8. Übungsblatt

ZAHLENTHEORIE (SS 2007)

Abgabe: Mi. 6.6.2007, bis 9.10 Uhr

Fach Nr. 11 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris

Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Ihre Übungsgruppe. Heften Sie bitte die Seiten zusammen!

Die folgenden Aufgaben sind auf Grundlage der Vorlesung und der Übungen zu bearbeiten!

31. Aufgabe: w sei eine Primitivwurzel modulo n. Die Zahlen a, b ∈ ℤ seien beide teilerfremd zu n. Beweise:

c) ind_{w}(a · b) ≡ ind_{w}(a) + ind_{w}(b) (mod φ(n))

d) ind_{w}(a^{r}) ≡ r · ind_{w}(a) (mod φ(n)) (∀ r ∈ ℕ)

e) ind_{w}(−1) = \frac{1}{2} φ(n) (n ≥ 3)

f) Ist v eine weitere Primitivwurzel modulo n, so gilt: ind_{w}(a) ≡ ind_{w}(v)·ind_{v}(a) (mod φ(n)) . (5)

32. Aufgabe: Sei p eine ungerade Primzahl und w eine Primitivwurzel modulo p^{k} (k ∈ ℕ) . Beweise:

a) Ist w ungerade, so ist w auch eine Primitivwurzel modulo 2 p^{k}

b) Ist w gerade, so ist w + p^{k} eine Primitivwurzel modulo 2 p^{k}

c) Die Anzahl der Primitivwurzeln modulo p^{k} ist gleich der Anzahl der Primitivwurzeln modulo 2 p^{k}. (3)

33. Aufgabe: a) Für a ∈ ℤ sei k := ord_{n}(a) . Beweise, daß dann auch jede Zahl b ∈ ℤ mit b ≡ a (mod n) modulo n die Ordnung k hat.

b) Beweise: Ist w ∈ ℤ eine Primitivwurzel modulo n, so ist auch jede Zahl v ∈ ℤ mit v ≡ w (mod n) eine Primitivwurzel modulo n. (2)

34. Aufgabe: a) Bestimme die Anzahl der (inkongruenten) Primitivwurzeln modulo 375 bzw. 486 .

b) Bestimme die kleinste positive Primitivwurzel w modulo 19 und den Index von a ∈ {6, −6, 14} modulo 19 zur Basis w.

c) v := 15 ist ebenfalls eine Primitivwurzel modulo 19 (das muß nicht bewiesen werden!) . Bestimme den Index von 6 modulo 19 zur Basis v und überprüfe an Hand dieses Beispiels die Aussage f) aus Aufgabe 31 . (4)

Wenn Sie mit dem Korrektor Andreas Kottmann sprechen wollen, schicken Sie ihm bitte eine email an die Adresse kottmann@zitmail.uni-paderborn.de