Chr.Nelius , Mathematik für Informatiker I, (WS 2000/01) 29.1.2001

e) Ein Beispiel zur Matrizenmultiplikation

Ein Betrieb stellt aus den beiden Rohstoffen R_{1} und R_{2} die Halbprodukte H_{1}, H_{2}, H_{3} her und aus diesen die Endprodukte E_{1}, E_{2}. Der dafür benötigte Materialverbrauch (in Mengeneinheiten) ist durch die folgenden Tabellen gegeben:

(1) \begin{matrix}& H_{1} & H_{2} & H_{3} \\ R_{1} & 2 & 1 & 6 \\ R_{2} & 4 & 1 & 3 \end{matrix}  (2)  \begin{matrix}& E_{1} & E_{2} \\ H_{1} & 2 & 3 \\ H_{2} & 7 & 9 \\ H_{3} & 4 & 5 \end{matrix}

Frage: Wieviel Rohstoffe werden zur Herstellung der Endprodukte benötigt? Der Bedarf an R_{1} für die Herstellung von E_{1} berechnet sich folgendermaßen: Nach (2) wird für E_{1} benötigt: 2H_{1} + 7H_{2} + 4H_{3}. Der Bedarf an R_{1} für die einzelnen Halbprodukte ergibt sich aus (1): 2(2R_{1}) + 7(1R_{1}) + 4(6R_{1}) = (2 · 2 + 7 · 1 + 4 · 6)R_{1} = 35 R_{1} Bedarf von R_{2} für E_{1}: Zunächst 2H_{1} + 7H_{2} + 4H_{3} und damit: 2(4R_{2}) + 1(1R_{2}) + 4(3R_{2}) = (2 · 4 + 1 · 1 + 4 · 3)R_{2} = 27 R_{2} Entsprechend: 45R_{1} für E_{2} und 36R_{2} für E_{2}. Als Tabelle geschrieben:

(3) \begin{matrix}& E_{1} & E_{2} \\ R_{1} & 35 & 45 \\ R_{2} & 27 & 36 \end{matrix}

Mathematische Interpretation:

Tabelle (1) liefert die (2 × 3)–Matrix A = ( \begin{matrix}2 & 1 & 6 \\ 4 & 1 & 3 \end{matrix} ) Tabelle (2) liefert die (3 × 2)–

Matrix B = ( \begin{matrix}2 & 3 \\ 7 & 9 \\ 4 & 5 \end{matrix} )

Die (2×2)–Matrix C, die zur Tabelle (3) gehört, ist dann gerade das Matrizenprodukt A·B:

A · B = ( \begin{matrix}2 & 1 & 6 \\ 4 & 1 & 3 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}2 & 3 \\ 7 & 9 \\ 4 & 5 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2 · 2 + 1 · 7 + 6 · 4 & 2 · 3 + 1 · 9 + 6 · 5 \\ 4 · 2 + 1 · 7 + 3 · 4 & 4 · 3 + 1 · 9 + 3 · 5 \end{matrix} ) =

( \begin{matrix}35 & 45 \\ 27 & 36 \end{matrix} ) = C

\underline{(10.9) SATZ:} a) Die Matrizenmultiplikation ist assoziativ.

b) Die Matrizenmultiplikation ist i.a. nicht kommutativ.

c) Es gelten die Distributiv–Gesetze für die Addition und Multiplikation von Matrizen.

d) Für c ∈ K gilt c(AB) = (cA)B = A(cB)

e) Es gilt E_{m} · B = B ∀ B ∈ M_{m,n}(K) Es gilt A · E_{n} = A ∀ A ∈ M_{m,n}(K)

\underline{(10.10) BEM:} Sei K ein Körper und n ∈ IN, n ≥ 2.

a) (M_{n}(K), +, ·) ist ein (nichtkommutativer) Ring.

b) Sei m ∈ IN_{0}. Die m–te Potenz A^{m} einer quadratischen Matrix A ∈ M_{n}(K) ist rekursiv definiert durch A^{0} := E_{n} , A^{m+1} := A^{m} · A.

\underline{(10.11) DEF:} Eine quadratische Matrix A ∈ M_{n}(K) heißt invertierbar, wenn es eine Matrix B ∈ M_{n}(K) gibt mit

A · B = E_{n} = B · A

B heißt dann die zu A inverse Matrix und wird mit A^{−1} bezeichnet. GL_{n}(K) bezeichnet die Menge aller invertierbaren (n×n)–Matrizen aus M_{n}(K) (“GL“ kommt von “\underline{G}eneral \underline{L}inear Group“).

Beispiele: E_{2} ∈ M_{2}(IR) ist invertierbar , ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) ∈ M_{2}(IR) ist nicht invertierbar

Probleme: 1) Wie stellt man fest, ob eine Matrix invertierbar ist?

2) Wie berechnet man das Inverse einer invertierbaren Matrix?

\underline{(10.12) SATZ:} Für A, B ∈ GL_{n}(K) gilt:

a) (A^{−1})^{−1} = A b) (A · B)^{−1} = B^{−1} · A^{−1}.

\underline{(10.13) DEF:} a) Sei A = (a_{ik}) \begin{matrix}i = 1, 2, …, m \\ k = 1, 2, …, n \end{matrix} eine (m × n)–Matrix über K. Dann heißt die (n × m)–Matrix ^{t}A := (b_{jl}) \begin{matrix}j = 1, 2, …, n \\ l = 1, 2, …, m \end{matrix} mit b_{jl} := a_{lj} die zu A transponierte Matrix.

b) Eine Matrix A ∈ M_{n}(K) heißt symmetrisch, wenn A = ^{t}A gilt, und antisymmetrisch, wenn A = −^{t}A gilt.

