Chr.Nelius:Mathematik für Informatiker I (WS 2000/01) 17.11.2000

§5 Abbildungen

\underline{(5.1) DEF:} M und N seien Mengen. Eine Abbildung (oder Funktion) von M nach N ordnet \underline{jedem} Element aus M \underline{genau} ein Element aus N zu.

\underline{Bezeichnungen:} Ist f eine Abbildung von M nach N, so schreibt man dafür f : M ⟶ N . Jedem Element x ∈ M wird genau ein Element y ∈ N zugeordnet: x ⟼ y =: f(x) f(x) heißt der Bildwert von f an der Stelle x oder Bild von x unter f Gilt y = f(x) , so heißt x Urbild von y unter f Eine Abbildung f : M ⟶ N ist also durch 3 Daten bestimmt:

M  Definitionsbereich
N  Wertemenge
x ⟼ f(x) Zuordnungsvorschrift

\underline{Beispiele:} 1) Speziell bei endlichen Mengen läßt sich eine Abbildung dadurch definieren, daß man für jedes Element aus M explizit den Bildwert aus N festlegt: M := {1, 2, 3} , N := {a, b}. Durch f : 1 ⟼ a , 2 ⟼ b , 3 ⟼ a ist eine Abbildung f : M ⟶ N definiert.

2) Die Zuordnungsvorschrift einer Abbildung kann durch eine Formel gegeben sein: g : ZZ ⟶ IN_{0} , g(z) := z^{2} für alle z ∈ ZZ

\underline{(5.2) BEM:} Ist f : M ⟶ N eine Abbildung, so ist

G_{f} := { (x, f(x)) | x ∈ M } ⊆ M × N

eine Teilmange von M × N, also eine Relation zwischen den Mengen M und N. (G_{f} heißt der Graph von f). Dabei gilt (x, y) ∈ G_{f} genau dann, wenn y = f(x) ist, d.h. wenn y Bild von x unter f ist. Dies können wir nun zu einer präziseren Definition einer Abbildung benutzen: Eine Abbildung f : M ⟶ N ist eine Relation f ⊆ M × N mit folgenden Eigenschaften:

i) Jedes x ∈ M besitzt ein Bild unter f in N ii) Sind y_{1}, y_{2} ∈ N Bilder von x unter f, so folgt y_{1} = y_{2}. ( i) und ii) besagen gerade: Jedes x ∈ M hat genau ein Bild in N unter f) Da “ y ist Bild von x unter f“ formal (x, y) ∈ f bedeutet, können wir die obigen Eigenschaften folgendermaßen formulieren:

i) ∀ x ∈ M ∃ y ∈ N : (x, y) ∈ f (f ist linkstotal) ii) ∀ x ∈ M ∀ y_{1} ∈ N ∀ y_{2} ∈ N : (x, y_{1}) ∈ f ∧(x, y_{2}) ∈ f ⟹ y_{1} = y_{2} (f ist rechtseindeutig). Fazit: Eine Abbildung ist eine linkstotale und rechtseindeutige Relation zwischen zwei Mengen. Erfüllt die Relation f ⊆ M × N nur die Bedingung ii), so heißt f auch eine partielle Abbildung.