§4: Matrizenrechnung

\underline{(4.1) DEF:} a) Die Summe A + B zweier (m × n)–Matrizen A = (a_{ik}) und B = (b_{ik}) ist definiert als (m × n)–Matrix C = (c_{ik}) , wobei

c_{ik} := a_{ik} + b_{ik}

für alle i = 1, 2, …, m und alle k = 1, 2, …, n gesetzt wird.

b) Die (m × n)–Matrix O, deren sämtliche Elemente 0 sind, heißt (m × n)–Nullmatrix .

c) Das Negative −A einer (m × n)–Matrix A = (a_{ik}) ist die (m × n)–Matrix

−A := (−a_{ik}) .

d) Die Differenz A − B zweier (m × n)–Matrizen A und B ist definiert durch

A − B := A + (−B) .

\underline{Beispiele:}

( \begin{matrix}2 & −3 & 5 \\ 0 & 1 & −4 \end{matrix} )+( \begin{matrix}5 & 2 & −2 \\ −6 & 3 & 7 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2 + 7 & −3 + 2 & 5 + (−2) \\ 0 + (−6) & 1 + 3 & −4 + 7 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}9 & −1 & 3 \\ −6 & 4 & 3 \end{matrix} )

( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) ist die (3 × 2)–Nullmatrix

Das Negative von A := ( \begin{matrix}2 & −3 & 5 \\ 0 & 1 & −4 \end{matrix} ) ist −A = ( \begin{matrix}−2 & 3 & −5 \\ 0 & −1 & 4 \end{matrix} ).

\underline{(4.2) BEM:} a) Die Summe zweier Matrizen desselben Formats wird gebildet, indem man die Elemente an den entsprechenden Stellen addiert: Für A = (a_{ik}) , B = (b_{ik}) ∈ M_{m,n}(�) ist A + B = (a_{ik} + b_{ik}) ∈ M_{m,n}(�) .

b) Für (m × 1)–Matrizen (d.h. m–Tupel) stimmen diese Definitionen mit den früheren überein.

c) Die Matrizenaddition ist eine Verknüpfung (Rechenoperation) auf der Menge M_{m,n}(�) der (m×n)– Matrizen.

d) Achtung: Es lassen sich nur Matrizen desselben Formats addieren!

\underline{(4.3) SATZ:} Für die Addition auf M_{m,n}(IR) gelten die folgenden Regeln:

A_{0}) Je zwei Matrizen A und B aus M_{m,n}(IR) wird eine eindeutig bestimmte Matrix A + B ∈ M_{m,n}(IR) zugeordnet

A_{1}) Für alle A, B, C ∈ M_{m,n}(IR) gilt (A + B) + C = A + (B + C) (Assoziatives Gesetz)

A_{2}) Für alle A, B ∈ M_{m,n}(IR) gilt A + B = B + A (Kommutatives Gesetz)

A_{3}) Es existiert O ∈ M_{m,n}(IR) mit A + O = A für alle A ∈ M_{m,n}(IR) (Existenz einer Nullmatrix)

A_{4}) Zu jedem A ∈ M_{m,n}(IR) gibt es ein B ∈ M_{m,n}(IR) mit A + B = O (Existenz von negativen Matrizen)

\underline{(4.4) DEF:} Seien r ∈ � und = (a_{ik}) ∈ M_{m,n}(�) . Dann ist die Matrix rA definiert durch

rA := (ra_{ik}) ∈ M_{m,n}(�)

\underline{Beispiel:} Die Matrix rA wird also gebildet, indem man jedes Element von A mit der reellen Zahl r multipliziert.

7 ( \begin{matrix}2 & −3 & 5 \\ 0 & 1 & −4 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}7 · 2 & 7 · (−3) & 7 · 5 \\ 7 · 0 & 7 · 1 & 7 · (−4) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}14 & −21 & 35 \\ 0 & 7 & −28 \end{matrix} ) .

