Chr. Nelius: Mathematik für Informatiker I (WS 2000/01) 6.11.2000

\underline{(3.6) DEF:} Die Potenzmenge einer Menge M ist die Menge aller Teilmengen von M. Sie wird mit P(M) bezeichnet.

Es gilt immer: ∅ ∈ P(M) und M ∈ P(M)

Beispiele:

M  P(M)
∅  {∅} (Diese Menge ist nicht leer!)
{1} {∅, {1}}
{1, 2} {∅, {1}, {2}, {1, 2}}
{1, 2, 3} {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3})}

\underline{(3.7) DEF:} Es sei I eine nichtleere (Index–)Menge. Für jedes i ∈ I sei eine Menge M_{i} gegeben. Man spricht dann von einem Mengensystem (M_{i})_{i∈I}.

a) Die Vereinigungsmenge aller Mengen M_{i} (i ∈ I) ist dann definiert durch

_{i∈I}^{⋃} M_{i} := { x | ∃ j ∈ I : x ∈ M_{j} }

b) Die Durchschnittsmenge aller Mengen M_{i} (i ∈ I) ist dann definiert durch

_{i∈I}^{⋂} M_{i} := { x | ∀ j ∈ I : x ∈ M_{j} }

c) (M_{i})_{i∈I} heißt ein disjunktes Mengensystem, wenn gilt:

∀ i ∈ I ∀ j ∈ I : i ≠ j ⟹ M_{i} ∩ M_{j} = ∅

d) Ist (M_{i})_{i∈I} ein disjunktes Mengensystem, so heißt die Vereinigung über (M_{i})_{i∈I} disjunkte Vereinigung der Mengen M_{i} (i ∈ I) und wird mit

_{i∈I}^{⋃} · M_{i}

bezeichnet.

\underline{(3.8) DEF:} M und N seien Mengen.

a) Ein geordnetes Paar aus einem Element x ∈ M und einem Element y ∈ N wird mit (x, y) bezeichnet. Man nennt x die erste und y die zweite Komponente von (x, y). Die Gleichheit zweier geordneter Paare (x, y) und (x′, y′) ist definiert durch

(x, y) = (x′, y′) : ⟺ x = x′ ∧ y = y′

b) Die Menge M × N := { (x, y) | x ∈ M ∧ y ∈ N } aller geordneten Paare, deren erste Komponente in M und deren zweite Komponente in N liegen, heißt das kartesische Produkt von M und N. Im Falle M = N schreibt man auch M × M = : M^{2}.

(Nach René Descartes (Cartesius),1596–1650)