Chr.Nelius : Lineare Algebra (SS 2008) 1

Wir fassen die wichtigsten Aussagen von (3.5) un d (3.9) zusammen. Man vergleiche diesen Satz mit dem Satz (0.1) !

\underline{SATZ:} Auf der Menge IR^{n} der n–Tupel reeller Zahlen lassen sich komponentenweise eine Addition und eine skalare Multiplikation definieren.

Für die Addition auf IR^{n} gelten die folgenden Regeln (3.4):

A_{0}) Je zwei n–Tupeln a und b aus IR^{n} wird ein eindeutig bestimmtes n–Tupel a + b ∈ IR^{n} zugeordnet

A_{1}) Für alle a, b, c ∈ IR^{n} gilt (a + b) + c = a + (b + c) (Assoziatives Gesetz)

A_{2}) Für alle a, b ∈ IR^{n} gilt a + b = b + a (Kommutatives Gesetz)

A_{3}) Es existiert o_{n} ∈ IR^{n} mit a + o_{n} = a für alle a ∈ IR^{n} (Existenz eines Nullelementes)

A_{4}) Zu jedem a ∈ IR^{n} gibt es ein b ∈ IR^{n} mit a + b = o_{n} (Existenz von negativen Elementen)

Für die skalare Multiplikation auf IR^{n} gelten die folgenden Regeln (3.9):

SM_{0}) Jedem Skalar r ∈ IR und jedem n–Tupel a ∈ IR^{n} wird ein eindeutig bestimmtes n–Tupel ra ∈ IR^{n} zugeordnet

\begin{matrix}SM_{1}) r(a + b) = ra + rb \\ SM_{2}) (r + s)a = ra + sa \\ SM_{3}) r(sa) = (rs)a \\ SM_{4}) 1 a = a \end{matrix} \} für alle a, b ∈ IR^{n}

und alle r, s ∈ IR