Chr.Nelius:Mathematik für Informatiker I (WS 2000/01) 20./24.11.2000

Beispiele für Abbildungen: Eigenschaften: injektiv, surjektiv, bijektiv

Abbildung  injektiv surjektiv bijektiv
1) M := {1, 2, 3}, N := {a, b, c}, f : M ⟶ N − − −

1 ⟼ a , 2 ⟼ b , 3 ⟼ b

2) g : ZZ ⟶ IN_{0} , z ⟼ z^{2}  −  −  −
3) h : IN ⟶ IN , n ⟼ n^{2}  +  −  −
4) k : IR ⟶ IR , k(x) := |x|  −  −  −
5) w : IR_{≥0} ⟶ IR , w(x) = \sqrt{x}  +  −  −
6) p : M × N ⟶ M , (x, y) ⟼ x  (−)  +  (−)

Projektionsabbildung auf M

7) x_{0} ∈ M , q : P(M) ⟶ P(M) (−) (−) (−)

q(U) = \{ \begin{matrix}U & falls x_{0} ∈ U \\ ∅ & sonst \end{matrix}

8) y_{0} ∈ N fest , r : M ⟶ N , x ⟼ y_{0} (−) (−) (−)

konstante Abbildung

9) id_{M} : M ⟶ M , x ⟼ x + + +

identische Abbildung auf M

10) U ⊂ M , i_{U} : U ⟶ M , x ⟼ x + − −

Inklusionsabbildung

11) M = {1, 2, 3, 4} , π : M ⟶ M + + +

π = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{matrix} ) ↓

Permutation der Zahlen 1,2,3,4

12) f : IR ⟶ IR , f(x) = x − 1  +  +  +
13) f_{1} : IR ⟶ IR , x ⟼ x^{2}  −  −  −
13a) f_{2} : IR_{≥0} ⟶ IR , r ⟼ r^{2}  +  −  −
13b) f_{3} : IR ⟶ IR_{≥0} , r ⟼ r^{2}  −  +  −
13c) f : IR_{≥0} ⟶ IR_{≥0} , r ⟼ r^{2}  +  +  +
14) f : IR ⟶ IR , f(x) = x^{3}  +  +  +

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Bemerkungen: Bei den Beispielen 6),7) und 8) können M und N ganz beliebige nichtleere Mengen sein. Daher gelten in gewissen Spezialfällen auch andere Ergebenisse:

6) Im Falle |N| = 1 (d.h. N enthält genau ein Element) ist die Projektion p auch injektiv und damit insgesamt bijektiv.

7) Im Falle |M| = 1 gilt P(M) = {∅, M} , so daß q die identische Abbildung auf P(M) ist. Diese ist bijektiv (s. Beispiel 9) ).

8) Im Falle |M| = 1 ist r injektiv, im Falle |N| = 1 ist r surjektiv, und im Falle |M| = |N| = 1 ist r bijektiv.

Umkehrabbildung im Falle der Bijektivität:

9) (id_{M})^{−1} = id_{M}

11) π^{−1} = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2 \end{matrix} )

12) f^{−1} : IR ⟶ IR , f^{−1}(x) = x + 1

13c) f^{−1}(x) = \sqrt{x}

14) f^{−1}(x) = ^{3} \sqrt{x}