9. Übungsblatt

ZAHLENTHEORIE (SS 2007) Abgabe: Mi. 13.6.2007, bis 9.10 Uhr Fach Nr. 11 (orangener Schrank bei D1.348) Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris

Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Ihre Übungsgruppe. Heften Sie bitte die Seiten zusammen!

Die folgenden Aufgaben sind auf Grundlage der Vorlesung und der Übungen zu bearbeiten!

35. Aufgabe: Sei m ∈ ℕ, m ≥ 2 , und es sei a ∈ ℤ eine \underline{ungerade} Zahl. Beweise:

a) Die Kongruenz x^{m} ≡ a (mod 2) ist eindeutig lösbar.

b) Ist m \underline{ungerade} , so ist die Kongruenz (⋆) x^{m} ≡ a (mod 4) eindeutig lösbar.

c) Ist m \underline{gerade} , so gilt:

i) (⋆) ist nicht lösbar, falls a ≡ 3 (mod 4) gilt. ii) (⋆) besitzt genau 2 Lösungen falls a ≡ 1 (mod 4) gilt. (3)

36. Aufgabe: Bestimme alle Lösungen der Kongruenz x^{12} ≡ 11 (mod 19) , die in {1, 2, …, 18} liegen (aber nicht durch stures Rechnen!) . (3)

37. Aufgabe: a) Sei w ∈ ℤ eine Primitivwurzel modulo n. Die Zahlen a, b ∈ ℤ seien beide teilerfremd zu n. Beweise, daß die Kongruenz

(⋆) a^{x} ≡ b (mod n)

genau dann lösbar ist, wenn g := ggT(ind_{w}(a), φ(n)) ein Teiler von ind_{w}(b) ist, und daß (⋆) im Falle der Lösbarkeit genau g Lösungen modulo φ(n) hat.

b) Begründe, daß die Kongruenz 11^{x} ≡ 7 (mod 19) lösbar ist und bestimme mit den Methoden von a) alle ihre Lösungen. (4)

38. Aufgabe: Bestimme alle Lösungen der folgenden Polynomkongruenzen (aber nicht durch stures Rechnen!)

a) x^{5} − 5x^{3} + 11 ≡ 0 (mod 294)

b) x^{3} − 2x^{2} + 1 ≡ 0 (mod 55) . (4)

Wenn Sie mit dem Korrektor Andreas Kottmann sprechen wollen, schicken Sie ihm bitte eine email an die Adresse kottmann@zitmail.uni-paderborn.de