Chr.Nelius , Mathematik für Informatiker I, (WS 2000/01) 9.2.2001

\underline{(10.30) BEISPIEL:} Wir wollen an einigen Beispielen das unterschiedliche Lösungsverhalten von linearen Gleichungsszstemen darstellen. Es sei A eine (m×n)–Matrix über IR und b ∈ IR^{m}. Zur Lösung des LGS’s Ax = b bringen wir die erweiterte Koeffizientenmatrix (A, b) mit dem Gauß-Algorithmus auf Treppenform. Das Ergebnis ist die erweiterte Koeffizientenmatrix (T (A), c) des Systems T (A)x = c, das nach (10.29) dieselbe Lösungsmenge wie das Ausgangssystem hat. Durch “Rückwärtseinsetzen“ bestimmen wir dann die Lösungen, falls das System überhaupt lösbar ist.

a)

A  b_{1 1 −1 0 1}_{2 1 1 −1 0}_{−1 0 −1 2 −1}_{2 2 −1 1 0}_{1 0 0 −3 3}_{0 1 0 4 −4}_{0 0 1 1 −2}_{0 0 0 0 0}_{T (A)  c}

Lös(A, b) = \{( \begin{matrix}3 + 3r \\ −4 − 4r \\ −2 − r \\ r \end{matrix} ) | r ∈ IR \}

1 frei wählbarer Parameter

rg(A) = 3 = rg(A, b)

b)

A  b_{1 1 −1 0 1}_{2 1 1 −1 0}_{−1 0 −1 2 −1}_{2 2 −1 1 1}_{1 0 0 3 0}_{0 1 0 −4 0}_{0 0 1 1 0}_{0 0 0 0 1}_{T (A)  c}

Lös(A, b) = ∅ (keine Lösung)

rg(A) = 3 ≠ 4 = rg(A, b)

c)

A  b_{1 1 −1 0 1 2}_{2 1 1 −1 0 1}_{−1 0 −1 2 2 2}_{2 2 −1 1 3 5}_{1 0 0 −3 −3 −3}_{0 1 0 4 5 6}_{0 0 1 1 1 1}_{0 0 0 0 0 0}_{T (A)  c}

Lös(A, b) = \{( \begin{matrix}−3 + 3r + 3s \\ 6 − 4r − 5s \\ 1 − r − s \\ r \\ s \end{matrix} ) | r, s ∈ IR \}

2 frei wählbare Parameter

rg(A) = 3 = rg(A, b) d)

A  b_{1 1 −1 0 1 2}_{2 1 1 −1 0 1}_{−1 0 −1 2 2 2}_{1 0 0 −3 −3 −3}_{0 1 0 4 5 6}_{0 0 1 1 1 1}_{T (A)  c}

Lös(A, b) = \{( \begin{matrix}−3 + 3r + 3s \\ 6 − 4r − 5s \\ 1 − r − s \\ r \\ s \end{matrix} ) | r, s ∈ IR \}

2 frei wählbare Parameter rg(A) = 3 = rg(A, b) rg(A) = Zeilenzahl von A

e)

A  b_{1 1 −1 0}_{2 1 1 −1}_{−1 0 −1 2}_{2 2 −1 1}_{1 0 0 −3}_{0 1 0 4}_{0 0 1 1}_{0 0 0 0}_{T (A)  c}

Lös(A, b) = \{ ( \begin{matrix}−3 \\ 4 \\ 1 \end{matrix} ) \}

genau eine Lösung kein frei wählbarer Parameter rg(A) = 3 = rg(A, b) rg(A) = Spaltenzahl von A

f)

A b_{1 1 −1 0}_{2 1 1 −1}_{−1 0 −1 2}_{1 0 0 −3}_{0 1 0 4}_{0 0 1 1}_{T (A) c}

Lös(A, b) = \{ ( \begin{matrix}−3 \\ 4 \\ 1 \end{matrix} ) \}

genau eine Lösung kein frei wählbarer Parameter rg(A) = 3 = rg(A, b) A ist invertierbar rg(A) = Zeilenzahl von A = Spaltenzahl von A

\underline{(10.31) SATZ:} Seien A ∈ M_{m,n}(K) und b ∈ K^{m}. Genau dann ist das LGS Ax = b lösbar, wenn rg(A) = rg(A, b) ist.

\underline{(10.32) FOLG:} Seien A ∈ M_{m,n}(K) und b ∈ K^{m}. Ist das LGS Ax = b lösbar, so hängt jeder Lösungsvektor von n − r frei wählbaren Parametern ab.

\underline{(10.33) FOLG:} Seien A ∈ M_{m,n}(K) und b ∈ K^{m}.

a) Gilt rg(A) = m (Zeilenzahl von A), so besitzt das LGS Ax = b mindestens eine Lösung.

b) Gilt rg(A) = n (Spaltenzahl von A), so besitzt das LGS Ax = b höchstens eine Lösung.

c) Gilt rg(A) = m = n (Zeilen– bzw. Spaltenzahl von A), so besitzt das LGS Ax = b genau eine Lösung.

\underline{(10.34) FOLG:} Ein homogenes LGS Ax = o ∈ K^{m} besitzt immer eine Lösung, nämlich den Nullvektor aus K^{n}.

12.2.2001

\underline{(10.35) SATZ:} Seien A ∈ M_{m,n}(K) und b ∈ K^{m}, und es sei v_{0} ∈ K^{n} eine Lösung des LGS’s Ax = b. Dann gilt:

Lös(A, b) = { v_{0} + w | w ∈ Lös(A, o) } ⊆ K^{n}

\underline{(10.36) BEM:} In (10.35) nennt man v_{0} ∈ K^{n} eine spezielle Lösung des LGS’s Ax = b . Die allgemeine Lösung v des LGS’s Ax = b läßt sich dann in der Form

v = v_{0} + w

darstellen, wobei w eine Lösung des zugehörigen homogenen LGS’s Ax = o ist.