Chr. Nelius: Mathematik für Informatiker I (WS 2000/01) 3.11.2000

DEF: Menge (Georg Cantor, 1845–1918) Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung von Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einer Gesamtheit. Die Objekte heißen Elemente der Menge.

Es werden folgende Voraussetzungen gemacht:

• Ist M eine Menge und x ein Objekt, so gehört x entweder zu M oder nicht

• Die Elemente einer Menge sind alle voneinander verschieden

• Eine Menge selbst ist wieder als ein Objekt unserer Anschauung oder unseres Denkens anzusehen

• Zwei Mengen sind gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.

Bezeichnung Ist M eine Menge und x ein Objekt, so bedeute \underline{x ∈ M} , daß x ein Element von M ist, und x ∉ M bedeute, daß x nicht Element von M ist. Zur Bezeichnung einer Menge werden geschweifte Klammern benutzt, die um die Elemente gesetzt werden.

Definition einer Menge Wir können eine Menge dadurch definieren, daß wir ihre Elemente aufzählen (meistens bei endlichen Mengen) oder eine Eigenschaft angeben, die genau von ihren Elementen erfüllt sein soll.

• aufzählend (auch extensional) M := {1, 2, 3, 4, 5} ist die Menge der ganzen Zahlen von 1 bis 5

• beschreibend (auch intensional) N := { x | x erfüllt die Eigenschaft E } Häufig wird ein Bereich B angegeben, aus dem x stammen soll N := { x | x ∈ B , x erfüllt die Eigenschaft E } Beispiel: G := { x | x ∈ ZZ , x ist eine gerade Zahl } ist die Menge aller geraden ganzen Zahlen.

Standard–Mengen

IN Menge der natürlichen Zahlen ≥ 1
IN = {1, 2, 3, 4, 5, …}
IN_{0} Menge der natürlichen Zahlen ≥ 0
IN_{0} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
ZZ Menge der ganzen Zahlen
ZZ = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
Q Menge der rationalen Zahlen
Q = \{ r | r = \frac{a}{b} , a, b ∈ ZZ, b ≠ 0\}
IR Menge der reellen Zahlen
∅ eine Menge, die kein Element enthält (leere Menge)

\underline{(3.1) DEF:} Zwei Mengen M und N heißen gleich (in Zeichen M = N), wenn jedes Element aus M auch Element von N ist und umgekehrt.

\underline{(3.2) DEF:} Eine Menge M heißt Teilmenge einer Menge N (in Zeichen: M ⊆ N ), wenn jedes Element von M auch Element von N ist. M heißt echte Teilmenge von N (in Zeichen: M ⊂ N), wenn M ⊆ N und M ≠ N gelten. M ⊈ N bedeutet, daß M keine Teilmenge von N ist.

\underline{(3.3) BEM:} a) Für jede beliebige Menge M gilt: ∅ ⊆ M

b) Für je zwei Mengen M und N gilt: (M = N) ⟺ M ⊆ N und N ⊆ M.