LÖSUNG LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME MIT DEM AUSTAUSCHVERFAHREN

GLS:

A · \underline{x} = \underline{y} (1)
∈  IR^{m,n} IR^{n}  IR^{n}
geg.  \underline{ges.}  geg.

Umformung:

A · \underline{x} = \underline{y}
⇔  0 = A · \underline{x} − \underline{y}

⇔  = A · \underline{x} − \underline{y}  (2.1) ∧

= (2.2)

Man sucht \underline{x} (∈ IR^{n}) und derart, daß (2.1) und (2.2) gleichzeitig erfüllt werden. Idee dazu:

• (2.1) als Austauschtableau schreiben

• die als “freie” Variable nach oben tauschen

Erstes Austauschtableau:

\begin{aligned}T 0 & \underline{x}^{⊤} & 1 \\ & A \end{aligned} bzw. ausführlich T 0  x_{1} … x_{n}  1 ; \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{matrix}

Beispiel:

\begin{aligned}2x_{1} & + & 4x_{2} & = & 2 \\ 3x_{1} & + & 6x_{2} & = & 3 \end{aligned}

T 0 x_{1} x_{2} 1 ; 2  4 3  6 ; ∗ −2 1  T 1  x_{2}  1 ; \begin{matrix}1/2 & −2 \\ 3/2 & 0 \end{matrix} ; ∗  −2 1

Allgemeine Form des Ergebnistableaus:

z_{1} … z_{r} x_{r+1} … x_{n} 1
x_{1} ; ⋮ ; x_{r}  M^{11}  M^{12}  b_{1} ; ⋮ ; b_{r}  } (I) oberer
z_{r+1} ; ⋮ ; z_{m}  M^{21}  c_{1} ; ⋮ ; b_{d}  } (II) unterer
(l) linker (M) mittlerer (R) rechter Tableauteil

kurz:

Erläuterungen:

1. Die sind “frei”, können also – wie gewünscht – mit dem Wert 0 belegt werden. Daher braucht in der Rechnung nicht mitgeführt zu werden (Streichung der Pivot ).

2. Beurteilung der Lösbarkeit:

} ⇔ GLS (1) ist lösbar } ⇔ GLS (1) ist unlösbar

3. Bei Lösbarkeit: Ablesen der Lösung

Lösung  erkennbar: Ablesen:
eindeutig:  \underline{x}= \underline{x}^{B} =

r = n mehrdeutig:

r < n  \underline{x}