13. Übungsblatt

MATHEMATIK FÜR INFORMATIKER I (WS 2000/01)

Abgabe: Montag, 5.2.2001 bis 13.00 Uhr !!! Internet–Adresse der Vorlesung: http://math–www.uni–paderborn.de/~chris/index9.html

47. Aufgabe: Sei M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

a) Stelle für die Relation ≤ auf M die Adjazenzmatrix auf.

b) Für welche Relation R auf M hat die Adjazenzmatrix das nebenste- hende Aussehen  A_{R} = ( \begin{matrix}0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{matrix} )  (2)

48. Aufgabe: Sei R eine Relation auf der Menge M = {1, 2, …, n} (n ∈ IN) und A_{R} = (a_{ik}) ∈ M_{n}(IR) die zugehörige Adjazenzmatrix. Beweise:

a) R reflexiv ⟺ a_{ii} = 1 ∀ i ∈ M

b) R symmetrisch ⟺ A_{R} ist eine symmetrische Matrix

c) R transitiv ⟺ a_{ik} · a_{kl} ≤ a_{il} ∀ i, k, l ∈ M

d) A_{R^{−1}} = ^{t}A_{R} (Hierbei bezeichnet R^{−1} die zu R inverse Relation). (5)

49. Aufgabe: Seien A = ( \begin{matrix}2 & −1 & 1 \\ −3 & 4 & −3 \\ −5 & 5 & −4 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ −3 & 3 & −3 \\ −5 & 5 & −5 \end{matrix} ) ∈ M_{3}(IR).

a) Berechne die Matrizenprodukte A · B , A · A , E_{12} · A , A · E_{32} (Hierbei ist E_{ik} eine Basismatrix)

b) Untersuche, ob A oder B invertierbar sind (Hinweis: Versuche nicht, ein Inverses zu berechnen, sondern arbeite mit den Ergebnissen aus a)!).

c) Berechne A^{n} für alle n ∈ IN_{0} (Hinweis: hier sollte man an einen Induktionsbeweis denken!) (5)

50. Aufgabe: Sei C := \{( \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} ) | a, b ∈ IR \} ⊆ M_{2}(IR) . Beweise:

a) C ist abgeschlossen bzgl. der Matrizenaddition und –multiplikation, und die zweireihige Nullmatrix (O) und die zweireihige Einheitsmatrix (E) gehören zu C.

b) Die Matrix A = ( \begin{matrix}1 & −2 \\ 2 & 1 \end{matrix} ) ∈ C ist invertierbar, und das Inverse von A ist ein Element von C. (Zusatzfrage (ohne Wertung): Welche Matrizen aus C sind überhaupt invertierbar?)

c) Es gibt eine Matrix I ∈ C mit der Eigenschaft I^{2} + E = O . (4)