\underline{(4.5) BEM:} a) Im Falle n = 1 ist eine (m × n)–Matrix ein m–Tupel, und diese Definition stimmt mit der früheren (3.7) überein.

b) Die in (4.4) definierte skalare Multiplikation ordnet einer reellen Zahl r und einer (m × n)– Matrix A eine (m × n)–Matrix rA zu.

\underline{(4.6) SATZ:} Für die skalare Multiplikation auf M_{m,n}(IR) gelten die folgenden Regeln:

SM_{0}) Jedem Skalar r ∈ IR und jeder Matrix A ∈ M_{m,n}(IR) wird eine eindeutig bestimmte Matrix rA ∈ M_{m,n}(IR) zugeordnet

\begin{matrix}SM_{1}) r(A + B) = rA + rB \\ SM_{2}) (r + s)A = rA + sA \\ SM_{3}) r(sA) = (rs)A \\ SM_{4}) 1 A = A \end{matrix} \} A, B ∈ M_{m,n}(IR) und r, s ∈ IR

\underline{Bew:} Wir beweisen exemplarisch SM_{1}): Seien A = (a_{ik}) und B = (b_{ik}) . Der Deutlichkeit halber werden die Klammern, die eine Matrix einschließen, rot geschrieben. Dann gilt:

r(A + B) =^{(1)} r(a_{ik} + b_{ik}) =^{(2)} (r(a_{ik} + b_{ik})) =^{(3)} (ra_{ik} + rb_{ik}) =^{(4)} (ra_{ik}) + (rb_{ik})

=^{(5)} r(a_{ik}) + r(b_{ik}) = rA + rB

(1) Definition der Matrizenaddition  (2) Definition der skalaren Multiplikation
(3) Distributivgesetz in �  (4) Definition der Matrizenaddition

(5) Definition der skalaren Multiplikation Wir wollen jetzt erklären, wie wir Matrizen passenden Formats miteinander multiplizieren können. Bisher haben wir nur das Produkt aus einer (m×n)–Matrix und einem n–Tupel definiert (s. (2.4)). Das Ergebnis ist dabei ein m–Tupel. Wir werden dies für die Definition der Matrizenmultiplikation benutzen.

Wir betrachten zunächst ein konkretes Beispiel. Seien

A := ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ M_{2,3}(�) und B := ( \begin{matrix}1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{matrix} ) ∈ M_{3,4}(�)

Dann ist die Matrix B aufgebaut aus den vier 3–Tupeln a := ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , b := ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , c :=

( \begin{matrix}0 \\ 3 \\ 2 \end{matrix} ) , d := ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix} ) ∈ �^{3} . Jede dieser Spalten läßt sich mit der Matrix A im Sinne der Definition (2.4)

multiplizieren, das Ergebnis ist jeweils ein 2–Tupel. Wir erhalten also vier 2–Tupel Aa = ( \begin{matrix}4 \\ 3 \end{matrix} ) , Ab =

( \begin{matrix}7 \\ 5 \end{matrix} ) , Ac = ( \begin{matrix}12 \\ 2 \end{matrix} ) , Ad = ( \begin{matrix}10 \\ 5 \end{matrix} ). Die Produktmatrix A · B wird jetzt als diejenige (2 × 4)–

Matrix definiert, deren Spalten gerade die Vektoren Aa, Ab, Ac, Ad sind, d.h.

A · B := (Aa Ab Ac Ad) = ( \begin{matrix}4 & 7 & 12 & 10 \\ 3 & 5 & 2 & 5 \end{matrix} ) ∈ M_{2,4}(�)

Es ist klar, daß diese Bildung nur funktionieren kann, wenn die Spaltenzahl von A mit der Zeilenzahl von B übereinstimmt.

