3. Übungsblatt

ZAHLENTHEORIE (SS 2007) Abgabe: Mi. 2.5.2007, bis 9.10 Uhr Fach Nr. 11 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris

Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen und Matrikel–Nr. Heften Sie bitte die Seiten zusammen!

Die folgenden Aufgaben sind auf Grundlage der Vorlesung und der Übungen zu bearbeiten!

9. Aufgabe: Beweise:

a) Ist n ∈ ℕ , n ≥ 2 , so ist von n aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen genau eine durch n teilbar.

b) Von drei aufeinanderfolgenden ungeraden ganzen Zahlen ≥ 5 ist mindestens eine zusammengesetzt. (3)

10. Aufgabe: Beweise für die Teilersummenfunktion σ:

a) σ(p^{k}) = \frac{p^{k+1} − 1}{p − 1} (p ∈ IP , k ∈ ℕ)

b) Sind p und q zwei verschiedene Primzahlen, so gilt σ(p^{k} · q^{l}) = σ(p^{k}) · σ(q^{l}) (k, l ∈ ℕ)

c) σ ist multiplikativ. (3)

11. Aufgabe: Seien a, b, c ∈ ℤ und n ∈ ℕ. Beweise:

a) a mod n = b mod n ⟺ n | (a − b)

b) Aus ac mod n = bc mod n und ggT(c, n) = 1 folgt a mod n = b mod n. (3)

12. Aufgabe: Seien a, b ∈ ℤ und p ∈ IP . Beweise:

a) p teilt den Binomialkoeffizienten \binom{p}{k} für alle k = 1, 2, …, p − 1 .

b) (a + b)^{p} mod p = (a^{p} + b^{p}) mod p

c) Beweise durch vollständige Induktion nach n: p | (n^{p} − n) (∀ n ∈ ℕ)

d) Leite aus c) her: p | (a^{p} − a) (∀ a ∈ ℤ) .

e) Leite aus d) her: a ∈ ℤ ∧ p |̸ a ⟹ a^{p−1} mod p = 1 . (5)

Wenn Sie mit dem Korrektor Andreas Kottmann sprechen wollen, schicken Sie ihm bitte eine email an die Adresse

kottmann@zitmail.uni-paderborn.de