§5: Invertierbare Matrizen

\underline{(5.1) DEF:} Eine quadratische Matrix A ∈ M_{n}(�) heißt invertierbar, wenn es eine Matrix B ∈ M_{n}(�) gibt mit der Eigenschaft

A · B = E_{n} = B · A .

\underline{(5.2) BEM:} Ist A ∈ M_{n}(�) invertierbar, so gibt es genau eine Matrix B ∈ M_{n}(�) mit der Eigenschaft A · B = E_{n} = B · A. B heißt die zu A inverse Matrix und wird mit A^{−1} bezeichnet. Es gilt also: A · A^{−1} = E_{n} = A^{−1} · A.

\underline{Probleme:} a) Kriterien für die Invertierbarkeit

b) Verfahren zur Berechnung der inversen Matrix.

\underline{(5.3) SATZ:} Seien A, B ∈ M_{n}(�) : Dann gilt:

a) Sind A und B invertierbar, so ist auch das Produkt A · B invertierbar, und es gilt

(A · B)^{−1} = B^{−1} · A^{−1}.

b) Die Einheitsmatrix E_{n} ist invertierbar, und es gilt E_{n}^{−1} = E_{n}

c) Ist A invertierbar, so ist auch die inverse Matrix A^{−1} invertierbar, und es gilt

(A^{−1})^{−1} = A .

\underline{(5.4) SATZ:} Die Matrix A ∈ M_{n}(�) sei \underline{invertierbar} . Dann gilt

a) AB = AC ⟹ B = C b) BA = CA ⟹ B = C.

c) A^{2} = A ⟹ A = E_{n} d) AB = O ⟹ B = O.

\underline{(5.5) SATZ:} Die Matrix A ∈ M_{n}(�) sei \underline{invertierbar} . Dann ist das LGS

(⋆) Ax = b

für jedes b ∈ �^{n} eindeutig lösbar.

\underline{(5.6) BEM:} Ist die Matrix A ∈ M_{n}(�) invertierbar, so gilt Lös(A, b) = \{A^{−1}b\}. Insbesondere Lös(A, o_{n}) = {o_{n}}.

(5.7) Gauß –Jordan–Verfahren zur Berechnung der inversen Matrix

A ∈ M_{n}(�) sei eine quadratische Matrix. Es soll untersucht werden, ob A invertierbar ist oder nicht. Wenn ja, soll die inverse Matrix berechnet werden.

a) Schreibe die (n × n)–Einheitsmatrix E_{n} rechts neben A.

b) Durch zulässige Zeilenumformungen (s. d)) wird versucht, A in die Einheitsmatrix E_{n} zu transformieren. Dieselben Zeilenumformungen werden gleichzeitig mit der rechtsstehenden Einheitsmatrix vorgenommen.

c) Läßt sich A nicht in die Einheitsmatrix umwandeln, so ist A \underline{nicht} invertierbar. Anderenfalls ist A invertierbar und aus der Matrix E_{n} ist die Matrix B geworden.

A  E_{n}
↓  ↓

Zeilenumformungen Zeilenumformungen

↓  ↓
E_{n}  B (= A^{−1})

Nach den vorherigen Überlegungen ist klar, daß A·B = E_{n} gilt. Daß auch umgekehrt B·A = E_{n} gilt (was nach Definition (5.1) erforderlich ist), können wir erst später allgemein beweisen. Bis dahin müssen wir dies immer erst noch direkt nachprüfen! Dann ist B = A^{−1}.

d) Zulässige Zeilenumformungen einer Matrix A sind:

1) die (komponentenweise ausgeführte) Addition einer Zeile von A zu einer anderen Zeile von A.

2) die (komponentenweise ausgeführte) Multiplikation einer Zeile von A mit einer reellen Zahl ≠ 0 .

3) die Vertauschung zweier Zeilen von A.