Chr.Nelius : Zahlentheorie (SS 2007) 1

Anmerkungen zu der Graphik

In der Graphik sind die 3 Funktionen \frac{x}{ln x} , Li und R dargestellt. Die kleinen Kreise geben exakte Werte von π(x) an. Im einzelnen sind die Funktionen folgendermaßen definiert: π : ℝ_{≥0} ⟶ ℝ ist die Anzahlfunktion mit π(x) = | { p | p ∈ IP , p ≤ x } | ln : ℝ_{>0} ⟶ ℝ ist der natürliche Logarithmus (d.h. die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion exp : ℝ ⟶ ℝ_{>0}) Li : ℝ_{≥2} ⟶ ℝ ist der Integral–Logarithmus , definiert durch Li(x) = ∫_{2}^{x} \frac{dt}{ln(t)} R: ℝ_{≥2} ⟶ ℝ ist die Riemann–Funktion , definiert durch

R(x) = 1 + ∑_{k=1}^{∞} \frac{ln(x)^{k}}{k · k! · ζ(k + 1)}

(hier ist ζ die Riemann’sche Zeta–Funktion) oder durch die (endliche) Reihe

R(x) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{μ(k)}{k} · Li (x^{\frac{1}{k}} )

(mit der Möbius–Funktion μ) .

Wertetabelle

\begin{matrix}x & π(x) & \frac{x}{π(x)} & \frac{x}{ln(x)} & Li(x) & R(x) \\ 10 & 4 & 2.5 & 4.34 & 5.12 & 4.56 \\ 10^{2} & 25 & 4.0 & 21.71 & 29.08 & 25.66 \\ 10^{3} & 168 & 6.0 & 144.76 & 176.56 & 168.36 \\ 10^{4} & 1 229 & 8.1 & 1 086.00 & 1 245.09 & 1 226.93 \\ 10^{5} & 9 592 & 10.4 & 8 686 & 9 628 & 9 587 \\ 10^{6} & 78 498 & 12.7 & 72 384 & 78 626 & 78 527 \\ 10^{7} & 664 579 & 15.0 & 620 421 & 664 917 & 664 917 \\ 10^{8} & 5 761 455 & 17.4 & 5 428 681 & 5 762 208 & 5 761 552 \\ 10^{9} & 50 847 534 & 19.7 & 48 254 942 & 50 849 233 & 50 847 455 \\ 10^{10} & 455 052 512 & 22.0 & 434 294 481 & 455 055 613 & 455 050 683 \end{matrix}