\underline{(10.14) SATZ:} Folgende Aussagen sind richtig:

a) ∀ A ∈ M_{m,n}(K) : ^{t}(^{t}A) = A

b) ∀ A, B ∈ M_{m,n}(K) : ^{t}(A + B) = ^{t}A +^{t}B

c) ∀ c ∈ K ∀ A ∈ M_{m,n}(K) : ^{t}(c · A) = c ·^{t}A

d) ∀ A ∈ M_{m,n}(K) ∀ B ∈ M_{np}(K) : ^{t}(A · B) = ^{t}B ·^{t}A.

e) ∀ A ∈ GL_{n}(K) : ^{t}A ∈ GL_{n}(K) ∧ (^{t}A)^{−1} = ^{t}(A^{−1})

\underline{(10.15) DEF:} Sei A = (a_{ik}) ∈ M_{n}(K) eine quadratische Matrix.

a) A heißt (strikt) obere Dreiecksmatrix, wenn gilt: a_{ik} = 0 für alle i > k (bzw. a_{ik} = 0 für alle i ≥ k. Analog: (Strikt) untere Dreiecksmatrix.

b) A heißt Diagonalmatrix, wenn gilt a_{ik} = 0 für alle i ≠ k. Bezeichnung: A = Diag(a_{11}, a_{22}, …, a_{nn}).

Für die Beschreibung des Gauß-Algorithmus benötigen wir spezielle Matrizen, sog. Basismatrizen. Diese Matrizen haben an genau einer Stelle eine 1 und sonst lauter Nullen.

\underline{(10.16) DEF:} Seien r, s ∈ IN mit 1 ≤ r ≤ m und 1 ≤ s ≤ n. Dann heißt die Matrix

E_{rs} = (δ_{ir}δ_{sk}) \begin{matrix}i = 1, 2, …, m \\ k = 1, 2, …, n \end{matrix} ∈ M_{m,n}(K)

eine (m × n)–Basismatrix.

\underline{(10.17) BEM:} a) Die Matrix E_{rs} hat an der Stelle (r, s) eine 1 und sonst lauter Nullen.

E_{rs} = ( ⋮ ; … 1 …; 0 ⋮ ) ⟵ r–te Zeile

↑ s–te Spalte.

b) A = (a_{ik}) ∈ M_{m,n}(K) ⟹ A = ∑_{i=1}^{m} ∑_{k=1}^{n} a_{ik}E_{ik}

c) E_{rs} · E_{tu} = δ_{st}E_{ru} = \{ \begin{matrix}O & für s ≠ t \\ E_{ru} & für s = t \end{matrix}

d) E_{rs} ∈ M_{m,n}(K) , A ∈ M_{n,p}(K) E_{rs} · A =

r → ( ⋮ ; … 1 …; 0 ⋮ ) · ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1p} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{np} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & … & 0 \\ a_{s1} & … & a_{sp} \\ 0 & … & 0 \end{matrix} ) ⟵ r–te Zeile.

↑ s–te Spalte

(d.h. E_{rs} · A hat die s–Zeile von A als r–te Zeile).

e) Analog hat die Produktmatrix A · E_{rs} die r–te Spalte von A als s–te Spalte und sonst lauter Nullen.

(10.18) DEF:

Elementarmatrizen

Seien i, k ∈ IN mit 1 ≤ i, k ≤ n und i ≠ k.

a) Die Matrix V_{ik} := E_{n} − E_{ii} − E_{kk} + E_{ik} + E_{ki} ∈ M_{n}(K) heißt Vertauschungsmatrix.

b) Für a ∈ K heißt A_{ik}(a) := E_{n} + aE_{ik} ∈ M_{n}(K) Additionsmatrix.

c) Für a ∈ K, \underline{a ≠ 0} heißt D_{i}(a) := E_{n} + (a − 1)E_{ii} ∈ M_{n}(K) Multiplikationsmatrix.

d) Eine Elementarmatrix in M_{n}(K) ist eine der in a) bis c) definierten Matrizen.

2.2.2001

\underline{(10.19) SATZ:} Die Multiplikation einer Matrix A mit einer Elementarmatrix von links bewirkt eine sog. elementare Zeilenumformung. Im einzelnen gilt:

V_{ik} · A Vertauschen der i–ten mit der k–ten Zeile von A

A_{ik}(a) · A Addition des a–fachen der k–ten Zeile von A zur i–ten

Zeile von A

D_{i}(a) · A Multiplikation der i–ten Zeile von A mit a ≠ 0

Die Multiplikation einer Matrix A mit einer Elementarmatrix von rechts bewirkt eine elementare Spaltenumformung. Im einzelnen gilt:

A · V_{ik} Vertauschen der i–ten mit der k–ten Spalte von A

A · A_{ik}(a) Addition des a–fachen der i–ten Spalte von A zur k–ten

Spalte von A

A · D_{i}(a) Multiplikation der i–ten Spalte von A mit a ≠ 0

\underline{(10.20) SATZ:} Eine Elementarmatrix aus M_{n}(K) ist invertierbar. Ihr Inverses ist wieder eine Elementarmatrix.

Es gilt: V_{ik}^{−1} = V_{ik} , A_{ik}(a)^{−1} = A_{ik}(−a) , D_{i}(a)^{−1} = D_{i}(a^{−1}).