3. Übungsblatt

LINEARE ALGEBRA (SS 2008)

Abgabe: Fr. 2.5.2008, bis 9.15 Uhr

Gruppe 1 (Mo): Fach Nr. 3 (orangener Schrank bei D1.348)

Gruppe 2 (Do): Fach Nr. 11 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris

Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr.

Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie bitte die Seiten zusammen! Es können Bonuspunkte für die Übungsschein–Klausur erworben werden. Es ist nur Einzelabgabe erlaubt.

Begründen Sie bitte Ihren Lösungsweg bzw. erklären Sie Ihren Rechenweg!

Allgemeiner Hinweis: Lineare Gleichungssysteme müssen ab jetzt mit dem Gauß-Algorith-mus gelöst werden. Die vorgenommenen Umformungen der Gleichungen sollen so wie in der Vorlesung kenntlich gemacht werden. Benutze keinen Taschenrechner. Es soll mit weitgehend vereinfachten Brüchen gerechnet werden.

8. Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge des folgenden LGS’s und mache die Probe. Gehe dabei wie in (1.5) (Gauß–scher Algorithmus) vor, benutze aber keine Vertauschungen! Falls die Lösung von frei wählbaren Parametern abhängt, setze x_{5} = t, x_{4} = s, x_{3} = r usw. (5)

\begin{aligned}2x_{1} + x_{2} + x_{4} − x_{5} & = & 2 \\ 3x_{1} + 2x_{2} + x_{3} − x_{4} & = & 1 \\ 2x_{1} + 2x_{2} + 2x_{4} + 3x_{5} & = & 1 \\ 4x_{1} + 3x_{2} + 3x_{4} + 2x_{5} & = & 3 \end{aligned}

9. Aufgabe: Bestimme die Werte der reellen Zahlen a, b, so daß das folgende lineare Gleichungssystem a) keine Lösung, b) mehr als eine Lösung, c) genau eine Lösung besitzt. Auch hier ist der Gauß –Algorithmus zu verwenden. (5)

\begin{aligned}x_{1} & − & x_{2} & + & 2x_{3} & = & 1 \\ 4x_{1} & + & ax_{2} & + & 3x_{3} & = & 0 \\ 3x_{1} & + & 2x_{2} & + & x_{3} & = & b \end{aligned}

10. Aufgabe: Gegeben sei das lineare Gleichungssystem

(⋆) \{ \begin{matrix}a_{11}x_{1} & + & a_{12}x_{2} & = & b_{1} \\ & & a_{22}x_{2} & = & b_{2} \end{matrix}

Beweise:

a) Gilt a_{11} · a_{22} ≠ 0 , so ist das LGS (⋆) eindeutig lösbar

b) Ist (⋆) eindeutig lösbar, so folgt a_{11} · a_{22} ≠ 0 . (3)

Wenn Sie einen der Korrektoren sprechen wollen, schicken Sie ihm bitte eine email:

Marcus Becker (Kürzel: M.B.): marcusbe@mail.upb.de

Andreas Kottmann (Kürzel: A.K.): kottmann@upb.de