Dieses Resultat läßt sich auch anders formulieren:
Die Primzahlfunktion
(x), die die Anzahl der Primzahlen
kleiner als x angibt, strebt gegen Unendlich, falls dies auch für
x gilt. Ein genaueres Verhalten der Funktion (x)
lag lange Zeit im Dunkeln. Gauß vermutete bereits als Fünfzehnjähriger
(1792), daß sich der Quotient (x)
/ (x/log x) dem Wert 1 beliebig nähert, wenn x gegen
Unendlich strebt. Doch erst 1896 konnte dieses Ergebnis bewiesen werden.
Dieser sogenannte Primzahlsatz läßt sich auch statistisch
interpretieren: Die Wahrscheinlichkeit für eine natürliche Zahl
der Größenordnung x, eine Primzahl zu sein, ist ungefähr
1/log x, d.h. in einem Intervall um x der Länge a
liegen etwa a/log x Primzahlen. (Damit dies statistisch sinnvoll
ist, sollte a genügend groß, aber klein im Vergleich
zu x sein.) Entsprechend ist die Wahrscheinlichkeit dafür,
daß zwei zufällig (in der Umgebung von x) gewählte
Zahlen beide Primzahlen sind, etwa 1/(log x)2. Bezogen
auf Primzahlzwillinge, d.h. Paare von Primzahlen, deren Differenz
2 ist, bedeutet dies, daß in Intervallen der genannten Art
a/(log x)2 Primzahlzwillinge zu erwarten sind. (In Wirklichkeit
etwas mehr, da die Tatsache, daß n prim ist, die Wahrscheinlichkeit
für n+2, prim zu sein, verändert (z.B. ist n+2
dann sicher ungerade).) Heuristische Überlegungen führen zur Formel |
C · a/(log x)2 mit C=1,3203236316...
für die Anzahl der Primzahlzwillinge zwischen x und x+a.
Numerische Rechnungen liefern überraschende Übereinstimmungen
mit der Theorie, überraschend insbesondere für Primzahlzwillinge,
da noch nicht einmal bekannt ist, ob unendlich viele Primzahlzwillinge
existieren.
Primzahltest - Herausforderung für schnelles Rechnen
Die Primzahlen gehören trotz ihrer einfachen Definition zu den
willkürlichsten und widerspenstigsten Objekten der Mathematik. Sie
scheinen keinem anderen Gesetz als dem Zufall unterworfen, und es gibt
keine Formel, aus der man ablesen kann, ob eine Zahl N einePrimzahl
ist oder nicht. Gewiß, diese Entscheidung läßt sich herbeiführen,
indem man N nacheinander versuchsweise durch jede Primzahl teilt,
die kleiner als Wurzel aus N ist. Geht keine dieser Divisionen auf,
ist N eine Primzahl. Der gravierendste Nachteil dieser Methode:
Um mit ihr eine 100-stellige Zahl zu prüfen, braucht der schnellste,
zur Zeit verfügbare Prozessor im ungünstigsten Fall mehr als
1036 Jahre. |