Chr.Nelius: Mathematik für Informatiker I (WS 2000/01)

Musterlösung für die 1. Aufgabe

In dieser Aufgabe werden weitere Regeln für das Rechnen mit Ungleichungen aufgestellt. Beim Beweis dürfen nur solche Regeln benutzt werden, die in der Vorlesung als Grundregeln aufgestellt oder darauf basierend bewiesen wurden. Andere Regeln, die (vielleicht noch aus der Schulzeit) bekannt sind, dürfen nicht benutzt werden.

1. Aufgabe: a) Beh.: \underline{0 < x < y ⟹ x^{−1} > y^{−1} > 0}

0 < x < y bedeutet 0 < x und x < y. Da < transitiv ist, folgt insbesondere auch 0 < y.

Als ersten Schritt beweisen wir: \underline{x > 0 ⟹ x^{−1} > 0}. Dazu gehen wir indirekt vor:

Annahme: (⋆) x^{−1} ≤ 0.

Da x > 0 ist, können wir wegen O_{M}) die Ungleichung (⋆) mit x multiplizieren.

x^{−1} ≤ 0 | · x ⟹ 1 = x^{−1}x ≤ 0 · x = 0 ⟹ 1 ≤ 0

Dies ist aber ein Widerspruch, da 1 > 0 gilt. Folglich ist die Annahme falsch und unsere erste Behauptung bewiesen.

Wegen x^{−1} > 0 folgt mit (1.8a) ii):

x < y | · x^{−1} ⟹ x · x^{−1} < y · x^{−1} ⟹ 1 < y · x^{−1}

Nach dem ersten Schritt gilt auch y^{−1} > 0, so daß wir wieder mit (1.8a) ii) schließen können.

1 < yx^{−1} | · y^{−1} ⟹ y^{−1} = y^{−1} · 1 < y^{−1}(yx^{−1}) = (y^{−1}y)x^{−1} = 1 · x^{−1} = x^{−1}

Also gilt y^{−1} < x^{−1} , und das war zu zeigen.

Bemerkung: Die Voraussetzung 0 < x < y ist erforderlich: −3 < −2 aber − 1/3 > −1/2

Fazit: Geht man in einer Ungleichung zwischen positiven reellen Zahlen zu den inversen Elementen über, so dreht sich das Ungleichheitszeichen um.

b) Beh.: \underline{x < y ∧ w < z ⟹ x + w < y + z}.

Die folgenden Überlegungen basieren auf (1.8a), i) und iii):

\begin{matrix}x < y | + w ⟹ x + w < y + w \\ w < z | + y ⟹ y + w < y + z \end{matrix} \} ⟹ x + w < y + z

Damit ist die Behauptung bewiesen.

Fazit: Strikte Ungleichungen dürfen addiert werden. c) Beh.: \underline{x ≥ 0 , y ≥ 0 , x^{2} ≤ y^{2} ⟹ x ≤ y}

1. Fall: x = 0 oder y = 0. Hier folgt die Behauptung unmittelbar. Die Voraussetzung im 1. Fall ist von der Form A ∨ B. Die Negation hiervon ist dann ¬A ∧ ¬B (Regel von de Morgan). Also:

2. Fall: x > 0 und y > 0. Wir führen einen indirekten Beweis. Die Negation der Behauptung x ≤ y ist dann x > y. Wir benutzen wieder (1.8). Annahme: x > y.

\begin{matrix}x > y | · x ⟹ x^{2} = x · x > y · x \\ x > y | · y ⟹ y · x > y · y = y^{2} \end{matrix} \} ⟹ x^{2} > y^{2}

Damit erhalten wie einen Widerspruch zu unserer Voraussetzung x^{2} ≤ y^{2}. Bemerkung: Die Voraussetzung x ≥ 0 , y ≥ 0 ist erforderlich: für x = −3 und y = −4 gilt zwar x^{2} = (−3)^{2} = 9 ≤ 16 = (−4)^{2} = y^{2} aber x = −3 > −4 = y. Fazit: Aus einer Ungleichung zwischen nichtnegativen Zahlen darf auf beiden Seiten die Wurzel gezogen werden (dies entspricht dem Übergang von x^{2} nach x):

x ≥ 0 , y ≥ 0 , x ≤ y ⟹ \sqrt{x} ≤ \sqrt{y}

d) Beh.: \underline{0 < x < y ⟹ x^{2} < y^{2}} Wir führen wieder einen indirekten Beweis: Annahme: x^{2} ≥ y^{2} (Dies ist die Negation von x^{2} < y^{2}) Nach dem Aufgabenteil c) (wir dürfen dieses Ergebnis jetzt benutzen, da wir es gerade bewiesen haben!) folgt x ≥ y im Widerspruch zu unserer Voraussetzung x < y. Bemerkung: Die Voraussetzung 0 < x < y ist erforderlich: Es gilt zwar −3 < −2 aber (−3)^{2} = 9 > 4 = (−2)^{2} Fazit: Eine Ungleichung zwischen positiven reellen Zahlen darf quadriert werden.