Chr.Nelius: Zahlentheorie (SS 2007)

§18. Die Vermutungen von Goldbach, Waring und Pólya

A) Die Goldbach’sche Vermutung

Christian Goldbach (1690–1764) schrieb in seinem berühmten Brief vom 7. Juni 1742 an Leoanhard Euler

“Es scheinet wenigstens, daß eine jede Zahl, die größer ist als 2, ein aggregatum trium numerorum primorum sey.”

Hierzu ist anzumerken, daß Goldbach die Zahl 1 als Primzahl ansah. In unserer Bezeichnungsweise lautet die Vermutung (G) Jede natürliche Zahl n > 5 ist Summe von 3 Primzahlen. Äquivalent dazu ist eine Fassung, die man heute als Goldbach–Vermutung versteht: (G’) Starke (oder binäre) Goldbachvermutung

Jede gerade natürliche Zahl n > 2 ist Summe von 2 Primzahlen.

Eine andere Vermutung ist (G”) Schwache (oder ternäre) Goldbachvermutung Jede ungerade natürliche Zahl n > 5 ist Summe von 3 Primzahlen.

Die Goldbach–Vermutung ist bis heute weder bewiesen noch widerlegt.

Bewiesen werden konnte bisher:

• Jede gerade Zahl > 6 ist Summe von höchstens 6 Primzahlen.

• Jede genügend große gerade Zahl läßt sich als Summe aus einer Primzahl und dem Produkt aus höchstens 2 Primzahlen schreiben (Chen, 1966) .

• (G”) ist richtig für alle genügend großen natürlichen Zahlen (Vinogradoff, 1937) . Diese Schranke konnte bis 1996 auf 10^{7194} gesenkt werden.

Rechnerische Bestätigung der Goldbach–Vermutung:

geprüft von  Jahr  bis
A. Desboves  1855 10 000
N.Pipping  1940 100 000
M.K.Shen  1964 3.3 × 10^{7}
M.L.Stein, P.R.Stein  1965  10^{8}
A.Granville,J.v.d.Lune, H.J.J.te Riele 1989 2 × 10^{10}
M.Sinisalo  1993 4 × 10^{11}
J.–M. Deshouillers, H.J.J.te Riele,  1998  10^{14}

Y.Saouter

T. Oliveira e Silva  2005 2 × 10^{17}

B) Die Waring’sche Vermutung

Bachet (1621) und Fermat (1640) vermuteten schon, daß sich jede natürliche Zahl als Summe von höchstens 4 Quadraten darstellen läßt. Dieses Ergebnis konnte Lagrange 1770 beweisen:

\underline{Vierquadrate–Satz:} Jede natürliche Zahl ist Summe von höchstens 4 Quadraten.

Der englische Mathematiker Edward Waring (1736–1798) stellte in seinem Werk “Meditationes algebraicae” 1770 die allgemeinere Frage:

Ist jede natürliche Zahl Summe einer bestimmten Anzahl von k–ten Potenzen (k ∈ � fest).

Dabei stellte er die folgende Vermutung auf:

Waring’sche Vermutung:

Jede natürliche Zahl ist Summe von höchstens 19 Biquadraten.

Joseph Liouville (1809–1882) zeigte im Jahre 1859 , daß auf jeden Fall 53 Biquadrate ausreichen. Im Jahre 1909 konnte David Hilbert beweisen:

\underline{SATZ:} Zu jedem k ≥ 2 existiert eine natürliche Zahl s(k) , so daß sich jede natürliche Zahl n als Summe von höchstens s(k) k–ten Potenzen darstellen läßt.

Mit g(k) werde der kleinstmögliche Wert von s(k) bezeichnet. Dann besagt die Waring’sche Vermutung gerade:

g(4) = 19 .

David Davenport (1907–1967) zeigte 1939 , daß für genügend große Zahlen immer 16 Biquadrate ausreichen, wobei die Schranke lag bei

10^{10^{89}} .

Im Jahre 1985 konnten J.–M. Deshouillers, F. Dress und R. Balasubramanian diese Schranke auf

10^{340}

herunterdrücken. Die restlichen Zahlen ≤ 10^{340} konnten dann mit Computer–Hilfe abgearbeitet werden, so daß schließlich im Jahre 1986 die Waring’sche Vermutung bewiesen war.

Auch alle anderen Werte von g(k) sind in der Zwischenzeit bestimmt worden. Einige Beispiele:

\begin{matrix}k & g(k) & Jahr \\ 2 & 4 & 1770 \\ 3 & 9 & 1912 \\ 4 & 19 & 1986 \\ 5 & 37 & 1964 \\ 6 & 73 & 1940 \end{matrix}

C) Die Pólya–Vermutung

Es bezeichnet Ω(n) die Anzahl aller Primteiler von n ∈ �, wobei jeder Primteiler entsprechend seiner Vielfachheit gezählt wird. Man setzt:

E_{n} := | { k | 1 ≤ k ≤ n , Ω(k) gerade } |
O_{n} := | { k | 1 ≤ k ≤ n , Ω(k) ungerade } |

Es gilt immer E_{n}+ O_{n} = n , und in allen ausgerechneten Beispielen stellte man E_{n} ≤ O_{n} für n ≥ 2 fest. Der amerikanische Mathematiker George Pólya (1887–1985) stellte 1919 die folgende Vermutung auf:

E_{n} ≤ O_{n} (∀ n ∈ � , n ≥ 2)

Haselgrove konnte 1958 beweisen, daß es unendlich viele Zahlen n gibt , für die

O_{n} < E_{n}

gilt. Das kleinste Gegenbeispiel wurde 1962 von R.S.Lehman gefunden:

n = 906 180 359 .

Hierfür gilt

O_{n} = E_{n} − 1 .

Dieses Beispiel zeigt sehr eindrücklich, wie wichtig eine Beweismethode wie die vollständige Induktion ist, um Aussagen für alle natürlichen Zahlen zu beweisen.