Chr.Nelius , Mathematik für Informatiker I, (WS 2000/01) 16.2.2001

Das Ergebnis (10.37) motiviert die folgende Begriffsbildung:

\underline{(11.4) DEF:} K sei ein Körper und V ein K–Vektorraum. Eine Teilmenge U ⊆ V heißt ein Unter(vektor)raum von V, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

U_{1}) o_{V} ∈ U

U_{2}) ∀ u, u′ ∈ U : u + u′ ∈ U

U_{3}) ∀ a ∈ K ∀ u ∈ U : a · u ∈ U.

\underline{(11.5) BEISPIELE:} a) Sei A ∈ M_{m,n}(K) . Dann ist die Lösungsmenge Lös(A, o_{m}) ⊆ K^{n} des homogenen LGS’s Ax = o_{m} nach (10.37) ein Unterraum von K^{n}.

b) In jedem K–Vektorraum V sind die Teilmengen {o_{V} } und V Unterräume von V. Der Unterraum, der nur aus dem Nullvektor besteht, heißt der Nullraum.

c) U := \{ ( \begin{matrix}r \\ 0 \end{matrix} ) | r ∈ IR \} ⊆ IR^{2} ist ein Unterraum von IR^{2}.

d) Sei v_{0} ∈ V ein fester Vektor. Dann ist

U := { a · v_{0} | a ∈ K } ⊆ V

ein Unterraum von V. U heißt der von v_{0} erzeugte Unterraum von V.

e) Seien v_{1} := ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ) und v_{2} := ( \begin{matrix}−1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) zwei Vektoren aus IR^{3}. Dann ist U :=

{a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2} | a_{1}, a_{2} ∈ IR } ⊆ IR^{3} ein Unterraum von IR^{3}. Ein Element aus U heißt eine Linearkombination von v_{1} und v_{2}. U heißt auch der von der Teilmenge {v_{1}, v_{2}} erzeugte Unterraum von IR^{3}.

\underline{(11.6) BEM:} Ein Unterraum U ⊆ V eines K–Vektorraumes V ist für sich selbst betrachtet wieder ein K–Vektorraum.

\underline{(11.7) SATZ:} K sei ein Körper, V ein K–Vektorraum und E := \{ v_{1}, v_{2}, …, v_{n}\} ⊆ V eine endliche nichtleere Teilmenge von V. Dann ist die Menge

L_{K}(E) := { a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2} + … + a_{n}v_{n} | a_{1}, a_{2}, …, a_{n} ∈ K } ⊆ V

ein Unterraum von V, und es gilt E ⊆ L_{K}(E).

L_{K}(E) heißt der von E erzeugte Unterraum von V. Ein Element aus L_{K}(E) heißt eine Linearkombination der Vektoren v_{1}, v_{2}, …, v_{n}. Man schreibt auch L_{K}(E) = L_{K}(v_{1}, v_{2}, …, v_{n}). Außerdem definiert man L_{K}(∅) := { o_{V} }.

\underline{(11.8) BEISPIELE:} a) E = \{v\} ⊆ V ⟹ L_{K}(v) = \{av|a ∈ K\} =: Kv. Insbesondere L_{K}(o_{V}) = {o_{V} }.

b) E = {v_{1}, v_{2}} ⊆ V ⟹ L_{K}(v_{1}, v_{2}) = {a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2}| a_{1}, a_{2} ∈ K}

c) Betrachtet man K als K–Vektorraum, so gilt L_{K}(1_{K}) = K , also L_{IR}(1) = IR , L_{ZZ_{2}}(1_{ZZ_{2}}) = ZZ_{2} .

d) Sei E := {e_{1}, e_{2}, e_{3}} ⊆ IR^{3} die Teilmenge, die aus den 3 Einheitsvektoren aus IR^{3} besteht. Dann gilt L_{IR}(E) = IR^{3}.

\underline{(11.9) DEF:} K sei ein Körper und V ein K–Vektorraum. Eine (endliche) Teilmenge E ⊆ V heißt ein Erzeugendensystem (abgekürzt: EZS) von V, wenn L_{K}(E) = V gilt.

\underline{(11.10) BEISPIELE:} a) \{e_{1}, e_{2}, e_{3}\} ist ein EZS von IR^{3}. Dies gilt auch für K^{3}.

b) Die Menge {e_{1}, e_{2}, …, e_{n}} ⊆ K^{n} der Einheitsvektoren in K^{n} ist ein EZS von K^{n}.

c) { 1_{K}} ist ein EZS von K.

d) { o_{V} } und ∅ sind EZS’e des Nullraumes { o_{V} }.

Bei einem EZS E ⊆ V können unterschiedliche Fälle auftreten:

a) Jeder Vektor aus V läßt sich auf genau eine Art als Linearkombination der Vektoren aus E darstellen

b) Es gibt Vektoren, die sich auf verschiedene Arten als Linearkombination der Vektoren aus E darstellen lassen.

Ende WS 2000/01 — Fortsetzung im SS 2001

\underline{(11.11) SATZ:} Sei V ein K–Vektorraum. Für Vektoren v_{1}, v_{2}, …, v_{n−1}, v_{n} ∈ V gilt: L_{K}(v_{1}, v_{2}, …, v_{n−1}, v_{n}) = L_{K}(v_{1}, v_{2}, …, v_{n−1}) ⟺ v_{n} ∈ L_{K}(v_{1}, v_{2}, …, v_{n−1}) \underline{(11.12) DEF:} Sei V ein K–Vektorraum. Eine endliche Teilmenge T = \{v_{1}, v_{2}, …, v_{n−1}, v_{n}\} ⊆ V heißt linear abhängig (über K), wenn sich mindestens ein Vektor aus T als Linearkombination der übrigen Vektoren aus T darstellen läßt. Anderenfalls heißt T linear unabhängig (über K). Es wird festgesetzt, daß die leere Menge ∅ linear unabhängig über K ist.

\underline{(11.13) SATZ:} Kriterium für die lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit Sei V ein K–Vektorraum und T = {v_{1}, v_{2}, …, v_{n}} ⊆ V :

a) T ist genau dann linear abhängig, wenn es Skalare a_{1}, …, a_{n} ∈ K gibt, die nicht alle 0

sind, so daß ∑_{i=1}^{n} a_{i}v_{i} = a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2} + … + a_{n}v_{n} = o_{V} gilt.

b) T ist genau dann linear unabhängig, wenn für beliebige Skalare a_{1}, …, a_{n} ∈ K mit

∑_{i=1}^{n} a_{i}v_{i} = a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2} + … + a_{n}v_{n} = o_{V} folgt, daß alle a_{1}, …, a_{n} Null sind.