5. Übungsblatt

MATHEMATIK FÜR INFORMATIKER I (WS 2000/01)

Abgabe: Montag, 27.11.2000 bis 13.30 Uhr

Der Abgabeort wird noch bekanntgegeben

Internet–Adresse der Vorlesung:

http://math–www.uni–paderborn.de/~chris/index9.html

18. Aufgabe: a) Sei M eine Menge und Z ⊆ P(M) eine Zerlegung von M. Die Relation R sei für x, y ∈ M definiert durch:

xRy :⟺ ∃ Z ∈ Z : x ∈ Z ∧ y ∈ Z

Zeige, daß R eine Äquivalenzrelation auf M ist. Bestimme die Äquivalenzklasse eines beliebigen Elementes x ∈ M (natürlich mit Begründung!)

b) Bestimme alle Äquivalenzrelationen auf der Menge {a, b, c, d}. (Hinweis: Auf Grund von Satz (4.10) und Teil a) entsprechen sich die Äquivalenzrelationen auf einer Menge M und die Zerlegungen von M in eineindeutiger Weise). (7)

19. Aufgabe: a) Die Abbildung f : {a, b, c, d, e} ⟶ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} sei definiert durch a ⟼ 2 , b ⟼ 5 , c ⟼ 7 , d ⟼ 3 , e ⟼ 5. Bestimme für U := {b, c, d, e} die Bildmenge f(U) und für V := {3, 4, 5} und V′ := {1, 2} die Urbildmengen f^{−1}(V) bzw. f^{−1}(V′).

b) Die Abbildung g : ZZ ⟶ ZZ sei definiert durch g(z) = z^{2} für alle z ∈ ZZ. Seien U = {−2, −1, 0, 1, 2, 3} und V = {−1, 3, 4, 5, 9} . Bestimme g(U) und g^{−1}(V). (3)

20. Aufgabe: Gegeben seien die Abbildungen f : IR × IR ⟶ IR , (r, s) ⟼ r − s und g : IR ⟶ IR , x ⟼ x^{3} − x + 1 . Berechne (g ∘ f)((5, 2)) und (g ∘ f)((2, 5)). Läßt sich (f ∘ g)(2) berechnen? Begründe die Antwort. (2)

21. Aufgabe: Untersuche die folgenden Abbildungen auf Injektivität und Surjektivität (In allen Fällen ist eine Begründung erforderlich):

a) f : IN ⟶ IN , n ⟼ n + 5

b) g : IR × IR ⟶ IR , (x, y) ⟼ x − y . (4)

Literaturhinweis: Den bisherigen Stoff der Vorlesung kann man nachlesen in dem Buch: Dörfler/Peschek “Einführung in die Mathematik für Informatiker“ Hanser Verlag