Chr. Nelius  Mathematik für Informatiker I  Musterlösungen

Übungsblatt 5

Aufgabe 19

(a) Die Abbildung f : {a,b,c,d,e} → {1,2,3,4,5,6,7} ist definiert durch

\begin{matrix}a ↦ 2 & b ↦ 5 & c ↦ 7 \\ d ↦ 3 & e ↦ 5. \end{matrix}

Gesucht ist zu U := {b,c,d,e} die Bildmenge f(U):

f(U) = {f(x) x ∈ U} = {f(b),f(c),f(d),f(e)} = {3,5,7}, zu V := {3,4,5} die Urbildmenge f^{−1} (V):

f^{−1} (V) = {x x ∈ M,f(x) ∈ V} = {x x ∈ M,f(x) ∈ {3,4,5}} = {b,d,e} und zu V′:= {1,2} die Urbildmenge f^{−1} (V′):

f^{−1} (V′) = {x x ∈ M,f(x) ∈ V′} = {x x ∈ M,f(x) ∈ {1,2}} = {a}.

(b) Die Abbildung g: ℤ → ℤ ist definiert durch g(z) = z^{2} für alle z ∈ ℤ. Weiter sind U := {−2,1,0,1,2,3} und V := {−1,3,4,5,9} .

g(U)= {g(−2),g(1),g(0),g(1),g(2),g(3)} = {0,1,4,9}
g^{−1} (U)= {x x ∈ ℤ,g(x) ∈ V} = {−3,−2,2,3}

Aufgabe 20

Gegeben sind die zwei Abbildungen

\begin{matrix}f : ℝ × ℝ & −→ & ℝ & g: ℝ & −→ & ℝ \\ (r,s) & ⟼→ & r − s & x & ⟼→ & x^{3}− x + 1 \end{matrix}

(i) Zu berechnen:

(g ∘ f)((5,2)) = g(f((5,2)) = g(5 − 2) = g(3) = 25
(g ∘ f)((2,5)) = g(f((2,5)) = g(2 − 5) = g(−3) = −24

(ii) Behauptung: (f ∘ g)(2) kann nicht berechnet werden.

Beweis. Die Hintereinanderausführung (f ∘ g) ist nicht definiert, da die Wertemenge ℝ von g nicht mit dem Definitionsbereich ℝ × ℝ von f übereinstimmt.

Aufgabe 21

(a) Behauptung: f : ℕ → ℕ , n ↦ n + 5 ist injektiv aber nicht surjektiv.

Beweis. Injektivität: Sind n,n′∈ ℕ mit f(n) = f(n′) , so gilt n + 5 = n′+ 5 und damit n = n′. Surjektivität: 4 ∈ ℕ besitzt kein Urbild unter f . Annahme: Es gibt ein n ∈ ℕ mit f(n) = 4 = n + 5 . Dann ist n = −1 ∈ ℕ . Dies ist aber ein Widerspruch, da −1 ∉ ℕ .

(b) Behauptung: g: ℝ × ℝ → ℝ , (x,y) ↦ x − y ist surjektiv aber nicht injektiv.

Beweis. Injektivität: Es sind (2,1),(3,2) ∈ ℝ × ℝ und (2,1) ≠ (3,2) . Aber g(2,1) = 2 − 1 = 1 = 3 − 2 = g(3,2) . Damit ist g nicht injektiv. Surjektivität: Sei x ∈ ℝ beliebig, dann ist (x,0) ∈ ℝ × ℝ und g(x,0) = x − 0 = x . Wir können also zu jedem x ∈ ℝ ein Urbild finden. Damit ist g surjektiv.