§ 10. Exkurs über endliche zyklische Gruppen

Im folgenden sei (G, ·) eine multiplikativ geschriebene Gruppe mit dem neutralen Element 1 . (10.1) Für jedes a ∈ G ist ⟨a⟩ := {a^{k} | k ∈ ℤ} eine Untergruppe von G, die sog. von a erzeugte zyklische Untergruppe von G. (10.2) Die Gruppe G heißt zyklisch , wenn es ein a ∈ G gibt mit G = ⟨a⟩. a heißt dann ein erzeugendes Element von G. (10.3) Zwei zyklische Gruppen dergleichen Ordnung sind isomorph. (10.4) Die Ordnung eines Elementes a ∈ G ist definiert durch ord(a) := | ⟨a⟩ |. Im folgenden sei G eine \underline{endliche} Gruppe der Ordnung n: (10.5) Für alle a ∈ G gilt a^{n} = 1 . (10.6) ord(a) = min{k | k ∈ ℕ, a^{k} = 1}. (10.7) Im Falle m = ord(a) gilt:

a) ⟨a⟩ = {1, a, a^{2}, …, a^{m−1}} b) ∀ k ∈ ℤ : a^{k} = 1 ⟹ m | k c) m | n. (10.8) Ist a ein erzeugendes Element der zyklischen Gruppe G, so ist a^{k} (k ∈ ℤ) genau dann ein erzeugendes Element von G, wenn ggT(k, n) = 1 gilt. Folglich besitzt eine zyklische Gruppe der Ordnung n genau φ(n) erzeugende Elemente. (10.9) In einer zyklischen Gruppe G = ⟨a⟩ der Ordnung n gibt es zu jedem positiven Teiler t der Gruppenordnung n \underline{genau} eine Untergruppe von G, die die Ordnung t hat. Beweisidee: Gilt s · t = n, so ist a^{s} ein Element der Ordnung t, d.h. | ⟨a^{s}⟩ | = t. ⟨a^{s}⟩ ist auch die einzige Untergruppe der Ordnung t. (10.10) In einer endlichen zyklischen Gruppe gibt es \underline{höchstens} ein Element der Ordnung 2 . (10.11) Sind G und H endliche Gruppen, so besitzt ein Element (a, b) aus der Produktgruppe G × H die Ordnung kgV(ord(a), ord(b)) . (10.12) Ist f : G ⟶ H ein surjektiver Gruppenhomomorphismus, so gilt: G zyklisch ⟹ H zyklisch. Im Falle G ≅ H ist damit G genau dann zyklisch, wenn H zyklisch ist.

(10.13) Sind G und H endliche Gruppen, so ist die Produktgruppe G × H genau dann zyklisch, wenn beide Gruppen G und H zyklisch sind und ihre Ordnungen teilerfremd sind.

(10.14) Sind die natürlichen Zahlen m und n teilerfremd, so ist die Abbildung

f : ℤ_{mn} ⟶ ℤ_{m} × ℤ_{n} , [a]_{mn} ⟼ ([a]_{m}, [a]_{n})

ein \underline{Ring}isomorphismus.

(10.15) Die Surjektivität der Abbildung f aus (10.14) hat die Gültigkeit des Chinesischen Restsatzes zur Folge: Sind m und n teilerfremde natürliche Zahlen, so gibt es zu beliebigen a, b ∈ ℤ ein x ∈ ℤ mit

\begin{matrix}x ≡ a (mod m) \\ x ≡ b (mod n) \end{matrix}

(10.16) Isomorphe Ringe haben isomorphe Einheitengruppen. Insbesondere folgt

ℤ_{mn}^{⋆} ≅ ℤ_{m}^{⋆} × ℤ_{n}^{⋆} .

(10.17) Aus (10.16) folgt noch einmal die Multiplikativität der Eulerschen φ–Funktion:

φ(mn) = | ℤ_{mn}^{⋆} | = | ℤ_{m}^{⋆} × ℤ_{n}^{⋆} | = | ℤ_{m}^{⋆} | · | ℤ_{n}^{⋆} | = φ(m) · φ(n) .

(10.18) G sei eine endliche abelsche Gruppe. Ferner seien a, b ∈ G mit ord(a) = m und ord(b) = n. Dann gilt: ggT(m, n) = 1 ⟹ ord(ab) = mn.

(10.19) G sei eine endliche abelsche Gruppe, und es sei

m := max{ord(a) | a ∈ G} .

Dann folgt ord(a) | m (∀ a ∈ G) .

(10.20) Sei p ∈ IP . Ist dann K ein Körper mit p Elementen, so ist (K^{⋆}, ·) eine zyklische Gruppe.

(10.21) Der Beweis von (10.20) liefert das allgemeinere Ergebnis:

In einem beliebigen Körper K ist jede endliche Untergruppe von (K^{⋆}, ·) zyklisch.