Wir können die Elemente der rechtsstehenden Matrix auch noch auf einem anderen Wege erhalten: Um etwa das Element an der Stelle (2, 3) zu berechnen, müssen wir die zweite Zeile von A mit der dritten Spalte von B multiplizieren, d.h. wir müssen das Element der (1 × 1)–Matrix

( 2 0 1 ) · ( \begin{matrix}0 \\ 3 \\ 2 \end{matrix} ) = (2 · 0 + 0 · 3 + 1 · 2) = (2)

berechnen. Damit kommen wir zu der folgenden Definition:

\underline{(4.7) DEF:} Das Produkt A · B aus einer (m × n)–Matrix A = (a_{ik}) und einer (n × p)–Matrix B = (b_{kl}) ist definiert als die (m × p)–Matrix C = (c_{il}) , deren Element c_{il} das Produkt aus der i–ten Zeile von A und der l–ten Spalte von B ist.

\underline{Beispiele:}

( \begin{matrix}3 & 2 \\ 1 & 3 \\ 4 & 5 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}3 · 1 + 2 · 3 & 3 · 2 + 2 · 4 \\ 1 · 1 + 3 · 3 & 1 · 2 + 3 · 4 \\ 4 · 1 + 5 · 3 & 4 · 2 + 5 · 4 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}9 & 14 \\ 10 & 14 \\ 19 & 28 \end{matrix} )

( \begin{matrix}2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}r & s \\ t & u \\ v & w \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2r + 3t + 4v & 2s + 3u + 4w \\ 5r + 6t + 7v & 5s + 6u + 7w \end{matrix} )

\underline{(4.8) BEM:} a) Die Matrix A = (a_{ik}) hat (a_{i1} a_{i2} a_{i3} … a_{in}) als i–te Zeile, und Die Matrix

B = (b_{kl}) hat ( b_{1l} ; b_{2l} ; b_{3l} ; ⋮ ; b_{nl} ) als l–te Spalte. Das Produkt ergibt

c_{il} = a_{i1}b_{1l} + a_{i2}b_{2l} + a_{i3}b_{3l} + … + a_{in}b_{nl}

b) Achtung: Es lassen sich nur Matrizen passenden Formats multiplizieren, d.h. die Spaltenzahl des ersten Faktors muß gleich der Zeilenzahl des zweiten Faktors sein.

c) Die Matrizenmultiplikation ordnet einer (m × n)–Matrix A und einer (n × p)–Matrix B eine (m × p)–Matrix A · B zu.

\underline{(4.9) DEF:} Die quadratische Matrix E_{n} = (e_{ik}) ∈ M_{n}(�) mit den Elementen

e_{ik} := \{ \begin{matrix}1 & für i = k \\ 0 & für i ≠ k \end{matrix}

heißt n–reihige Einheitsmatrix .

Bei einer Einheitsmatrix steht 1 in der Hauptdiagonale und 0 sonst.

\underline{Beispiel:} E_{2} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , E_{3} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ).

(4.10) SATZ:

Rechenregeln für die Matrizenmultiplikation

Für Matrizen A, B, C passenden Formats gilt:

a) (A · B) · C = A · (B · C) (Assoziatives Gesetz)

b) I.a. ist A · B ≠ B · A

c) Im Falle A ∈ M_{m,n}(�) gilt E_{m} · A = A und A · E_{n} = A.

d) Ist A oder B eine Nullmatrix, so ist A · B ebenfalls eine Nullmatrix.

e) A · (B + C) = (A · B) + (A · C) und (A + B) · C = (A · C) + (B · C) (Distributive Gesetze)

\underline{Bew:} a) Wir beweisen das Assoziativgesetz exemplarisch an Hand von (2×2)–Matrizen. Der allgemeine Beweis verläuft analog, ist allerdings mit etwas mehr Schreibarbeit verbunden!

Seien A = (a_{ik}) , B = (b_{ik}) , C = (c_{ik}) ∈ M_{2}(�) . Wir berechnen (A · B) · C und A · (B · C) und stellen die Gleichheit der beiden Ergebnisse fest. Aus schreibtechnischen Gründen sind die Elemente ⋆ nicht mehr explizit ausgerechnet.

