Chr. Nelius: Mathematik für Informatiker I (WS 2000/01) 20.10.2000

Rechenoperationen auf IR

(1.1) Grundeigenschaften von ”+” und ”·” auf IR

Addition

A_{0}) x + y ∈ IR für alle x, y ∈ IR (Abgeschlossenheit)
A_{1}) (x + y) + z = x + (y + z) für alle x, y, z ∈ IR (Assoziativ.G.)
A_{2}) x + y = y + x für alle x, y ∈ IR (Kommutatives G.)
A_{3}) x + 0 = x für alle x ∈ IR (Nullelement)
A_{4}) Zu jedem x ∈ IR gibt es ein y ∈ IR mit x + y = 0

(Existenz von negativen Elementen) Multiplikation

M_{0}) x · y ∈ IR für alle x, y ∈ IR (Abgeschlossenheit)
M_{1}) (x · y) · z = x · (y · z) für alle x, y, z ∈ IR (Assoziatives G.)
M_{2}) x · y = y · x für alle x, y ∈ IR (Kommutatives G.)
M_{3}) x · 1 = x für alle x ∈ IR (Einselement)
M_{4}) Zu jedem x ∈ IR, x ≠ 0 gibt es ein y ∈ IR mit x · y = 1

(Existenz von inversen Elementen) Distributives Gesetz

D) x · (y + z) = x · y + x · z für alle x, y, z ∈ IR

Fazit: IR ist ein Körper