Chr.Nelius : Lineare Algebra (SS 2008) 1

\underline{(0.1) SATZ:} Auf der Menge V_{2} der Vektoren der anschaulichen Ebene E gibt es zwei Rechenoperationen: die Addition und die skalare Multiplikation.

Für die Addition gelten die folgenden Regeln:

A_{0}) Je zwei Vektoren v⃗ und w⃗ aus V_{2} wird ein eindeutig bestimmter Vektor v⃗ + w⃗ aus V_{2} zugeordnet .

A_{1}) Für alle Vektoren u⃗, v⃗ und w⃗ gilt (u⃗ + v⃗) + w⃗ = u⃗ + (v⃗ + w⃗) (Assoziatives Gesetz)

A_{2}) Für alle Vektoren v⃗ und w⃗ gilt v⃗ + w⃗ = w⃗ + v⃗ (Kommutatives Gesetz)

A_{3}) Es existiert ein Vektor o⃗ in V_{2} mit v⃗ + o⃗ = v⃗ für alle Vektoren v⃗ (Existenz eines Nullvektors)

A_{4}) Zu jedem Vektor v⃗ gibt es einen Vektor w⃗ mit v⃗ + w⃗ = o⃗ (Existenz von negativen Vektoren)

Für die skalare Multiplikation gelten die folgenden Regeln:

SM_{0}) Jedem (Skalar) r ∈ IR und jedem Vektor v⃗ aus V_{2} wird ein eindeutig bestimmter Vektor rv⃗ aus V_{2} zugeordnet .

\begin{matrix}SM_{1}) r(v⃗ + w⃗) = rv⃗ + rw⃗ \\ SM_{2}) (r + s)v⃗ = rv⃗ + sv⃗ \\ SM_{3}) r(sv⃗) = (rs)v⃗ \\ SM_{4}) 1v⃗ = v⃗ \end{matrix} \} für alle v⃗, w⃗ ∈ V_{2}

und alle r, s ∈ IR

\underline{Bezeichnung:} Man nennt V_{2} einen Vektorraum über � oder auch einen reellen Vektorraum .