(A · B) · C = (( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix} )) · ( \begin{matrix}c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}(a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21})c_{11} + (a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22})c_{21} & ⋆ \\ (a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21})c_{11} + (a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22})c_{21} & ⋆ \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}a_{11}b_{11}c_{11} + a_{12}b_{21}c_{11} + a_{11}b_{12}c_{21} + a_{12}b_{22}c_{21} & ⋆ \\ a_{21}b_{11}c_{11} + a_{22}b_{21}c_{11} + a_{21}b_{12}c_{21} + a_{22}b_{22}c_{21} & ⋆ \end{matrix} )

A · (B · C) = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) · (( \begin{matrix}b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{matrix} ))

= ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}b_{11}c_{11} + b_{12}c_{21} & b_{11}c_{12} + b_{12}c_{22} \\ b_{21}c_{11} + b_{22}c_{21} & b_{21}c_{12} + b_{22}c_{22} \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}a_{11}(b_{11}c_{11} + b_{12}c_{21}) + a_{12}(b_{21}c_{11} + b_{22}c_{21}) & ⋆ \\ a_{21}(b_{11}c_{11} + b_{12}c_{21}) + a_{22}(b_{21}c_{11} + b_{22}c_{21}) & ⋆ \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}a_{11}b_{11}c_{11} + a_{11}b_{12}c_{21} + a_{12}b_{21}c_{11} + a_{12}b_{22}c_{21} & ⋆ \\ a_{21}b_{11}c_{11} + a_{21}b_{12}c_{21} + a_{22}b_{21}c_{11} + a_{22}b_{22}c_{21} & ⋆ \end{matrix} )

Man stellt fest, daß die Elemente der beiden Produkte an den Positionen (1, 1) bzw. (2, 1) übereinstimmen. Dasselbe gilt auch für die nicht angegebenen Elemente an den Positionen (1, 2) bzw. (2, 2) . Wir können also (A · B) · C = A · (B · C) schließen.

b) Wir geben ein konkretes Beispiel an: Für A := ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , B := ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) ∈ M_{2}(�) gilt

A · B = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) B · A = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} )

Folglich A · B ≠ B · A.

\underline{(4.11) SATZ:} Für quadratische Matrizen A, B, C ∈ M_{n}(�) gilt:

a) A · B ∈ M_{n}(�)

b) (A · B) · C = A · (B · C)

c) I.a. ist A · B ≠ B · A

d) E_{n} · A = A = A · E_{n}

e) Ist O_{n} ∈ M_{n}(�) die Nullmatrix , so gilt A · O_{n} = O_{n} = O_{n} · A

e) A · (B + C) = (A · B) + (A · C) und (A + B) · C = (A · C) + (B · C)

\underline{(4.12) DEF:} Seien k ∈ �_{0} und A ∈ M_{n}(�) . Dann ist die k–te Potenz A^{k} von A rekursiv definiert durch

A^{k} := \{ \begin{matrix}E_{n} für k = 0 \\ A^{k−1} · A für k > 0 \end{matrix}

\underline{(4.13) BEM:} a) Es gilt die Potenzregel A^{k} · A^{l} = A^{k+l} (k, l ∈ �_{0}) .

b) I.a. ist (A · B)^{k} ≠ A^{k} · B^{k}.

\underline{(4.14) BEM:} Für die Matrizenmultiplikation gelten viele der Rechenregeln, die wir von der Multiplikation reeller Zahlen kennen, nicht mehr. Daher ist Vorsicht geboten! Einige Beispiele:

a) Es kann A · B ≠ B · A sein

b) Es kann A · B = O sein, ohne daß A = O oder B = O ist

c) Aus A · B = A · C folgt nicht notwendig B = C

d) Aus A · C = B · C folgt nicht notwendig A = B

e) Es kann A^{2} = A gelten für A ∉ {O_{n}, E_{n}}

f) Es kann A^{2} = O_{n} gelten, ohne daß A = O_{n} ist

g) Es kann (A · B)^{2} ≠ A^{2} · B^{2} sein .