Chr.Nelius , Mathematik für Informatiker I, (WS 2000/01) 12.2.2001

\underline{(10.35) SATZ:} Seien A ∈ M_{m,n}(K) und b ∈ K^{m}, und es sei v_{0} ∈ K^{n} eine Lösung des LGS’s Ax = b. Dann gilt:

Lös(A, b) = { v_{0} + w | w ∈ Lös(A, o) }

\underline{(10.36) BEM:} In (10.35) nennt man v_{0} ∈ K^{n} eine spezielle Lösung des LGS’s Ax = b . Die allgemeine Lösung v des LGS’s Ax = b läßt sich dann in der Form

v = v_{0} + w

darstellen, wobei w eine Lösung des zugehörigen homogenen LGS’s Ax = o ist. \underline{(10.37) SATZ:} Es sei A ∈ M_{m,n}(K) eine Matrix und o_{m} ∈ K^{m} der Nullvektor. Die Lösungsmenge L := Lös(A, o_{m}) ⊆ K^{n} des homogenen LGS’s Ax = o_{m} besitzt dann die folgenden Eigenschaften:

a) ∀ v, w ∈ L : v + w ∈ L b) ∀ a ∈ K ∀ v ∈ L : av ∈ L c) o_{n} ∈ L L ist also abgeschlossen gegenüber der Addition und Skalarmultiplikation auf K^{n} und enthält die Nullspalte aus K^{n}.

§11. Vektorräume

\underline{(11.1)) DEF:} Sei K ein Körper und V eine Menge mit einer Addition + : V × V ⟶ V , (v, w) ⟼ v + w ∈ V und einer skalaren Multiplikation ·_{K} : K × V ⟶ V , (a, v) ⟼ av ∈ V . Dann heißt (V, +, ·_{K}) ein K–Vektorraum (oder ein Vektorraum über K), wenn folgende Eigenschaften gelten:

a) Für die Addition: A_{0}) ∀v, w ∈ V : v + w ∈ V A_{1}) ∀u, v, w ∈ V : u + (v + w) = (u + v) + w A_{2}) ∀v, w ∈ V : v + w = w + v A_{3}) ∃ o_{V} ∈ V ∀v ∈ V : v + o_{V} = v A_{4}) ∀v ∈ V ∃w ∈ V : v + w = o_{V}

b) Für die skalare Multiplikation: SM_{0}) ∀c ∈ K ∀v ∈ V : cv ∈ V SM_{1}) ∀c ∈ K ∀v, w ∈ V : c(v + w) = cv + cw SM_{2}) ∀c, d ∈ K ∀v ∈ V : (c + d)v = cv + dv SM_{3}) ∀c, d ∈ K ∀v ∈ V : c(dv) = (cd)v SM_{4}) ∀v ∈ V : 1_{K} · v = v BEZEICHNUNGEN: (V, +, ·_{K}) sei ein K–Vektorraum. Die Elemente aus V heißen Vektoren, die Elemente aus K Skalare. Das Element o_{V} aus A_{3}) heißt Nullvektor von V. Er ist eindeutig bestimmt. Das Element w in A_{4}) heißt der zu v negative Vektor. Er ist eindeutig bestimmt und wird mit \underline{−v} bezeichnet. Die Differenz zweier Vektoren ist definiert durch: \underline{v − w} := v + (−w) .

\underline{(11.2) BEISPIELE:} a) Ist K ein Körper, so ist die Menge M_{m,n}(K) aller (m × n)– Matrizen mit Elementen aus K nach (10.5) ein K–Vektorraum. Dabei sind m und n beliebige natürliche Zahlen. Also z.B.: M_{4,5}(Q) ist ein Q–Vektorraum M_{5}(IR) ist ein IR–Vektorraum M_{4,3}(ZZ_{7}) ist ein ZZ_{7}–Vektorraum.

b) Spezialfall von a): Der K–Vektorraum K^{m} := M_{m,1}(K) aller Spalten aus m Elementen von K. Addition und Skalarmultiplikation sind komponentenweise definiert. Etwa:

IR^{3} = \{ ( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix} ) | a_{1}, a_{2}, a_{3} ∈ IR \} ist ein IR–Vektorraum

Q^{2} = \{ ( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \end{matrix} ) | a_{1}, a_{2} ∈ Q \} ist ein Q–Vektorraum

ZZ_{2}^{4} = \{ ( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \\ a_{4} \end{matrix} ) | a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} ∈ ZZ_{2} \} ist ein ZZ_{2}–Vektorraum

c) Jeder Körper K ist ein K–Vektorraum: IR ist ein IR–Vektorraum, Q ist ein Q–Vektorraum, ZZ_{13} ist ein ZZ_{13}–Vektorraum

d) IR ist ein Q–Vektorraum

e) Die Menge F(K) aller unendlichen Folgen von Elementen aus K ist ein K–Vektorraum. Zwei Folgen (a_{n})_{n∈IN} und (b_{n})_{n∈IN} werden “gliedweise“ addiert, d.h. (a_{n})_{n∈IN} + (b_{n})_{n∈IN} := (a_{n} + b_{n})_{n∈IN} ∈ F(K) und c · (a_{n})_{n∈IN} := (c · a_{n})_{n∈IN} ∈ F(K) .

f) Die Vektoren der Ebene (bzw. des Raumes) bilden einen Vektorraum über IR. \underline{(11.3) SATZ:} K sei ein Körper. In einem K–Vektorraum V gelten die folgenden Rechenregeln:

a) ∀ v ∈ V : o_{K} · v = o_{V}

b) ∀ a ∈ K : a · o_{V} = o_{V}

c) ∀ a ∈ K ∀ v ∈ V : a · v = o_{V} ⟺ (a = 0_{K} ∨ v = o_{V})

d) ∀ v ∈ V : (−1_{K}) · v = − v.