7. Übungsblatt LINEARE ALGEBRA (SS 2008) Abgabe: Fr. 30.5.2008, bis 9.15 Uhr Gruppe 1 (Mo): Fach Nr. 3 (orangener Schrank bei D1.348) Gruppe 2 (Do): Fach Nr. 11 (orangener Schrank bei D1.348) Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris

Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr.

Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie bitte die Seiten zusammen! Es können Bonuspunkte für die Übungsschein–Klausur erworben werden. Es ist nur Einzelabgabe erlaubt.

Begründen Sie bitte Ihren Lösungsweg bzw. erklären Sie Ihren Rechenweg!

20. Aufgabe: Gegeben seien die Matrizen A = ( \begin{matrix}1 & 2 & −3 \\ 5 & 0 & 2 \\ 1 & −1 & 1 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}3 & −1 & 2 \\ 4 & 2 & 5 \\ 2 & 0 & 3 \end{matrix} ) ,

C = ( \begin{matrix}4 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & −2 & 3 \end{matrix} ). Berechne:  a) A + B  b) A − C  c) C − 2B.  (2)

21. Aufgabe: Berechne (wenn möglich) die folgenden Matizenprodukte. Gib dabei die Zwischenrechnungen mit an!

a) ( \begin{matrix}3 & 0 & −1 \\ 2 & −2 & 5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 7 & 2 & 1 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}1 & 3 \\ 6 & −2 \\ 0 & 4 \end{matrix} ) b) ( \begin{matrix}2 & 0 & −3 \\ −1 & 0 & 4 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}3 & 0 \\ −2 & 7 \end{matrix} )

c) ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ −5 & 3 & −1 & 6 \\ 0 & −1 & 0 & 7 \end{matrix} )  d) ( \begin{matrix}1 & −2 & 13 \\ 7 & 2 & −3 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )  (3)

22. Aufgabe: a) Seien A = ( \begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ −3 & 2 & −1 \\ −2 & 1 & 0 \end{matrix} ) und B = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix} ).

Berechne die Matrizenprodukte A · B und B · A. Was fällt an den Ergebnissen auf?

b) Seien A = ( \begin{matrix}1 & −3 & 2 \\ 2 & 1 & −3 \\ 4 & −3 & −1 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}1 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & −2 & 1 & 2 \end{matrix} ) , C = ( \begin{matrix}2 & 1 & −1 & −2 \\ 3 & −2 & −1 & −1 \\ 2 & −5 & −1 & 0 \end{matrix} ).

Berechne die Matrizenprodukte A · B und A · C. Was fällt an den Ergebnissen auf?

c) Finde eine (2×2)–Matrix A, deren sämtliche Elemente ≠ 0 sind und für die A·A = A gilt. Erkläre Deinen Findungsprozeß . (5)

weiter nächste Seite 23. Aufgabe: Seien A ∈ M_{m,n}(ℝ) und B ∈ M_{p,q}(ℝ) (m, n, p, q ∈ ℕ) .

a) Welche Bedingungen müssen für m, n, p, q erfüllt sei, damit sich das Matrizenprodukt A · B (bzw. B · A) bilden läßt? Welches Format hat dann jeweils die Produktmatrix?

b) Welche Bedingungen müssen für m, n, p, q erfüllt sei, damit überhaupt A · B = B · A gelten könnte? (1)

24. Aufgabe: Beweise allgemein die Gültigkeit des Distributivgesetzes für (2 × 2)–Matrizen, d.h. zeige A · (B + C) = (A · B) + (A · C) für A = (a_{ik}) , B = (b_{ik}) , C = (c_{ik}) ∈ M_{2}(ℝ) .

(2)

Wenn Sie einen der Korrektoren sprechen wollen, schicken Sie ihm bitte eine email: Marcus Becker (Kürzel: M.B.): marcusbe@mail.upb.de Andreas Kottmann (Kürzel: A.K.): kottmann@upb.de