zu komplizierte Ausdruecke liefern. \nEin einfaches Beis piel:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "sqrt(2)*sqrt(3)-sqrt(6);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "simplify(\");" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 22 "Ein weiteres Beispiel:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "x^a*x^b* sqrt(x)/x^(a+b+1/2);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "simplify(\" );" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 22 "Und noch ein Beispiel:" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "(x+1)^(4/3)-x* (x+1)^(1/3);" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "simplify(\");" }}}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 77 "Gewisse Vereinfachungsalgorithmen lassen sich mit \+ Optionen gezielt ansteuern:" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "help(simplify[trig]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 "Im folgenden Ausdruck wird gezielt nur der trigonometrisc he Teilausdruck vereinfacht:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 61 "sim plify( sqrt(2)*sqrt(3)-sqrt(6)*(sin(x)^2+cos(x)^2),trig );" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 295 42 "Ein nicht ganz so triviales Beispiel fue r " }{TEXT 294 8 "simplify" }{TEXT 296 2 " :" }{TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 117 "Das folgende Polynom ist das charakteristische Polynom einer symmetrischen Matrix und hat demnach nur reelle Wurzeln :" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "p:=x^3-23/15*x^2+127/720*x-1/2160;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "loesungen:=[solve(p,x)];" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 70 "Zunaechst sieht es so aus, als waeren die Loesungen nic ht reell, z.B.:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "evalc(loesungen[ 1]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 137 "Hierbei wurden die kompl exen Wurzeln (%1)^(1/3) mittels Polarkoordinaten berechnet, daher tau chen die trigonometrischen Ausdruecke auf. " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "simplify(\");" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 127 "Beachte die Koeffizienten vor den sin und cos - Termen, die imm er noch nicht einheitlich sind. Erst eine weiterer Aufruf von " } {TEXT 297 9 "simplify " }{TEXT -1 87 " laesst den Imaginaerteil versch winden und liefert eine reelle Darstellung der Loesung:" }}{PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "ErsteLoesung:=simplify(\");" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 69 "Nun soll verifiziert werden, dass dies wirklich eine Nullstelle von " }{TEXT 299 2 "p " }{TEXT -1 5 " ist:" } {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "subs(x=ErsteLoe sung,p);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "simplify(\");" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 179 "Beachte dass cos(..) und (c os(..) )^3 auftauchen. Um diese Terme miteinander vergleichen zu koenn en, sollte (cos(..))^3 zu einem einzelen cos( )-Term zusammengefass t werden:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "combine(\",trig);" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 13 "Ein letztes " }{TEXT 302 8 "simpl ify" }{TEXT -1 26 " vereinfacht die Wurzeln:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "simplify(\");" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 301 16 "Zusammengefasst:" }{TEXT -1 54 " die folgende Rechnung konvertiert alle Loesungen in " }{TEXT 298 9 "loesungen" }{TEXT -1 93 " in eine reelle Darstellung und verifiziert, dass das Ergebnis wirklich eine N ullstelle von " }{TEXT 300 2 " p" }{TEXT -1 6 " ist:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 207 "for i to 3 do \n evalc(loesungen[i]);\n Wurzel[ i]:=simplify(simplify(\"));\n print(evaln(Wurzel[i])=Wurzel[i]);\n sim plify(subs(x=Wurzel[i],p));\n print(`Eingesetzt in das Polynom: `.(sim plify(combine(\",trig))) );" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 3 "od:" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 42 "Eine weitere interessante Eigen schaft von " }{TEXT 308 8 "simplify" }{TEXT -1 146 " : man kann modulo Nebenbedingungen vereinfachen. Im folgenden Beispiel werden die Poten zen in y und z mit Hilfe der Nebenbedingungen verkleinert:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 47 "simplify( x^6+y^6+z^3 , \{y^6+y^2=0, z^2-z=1\} );" }}}}}}{MARK "2 " 0 }{VIEWOPTS 1 1 0 3 2 1804 }