2. Übungsblatt

LINEARE ALGEBRA (SS 2008)

Abgabe: Fr. 25.4.2008, bis 9.15 Uhr

Gruppe 1 (Mo): Fach Nr. 3 (orangener Schrank bei D1.348)

Gruppe 2 (Do): Fach Nr. 11 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris

Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr.

Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie bitte die Seiten zusammen! Es können Bonuspunkte für die Übungsschein–Klausur erworben werden. Es ist nur Einzelabgabe erlaubt.

Begründen Sie bitte Ihren Lösungsweg bzw. erklären Sie Ihren Rechenweg!

Allgemeiner Hinweis: Lineare Gleichungssysteme müssen ab jetzt mit dem Gauß-Algorith-mus gelöst werden. Die vorgenommenen Umformungen der Gleichungen sollen so wie in der Vorlesung kenntlich gemacht werden. Benutze keinen Taschenrechner. Es soll mit weitgehend vereinfachten Brüchen gerechnet werden.

5. Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge folgender LGS’e und mache jeweils die Probe:

a)  \begin{matrix}4x & + & 3y & + & z & = & 5 \\ 3x & − & y & + & 2z & = & 5 \\ 2x & + & 2y & + & 4z & = & 6 \end{matrix}  b)  \begin{matrix}2x & + & 3y & + & z & = & 1 \\ −x & + & 2y & + & 8z & = & 2 \\ 4x & + & 6y & + & 2z & = & −1 \end{matrix}

c)  \begin{matrix}2x & + & 3y & − & 6z & = & −17 \\ 4x & + & 6y & − & 5z & = & −13 \\ −6x & − & 9y & + & 11z & = & 30 \end{matrix}  (7)

6. Aufgabe: Gegeben sei das folgende LGS mit reellen Koeffizienten in den Unbekannten x, y, z:

\begin{aligned}a_{1}x & + & a_{2}y & + & a_{3}z & = & d_{1} \\ b_{1}x & + & b_{2}y & + & b_{3}z & = & d_{2} \\ c_{1}x & + & c_{2}y & + & c_{3}z & = & d_{3} \end{aligned}

Beweise, daß sich unter alleiniger, evtl. auch mehrfacher Anwendung der Umformungen (A) und (B) aus (1.3) die Vertauschung der ersten und der dritten Gleichung bewerkstelligen läßt.

(3)

7. Aufgabe: Gegeben sei das lineare Gleichungssystem

(⋆) \{ \begin{matrix}ax & + & 2y & = & 3 \\ 2x & + & 3y & = & b \end{matrix}

in den Unbekannten x und y. Dabei sind a und b reelle Koeffizienten. Bestimme alle Werte für a und b, so daß das LGS (⋆)

a) genau eine b) gar keine c) unendlich viele Lösungen besitzt. In jedem Fall ist auch die Lösungsmenge auszurechnen. (4)