13. Übungsblatt

LINEARE ALGEBRA (SS 2008)

Abgabe: Fr. 11.7.2008, bis 9.15 Uhr

Gruppe 1 (Mo): Fach Nr. 3 (orangener Schrank bei D1.348)

Gruppe 2 (Do): Fach Nr. 11 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris

Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr.

Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie bitte die Seiten zusammen! Es können Bonuspunkte für die Übungsschein–Klausur erworben werden. Es ist nur Einzelabgabe erlaubt.

Begründen Sie bitte Ihren Lösungsweg bzw. erklären Sie Ihren Rechenweg!

41. Aufgabe: Untersuche in den folgenden Fällen, ob die Menge T linear abhängig oder linear unabhängig ist (natürlich mit Begründung!):

a) T = \{( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )\} ⊆ ℝ^{3} b) T = \{( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 0 \\ 5 \\ 7 \end{matrix} )\} ⊆ ℝ^{5}

c) T = \{( \begin{matrix}2 \\ −1 \\ 0 \\ −3 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 5 \\ 3 \\ −5 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 3 \\ −2 \\ 9 \end{matrix} )\} ⊆ ℝ^{4} d) T = \{( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )\} ⊆ ℝ^{3}

(5)

42. Aufgabe: a) Seien A, B ∈ M_{3,4}(ℝ) und r ∈ ℝ. Beweise:

i) ^{t}(A + B) = ^{t}A +^{t}B ii) ^{t}(rA) = r(^{t}A) . (Entsprechend gelten dann diese Aussagen auch für Matrizen aus M_{m,n}(ℝ) , was im folgenden benutzt werden darf!)

b) Eine quadratische Matrix A = (a_{ik}) ∈ M_{n}(ℝ) heißt symmetrisch, wenn ^{t}A = A (d.h. a_{ik} = a_{ki} für alle i, k) gilt. Beweise, daß die Menge S der symmetrischen Matrizen aus M_{3}(ℝ) ein Untervektorraum von M_{3}(ℝ) ist.

c) Finde ein linear unabhängiges EZS (also eine Basis) B von S (natürlich ist die Antwort zu begründen!). Wieviel Elemente besitzt B? (Hinweis: Eine Idee könnte (8.11d) liefern. Ein EZS von S darf nur Elemente aus S enthalten!)

d) Wie läßt sich c) auf den Untervektorraum U aller symmetrischen (n × n)–Matrizen verallgemeinern? (ohne Beweis!) (6)

43. Aufgabe: V sei ein Vektorraum. S, T seien Teilmengen von V mit T = {v_{1}, v_{2}, …, v_{n}} und S ⊆ T . Beweise:

a) Ist S ein EZS von V , so ist auch T ein EZS von V .

b) Ist T linear unabhängig , so ist auch S linear unabhängig. (2)