7. Übungsblatt

ZAHLENTHEORIE (SS 2007)

Abgabe: Mi. 30.5.2007, bis 9.10 Uhr

Fach Nr. 11 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris

Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Ihre Übungsgruppe. Heften Sie bitte die Seiten zusammen!

Die folgenden Aufgaben sind auf Grundlage der Vorlesung und der Übungen zu bearbeiten!

26. Aufgabe: Bestimme ohne Computer–Hilfe alle Primitivwurzeln

a) modulo 17  b) modulo 81 .  (4)

27. Aufgabe: Sei p > 3 eine Primzahl. {a_{1}, a_{2}, …, a_{r}} ⊆ {1, 2, …, p − 1} sei die Menge aller

modulo p paarweise inkongruenter Primitivwurzeln modulo p. Beweise: ∏_{i=1}^{r} a_{i} ≡ 1 (mod p) .

Was gilt im Falle p ≤ 3 ? (2)

28. Aufgabe: a) Seien a ∈ ℤ und p ∈ IP mit p |̸ a. Beweise: Gilt ord_{p}(a) = n ≥ 2 so folgt

∑_{k=0}^{n−1} a^{k} ≡ 0 (mod p) .

b) Für Primzahlen p und q und k ∈ ℕ sei V (k) := {a | 1 ≤ a ≤ q^{k} , ord_{p}(a) = q^{k}}. Berechne

( ∑_{a∈V (k)} a) mod p. Das Ergebnis soll in {0, 1, …, p − 1} liegen! (4)

29. Aufgabe: Sei F_{n} := 2^{2^{n}} + 1 (n ∈ ℕ_{0}) die n–te Fermat’sche Zahl. Beweise: Für jeden Primteiler p von F_{n} gilt ord_{p}(2) = 2^{n+1} . (2)

30. Aufgabe: f sei eine multiplikative zahlentheoretische Funktion ≠ o. Für m, n ∈ ℕ seien g := ggT(m, n) und k := kgV(m, n) . Beweise: f(g) · f(k) = f(m) · f(n) . (2)

Wenn Sie mit dem Korrektor Andreas Kottmann sprechen wollen, schicken Sie ihm bitte eine email an die Adresse kottmann@zitmail.uni-paderborn.de