Chr.Nelius:Mathematik für Informatiker I (WS 2000/01) 20.11.2000

\underline{(5.3) DEF:} f : M ⟶ N und g : M′ ⟶ N′ seien Abbildungen. Dann ist die Gleichheit f = g definiert durch:

f = g : ⟺ \{ \begin{matrix}M = M′ \\ N = N′ \\ ∀ x ∈ M : f(x) = g(x) \end{matrix}

Sind f, g : M ⟶ N zwei Abbildungen mit demselben Definitionsbereich und derselben Wertemenge,so gilt:

f = g ⟺ ∀ x ∈ M : f(x) = g(x)
f ≠ g ⟺ ∃ x ∈ M : f(x) ≠ g(x)

\underline{(5.4) DEF:} f : M ⟶ N sei eine Abbildung.

a) Für eine Teilmenge U ⊆ M heißt f(U) := { f(x) | x ∈ U } ⊆ N die Bildmenge von U unter f.

b) Für eine Teilmenge V ⊆ N heißt f^{−1}(V) := { x | x ∈ M, f(x) ∈ V } ⊆ M die Urbildmenge von V unter f.

Achtung: f^{−1}(V) ist die Menge aller Urbilder von allen Elementen aus V. Dies hat nichts mit der Existenz einer Umkehrabbildung zu tun!

\underline{(5.5) DEF:} Sind f : M ⟶ N und g : N ⟶ P Abbildungen, so ist die Abbildung g ∘ f : M ⟶ P definiert durch

(g ∘ f)(x) := g(f(x)) (∀ x ∈ M)

g ∘ f heißt die Hintereinanderausführung von f und g.

\underline{Bemerkung:} Der Graph G_{g∘f} der Hintereinanderausführung ist gleich der Verknüpfung G_{g} ∘ G_{f} der beiden Relationen G_{g} und G_{f}, wie sie in (4.2a) definiert ist, d.h. es gilt G_{g∘f} = G_{g} ∘ G_{f}.

\underline{(5.6) SATZ:} Für Abbildungen f : M ⟶ N , g : N ⟶ P und h : P ⟶ Q gilt

(h ∘ g) ∘ f = h ∘ (g ∘ f)

d.h. es gilt das Assoziativ–Gesetz für die Hintereinanderausführung von Abbildungen.

\underline{(5.7) DEF:} Sei f : M ⟶ N eine Abbildung.

a) f heißt injektiv, wenn verschiedene Elemente aus M stets verschiedene Bildwerte unter f haben.

b) f heißt surjektiv, wenn jedes Element aus N (mindestens) ein Urbild unter f besitzt.

c) f heißt bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist.

Wir schreiben diese Eigenschaften einmal formal auf:

\underline{(5.8) BEM:} Sei f : M ⟶ N eine Abbildung.

a) f injektiv ⟺ ( ∀ x_{1} ∈ M ∀ x_{2} ∈ M : x_{1} ≠ x_{2} ⟹ f(x_{1}) ≠ f(x_{2}) )

⟺ ( ∀ x_{1} ∈ M ∀ x_{2} ∈ M : f(x_{1}) = f(x_{2}) ⟹ x_{1} = x_{2} )

b) f surjektiv ⟺ ( ∀ y ∈ N ∃ x ∈ M : y = f(x) ).

Untersuchung der Beispiele auf Injektivität, Surjektivität bzw. Bijektivität (s. Beispiele, 20./24.11.2000)

Chr.Nelius:Mathematik für Informatiker I (WS 2000/01) 24.11.2000

\underline{(5.9) SATZ:} f : M ⟶ N und g : N ⟶ P seien Abbildungen. Dann gilt:

a) Sind f und g beide injektiv (surjektiv bzw. bijektiv), so ist g ∘ f injektiv (surjektiv bzw. bijektiv).

b) Ist g ∘ f injektiv (surjektiv), so ist f injektiv (g surjektiv).

c) Ist g ∘ f bijektiv, so ist f injektiv und g surjektiv.

\underline{(5.10) SATZ:} Für eine Abbildung f : M ⟶ N sind folgende Aussagen äquivalent:

a) f ist bijektiv

b) Es existiert eine Abbildung g : N ⟶ M mit den Eigenschaften g ∘ f = id_{M} und f ∘ g = id_{N} . Zusatz: Ist f bijektiv, so ist die Abbildung g aus b) eindeutig bestimmt und selbst wieder bijektiv.

\underline{(5.11) DEF:} Die Abbildung f : M ⟶ N sei bijektiv. Dann heißt die eindeutig bestimmte Abbildung g : N ⟶ M mit g ∘ f = id_{M} und f ∘ g = id_{N} die Umkehrabbildung von f oder die zu f inverse Abbildung. Bezeichnung: g = f^{−1}.

Achtung: Nur eine bijektive Abbildung besitzt eine Umkehrabbildung. Die Bezeichnung f^{−1} macht erst dann Sinn, wenn klar ist, daß f bijektiv ist.