5. Übungsblatt

ZAHLENTHEORIE (SS 2007) Abgabe: Mi. 16.5.2007, bis 9.10 Uhr Fach Nr. 11 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris

Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Ihre Übungsgruppe. Heften Sie bitte die Seiten zusammen!

Die folgenden Aufgaben sind auf Grundlage der Vorlesung und der Übungen zu bearbeiten!

17. Aufgabe: Für n ∈ ℕ sei ρ(n) := ∏_{t | n} t das Produkt über alle positiven Teiler von n.

a) Beweise: ρ(n) = n^{\frac{τ(n)}{2}} (∀ n ∈ ℕ)

b) Untersuche, ob die Funktion ρ : ℕ ⟶ ℂ , n ⟼ ρ(n) , multiplikativ ist.

c) Eine natürliche Zahl n heißt multiplikativ vollkommen, wenn ρ(n) = n^{2} gilt. Welches ist die kleinste multiplikativ vollkommene Zahl > 1 ? (Welches ist die kleinste vollkommene Zahl?)

d) Sei n ∈ ℕ, n ≥ 2 . Beweise die Äquivalenz der folgenden Aussagen:

1) n ist multiplikativ vollkommen

2) τ(n) = 4

3) n ist entweder das Produkt zweier verschiedener Primzahlen oder die dritte Potenz einer Primzahl. (5)

18. Aufgabe: Welche bekannte zahlentheoretische Funktion ist φ ⋆ τ ? (Beweis!) (2)

19. Aufgabe: Sei f das Inverse von φ bzgl. der Faltung. Berechne f(n) (∀ n ∈ ℕ) . Hinweis: Berechne zunächst f(p^{k}) für p ∈ IP und k ∈ ℕ. (3)

20. Aufgabe: Für Funktionen f, g ∈ A sei das Produkt f ·g ∈ A argumentweise definiert durch (f · g)(n) := f(n) · g(n) (∀ n ∈ ℕ) . Beweise:

a) Sind f und g multiplikativ, so ist auch das Produkt f · g multiplikativ .

b) σ ⋆ φ = I · τ . (4)

Wenn Sie mit dem Korrektor Andreas Kottmann sprechen wollen, schicken Sie ihm bitte eine email an die Adresse

kottmann@zitmail.uni-paderborn.de