§ 2. Der Ring (ℤ, +, ·) der ganzen Zahlen

Auf der Menge ℤ der ganzen Zahlen gibt es zwei Rechenoperationen: die Addition und die Multiplikation. Dafür gelten die folgenden grundlegenden Rechenregeln, aus denen sich die weiteren Regeln herleiten lassen.

(2.1) Rechenregeln in (ℤ, +, ·)

a) Für die Addition gilt:

0) Für alle a, b ∈ ℤ gilt: a + b ∈ ℤ

1) Für alle a, b ∈ ℤ gilt: a + b = b + a (Kommutativgesetz der Addition)

2) Für alle a, b, c ∈ ℤ gilt: (a + b) + c = a + (b + c)

(Assoziativgesetz der Addition)

3) Für alle a ∈ ℤ gilt: a + 0 = a (Existenz eines Nullelementes)

4) Zu jedem a ∈ ℤ gibt es ein b ∈ ℤ mit a + b = 0 Bezeichnung: b =: −a (Zu jeder Zahl existiert eine negative Zahl)

b) Für die Multiplikation gilt:

0) Für alle a, b ∈ ℤ gilt: a · b ∈ ℤ

1) Für alle a, b ∈ ℤ gilt: a · b = b · a (Kommutativgesetz der Multiplikation)

2) Für alle a, b, c ∈ ℤ gilt: (a · b) · c = a · (b · c) (Assoziativgesetz der Multiplikation)

3) Für alle a ∈ ℤ gilt: 1 · a = a (Existenz eines Einselementes)

c) Distributivgesetz Für alle a, b, c ∈ ℤ gilt: (a + b) · c = (a · c) + (b · c)

Fazit: (ℤ, +) ist eine abelsche Gruppe (ℤ, +, ·) ist ein kommutativer Ring mit 0 als Nullement und 1 als Einselement .

\underline{\underline{(2.2) BEM:}} a) Wie in jedem Ring gilt a · 0 = 0 = 0 · a (∀ a ∈ ℤ) .

b) Der Ring ℤ ist nullteilerfrei , d.h. ∀ a, b ∈ ℤ : a · b = 0 ⟹ (a = 0 ∨ b = 0) .

c) In ℤ gelten die folgenden Kürzungsregeln (a, b, c ∈ ℤ) :

i) a + c = b + c ⟹ a = b

ii) a · c = b · c und \underline{c ≠ 0} ⟹ a = b

\underline{\underline{(2.3) BEM:}} Addition und Multiplikation auf ℤ sind mit der ≤–Beziehung verträglich, d.h. es gilt für alle a, b ∈ ℤ

a) a ≤ b ⟹ a + c ≤ b + c für alle c ∈ ℤ

b) a ≤ b ⟹ a · c ≤ b · c für alle c ∈ ℤ mit c ≥ 0. Damit ist (ℤ, +, · , ≤) ein angeordneter Ring .

\underline{\underline{(2.4) SATZ:}} Division mit Rest Zu jeder ganzen Zahl a ∈ ℤ und jeder natürlichen Zahl n ≥ 1 gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen q und r mit folgenden Eigenschaften:

a = qn + r und 0 ≤ r < n .

Dabei heißt q der Quotient bei Division von a durch n und r der Rest bei Division von a durch n. \underline{Bezeichnungen:} q = a div n , r = a mod n.

\underline{\underline{(2.5) DEF:}} R sei ein kommutativer Ring. Eine Teilmenge I ⊆ R heißt ein Ideal von R, wenn gilt: I_{1}) 0 ∈ I I_{2}) ∀ a, b ∈ I : a − b ∈ I I_{3}) ∀ a ∈ I ∀ r ∈ R : ra ∈ I.

\underline{\underline{(2.6) BEM:}} a) Ist I ⊆ R ein Ideal, so ist I eine Untergruppe von (R, +) .

b) Für jedes a ∈ R ist Ra := { ra | r ∈ R } =: (a) ein Ideal in R, das sog. von a erzeugte Hauptideal von R.

c) Sind I und J Ideale in R, so ist auch I + J := {a + b | a ∈ I, b ∈ J} ein Ideal in R, das sog. Summenideal von I und J .

d) Sind I und J Ideale in R, so ist auch I ∩ J ein Ideal.

\underline{\underline{(2.7) DEF:}}

a) Ein nullteilerfreier kommutativer Ring R mit 1_{R} ≠ 0_{R} heißt ein Integritätsbereich (IB) .

b) Ein IB R, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt ein Hauptidealbereich (HIB) .

\underline{\underline{(2.8) SATZ:}} Für eine Teilmenge I ⊆ ℤ sind folgende Aussagen äquivalent:

a) I ist ein Ideal von ℤ

b) I ist eine Untergruppe von (ℤ, +)

c) Es gibt genau ein n ∈ ℕ_{0} mit I = (n) .

\underline{\underline{(2.9) KOROLLAR:}} ℤ ist ein HIB .

\underline{\underline{(2.10) BEISPIELE:}} a) Jeder Körper ist ein HIB .

b) Ist K ein Körper, so ist der Polynomring K[T] in einer Unbestimmten T über K ein HIB .